Divergens

Divergens er i vektoranalyse ein operator som måler storleiken på kjeldene eller sluka i eit visst punkt i eit vektorfelt som ein skalar med forteikn. Til dømes kan ein tenkje seg luft som vert varma opp eller avkjølt. Det relevante vektorfeltet i dette dømet er snøggleiken til luftrørsla i eit punkt. Om lufta vert varma opp i eit område, vil lufta utvide seg i alle retningar, slik at snøggleiksfeltet peikar utover frå dette området. Derfor har divergensen til snøggleiksfeltet i dette området ein positiv verdi, sidan regionen er ei kjelde. Om lufta vert avkjølt og trekkjer seg saman, vil divergensen vere negativ og området er eit sluk. Meir teknisk kan ein seie at divergensen representerer volumtettleiken til den utoverretta fluksen i eit vektorfelt frå eit infinitesimalt volum rundt eit visst punkt.

I meteorologien tyder divergens utstrøyming av luft frå eit område. Ein vil i slike tilfelle få danna lågtrykk ved bakken.

Fysisk sett er divergensen til eit tredimensjonalt vektorfelt graden ein vektorfeltstraum oppfører seg som ei kjelde eller eit sluk i eit visst punkt. Det er eit lokalt mål på kor mykje meir som går utover det infinitesimale området enn som kjem inn i det. Om divergensen er ulik null i eit punkt, så må det vere eit sluk eller ei kjelde denne staden.^[1]

Meir strikt kan ein definere divergensen som den deriverte av nettostraumen i vektorfeltet over overflata til eit lite område relativt til volumet i området. Formelt skriv ein

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} =\lim _{V\rightarrow 0}\iint _{S(V)}{\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \over V}\;dS}$

der V er volumet til eit vilkårleg utforma område i R³ som omfattar punkta p, S(V) er overflata til volumet, og integralet er overflateintegral med n som den normale utoverretta til overflata. Resultatet, div F, er ein funksjon av lokasjonen p. Ut frå denne definisjonen vert det eksplisitt tydeleg at ein kan sjå div F som ein kjeldetettleik til fluksen F.

I lys av den fysiske tolkinga vert eit vektorfelt med konstant null divergens kalla inkompressibelt eller solenoidalt – i dette tilfellet kan ein ikkje ha nettostraum over nokre av dei lukka flatene.

Intuisjonen om at summen av alle kjeldene minus summen av alle sluka skulle gje nettostraum utover frå regionen, er presisert i divergensteoremet.

La x, y, z vere eit system i kartesiske koordinatar i eit tredimensjonalt euklidsk rom, og la i, j, k vere dei samsvarande basane til einingsvektorane.

Divergensen er eit kontinuerleg differensierbar vektorfelt F = U i + V j + W k definert til å vere skalarverdi-funksjonar:

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}.}$

Sjølv om dette er uttrykt i koordinatar, er resultatet invariant under ortogonale transformasjonar, som den fysiske tolkinga føreslår.

Den vanlege notasjonen for divergensen er ∇·F der prikken viser til ein operasjon som liknar prikkproduktet: ta komponentane av ∇ (sjå del), og bruk dei på komponentane av F, og summer resultatet. Som følgje av dette vert det rekna som notasjonsmisbruk.

Det kan visast at for alle stasjonære fluksar ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {r} )}$ som er minst to gonger kontinuerleg differensierbare i ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ og forsvinn raskt nok for ${\displaystyle |\mathbf {r} |\to \infty }$ kan dekomponerast til ein rotasjonsfri del ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )}$ og ein kjeldefri del ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )\,.}$ I tillegg er desse delane eksplisitt avgjort av dei respektive kjeldetettleikane (frå divergens) og sirkulasjonstettleikane (frå curl):

For den rotasjonsfrie delen har ein:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi (\mathbf {r} )\,,}$ with   ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\,{\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '\,{\frac {{\rm {div}}\,\mathbf {v} (\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,.}$

Den kjeldefrie delen, ${\displaystyle \mathbf {B} }$, kan skrivast på liknande vis. Ein må berre erstatte skalarpotensialet ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ med eit vektorpotensial ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$ og ledda ${\displaystyle -\nabla \Phi }$ med ${\displaystyle +\nabla \times \mathbf {A} }$, og til slutt kjeldetettleiken ${\displaystyle {\rm {div}}\,\mathbf {v} }$ med sirkulasjonstettleiken ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \,.}$

Dette «dekomposisjonsteoremet» er faktisk eit biprodukt av det stasjonære tilfellet innan elektrodynamikk. Det er eit særtilfelle av den meir generelle helmholtzdekomposisjonen som òg gjeld for dimensjonar høgare enn tre.

Dei følgjande eigenskapane kan ein få ved hjelp av vanlege differensieringsreglar i matematisk analyse. Det viktigaste er at divergensen er ein lineær operator, t.d.

${\displaystyle \operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {div} (\mathbf {F} )+b\;\operatorname {div} (\mathbf {G} )}$

for alle vektorfelt F og G og alle reelle tal a og b.

Det finst ein produktregel på forma: om ${\displaystyle \varphi }$ er ein skalarverdifunksjon og F er eit vektorfelt, så

${\displaystyle \operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} (\varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {div} (\mathbf {F} ),}$

eller omskrive

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \cdot \mathbf {F} ).}$

Ein annan produktregel for kryssproduktet mellom to vektorfelt F og G i tredimensjonar omfattar curlen og vert skriven slik:

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {curl} (\mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \;-\;\mathbf {F} \cdot \operatorname {curl} (\mathbf {G} ),}$

eller

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).}$

Laplaceoperatoren til eit skalarfelt er divergensen til gradienten til feltet.

Divergensen er curlen til alle vektorfelt (i tre dimensjonar) som er lik null:

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0}$

Om eit vektorfelt F med null divergens er definert på ei kule i R³, så finst det eit vektorfelt G på kula med F = curl(G). For område i R³ meir kompliserte enn dette, vert den siste utsegna falsk. Graden av feil frå sanninga i denne utsegna, målt av homologien i kjedekomplekset

${\displaystyle \{{\mbox{skalarfelt på }}U\}\;}$

${\displaystyle \to \{{\mbox{vektorfelt på }}U\}\;}$

${\displaystyle \to \{{\mbox{vektorfelt på }}U\}\;}$

${\displaystyle \to \{{\mbox{skalarfelt på }}U\}\;}$

(der den første mappinga er gradienten, den andre er curlen, den tredje er divergensen) gjev ei fin kvantifisering av kompliseringsgraden til det underliggande området U. Dette er starten og hovudmotivasjonen for de Rham-kohomologi.

Ein kan opprette ein parallell mellom divergensen og eit særtilfelle av den ytre deriverte når ein tar ei 2-form til ei 3-form i R³. Om ein definerer:

${\displaystyle \alpha =F_{1}\ dy\wedge dz+F_{2}\ dz\wedge dx+F_{3}\ dx\wedge dy}$

så er den ytre deriverte ${\displaystyle d\alpha }$ gjeven av

${\displaystyle d\alpha =\left({\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz}$

Divergensen til eit vektorfelt kan definerast for alle dimensjonar. Om

${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\dots ,F_{n}),}$

i eit euklidsk koordinatsyste der ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ og ${\displaystyle d\mathbf {x} =(dx_{1},dx_{2},\dots ,dx_{n})}$, så definerer vi

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{n}}}.}$

Det høvelege uttrykket er meir komplisert i kurvelineære koordinatar.

For alle n, er divergensen ein lineær operator og tilfredsstiller produktregelen.

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \cdot \mathbf {F} ).}$

for alle skalarverdifunksjonar φ.

Divergensen kan definerast på alle manifold med dimensjon n med ei volumform (eller tettleik) ${\displaystyle \mu }$ til dømes eit riemann- eller lorentz-manifold. Generalisere oppbygginga av ei to-form for eit vektorfelt på ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, på eit slikt manifold, definerer eit vektorfelt X ei n-1-form ${\displaystyle j=i_{X}\mu }$ som ein får ved å dra saman X med ${\displaystyle \mu }$. Divergensen er då funksjonen definert som

${\displaystyle dj=\operatorname {div} (X)\mu }$

Standardformer av lie-deriverte gjer at ein kan formulere dette som

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\mu =\operatorname {div} (X)\mu }$

Dette tyder at divergensen måler ekspansjonsraten til eit volumelement sidan vi lèt han flyte med vektorfeltet.

Op eit riemann- eller lorentzmanifold kan divergensen med omsyn til den metriske volumforma reknast ut med hjelp av Levi Civita-samanehengen ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \operatorname {div} (X)=\nabla \cdot X=X_{;a}^{a}}$

der det andre uttrykket er ei samandraging av vektorfeltet på 1-form ${\displaystyle \nabla X}$ med seg sjølv og det siste uttrykket er det tradisjonelle koordinatuttrykket som fysikarar nyttar:

Divergensen kan òg generaliserast for tensorar. Med einsteinnotasjon vert divergensen til ein kontravariant vektor ${\displaystyle F^{\mu }}$ skriven som

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla _{\mu }F^{\mu }}$

der ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$ er den kovariant deriverte.

• Divergensteoremet
• Curl
• Gradient
• Laplace-operator
• Del i sylindriske og sfæriske koordinatar

• Divergens og curl