Een ellipsoïde is een kwadratisch oppervlak met drie loodrechte symmetrieassen.
Ellipsoïde met (a, b, c) = (4, 2, 1) De relatie die een ellipsoïde in het Cartesisch coördinatenstelsel beschrijft is:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}
Waarin a , b en c de vorm van de ellipsoïde vastlegt en er geldt:
a
=
1
2
L
{\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}L}
b
=
1
2
B
{\displaystyle b={\tfrac {1}{2}}B}
c
=
1
2
H
{\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}H}
Wanneer a = b = c geldt dan betreft het een bol .
Als we stellen a ≥ b ≥ c , dan geldt voor:
a ≠ b levert een ongelijke ellipsoïdec = 0 & a ≠ c & b ≠ c levert een platte ellips b = c & a ≠ b & a ≠ c levert een prolate sferoïde (sigaarvormig)a = b & a ≠ c & b ≠ c levert een oblate sferoïde (pilvormig)a = b = c levert een bol.Elke ellipsoïde kan worden gevormd door een bol in een of twee richtingen (langs orthogonale assen) te verschalen.
Constructie van een oblate ellipsoïde, door het wentelen van een ellips (zwart) rond zijn kleine as (oranje) De volgende parametervergelijking stelt een ellips in het xy-vlak voor:
[
a
cos
(
θ
)
,
b
sin
(
θ
)
,
0
]
{\displaystyle [a\cos(\theta ),b\sin(\theta ),0]{\frac {}{}}}
θ
{\displaystyle \theta }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
rotatie rond bijvoorbeeld de x-as wordt de parametervergelijking
[
a
cos
(
θ
)
,
b
sin
(
θ
)
cos
(
ϕ
)
,
b
sin
(
θ
)
sin
(
ϕ
)
]
{\displaystyle [a\cos(\theta ),b\sin(\theta )\cos(\phi ),b\sin(\theta )\sin(\phi )]{\frac {}{}}}
θ
{\displaystyle \theta }
ϕ
{\displaystyle \phi }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
Het volume van een ellipsoïde is eenvoudig te berekenen met de relatie:
V
=
4
3
π
a
b
c
{\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi abc}
Uitgaande van de maximale lengte, breedte en hoogte wordt het volume uitgedrukt door:
V
=
1
6
π
L
B
H
≈
0,524
L
B
H
{\displaystyle V={\tfrac {1}{6}}\pi LBH\approx 0{,}524\ LBH}
De oppervlakte is een stuk lastiger om te berekenen. Analytische afleiding geeft:
A
=
2
π
(
c
2
+
b
c
2
a
2
−
c
2
F
(
θ
,
m
)
+
b
a
2
−
c
2
E
(
θ
,
m
)
)
{\displaystyle A=2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\theta ,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\theta ,m)\right)}
waarvoor geldt:
m
=
a
2
(
b
2
−
c
2
)
b
2
(
a
2
−
c
2
)
{\displaystyle m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}}}
θ
=
arcsin
(
e
)
{\displaystyle \theta =\arcsin {\left(e\right)}}
e
=
1
−
c
2
a
2
{\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}
en
F
(
θ
,
m
)
{\displaystyle F(\theta ,m)}
E
(
θ
,
m
)
{\displaystyle E(\theta ,m)}
elliptische integralen van de eerste en tweede orde.
Bij benadering levert dit de volgende relaties op:
platte Ellips :
=
2
π
(
a
b
)
{\displaystyle =2\pi \left(ab\right)}
prolate ellipsoïde:
≈
2
π
(
c
2
+
a
c
arcsin
(
e
)
e
)
{\displaystyle \approx 2\pi \left(c^{2}+ac{\frac {\arcsin {\left(e\right)}}{e}}\right)}
oblate ellipsoïde :
≈
2
π
(
a
2
+
c
2
arctanh
(
e
)
e
)
{\displaystyle \approx 2\pi \left(a^{2}+c^{2}{\frac {\operatorname {arctanh} {\left(e\right)}}{e}}\right)}
ongelijke ellipsoïde :
≈
4
π
(
a
p
b
p
+
a
p
c
p
+
b
p
c
p
3
)
1
/
p
{\displaystyle \approx 4\pi \left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}}
Voor p ≈ 1,6075 geeft dit een relatieve fout van maximaal 1,061% (Knud Thomsens formule); een waarde van p = 8/5 = 1,6 is optimaal voor bijna sferische ellipsoïden, met een relatieve fout van maximaal 1,178% (David W. Cantrells formule).
De bol en drie soorten ellipsoïden in beeld: blauw de ongelijke, geel de prolate en rood de oblate vorm. 