Logistische verdeling

Logistische verdeling
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Parameters	${\displaystyle \mu }$ (plaats) ${\displaystyle s>0}$ (schaal)
Drager	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )}$
Kansdichtheid	${\displaystyle {\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}}$
Verdelingsfunctie	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}}$
Verwachtingswaarde	${\displaystyle \mu }$
Mediaan	${\displaystyle \mu }$
Modus	${\displaystyle \mu }$
Variantie	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}}$
Scheefheid	${\displaystyle 0}$
Kurtosis	${\displaystyle 6/5}$
Entropie	${\displaystyle \ln(s)+2}$
Moment- genererende functie	${\displaystyle e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)}$ voor ${\displaystyle |s\,t|<1}$,
Karakteristieke functie	${\displaystyle e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)}$ voor ${\displaystyle |ist|<1}$
Portaal    Wiskunde

In de kansrekening en de statistiek is de logistische verdeling een continue kansverdeling met als verdelingsfunctie de logistische functie. De verdeling lijkt veel op een normale verdeling, maar heeft dikkere staarten. Ze speelt een rol in onder andere logistische regressie .

De eenvoudigste vorm van de verdelingsfunctie, met parameters 0 en 1, is:

${\displaystyle F(x;0,1)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}$

De algemene vorm, met de parameters ${\displaystyle \mu }$ en ${\displaystyle s}$, is:

${\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\;\tanh \left({\frac {x-\mu }{2s}}\right)}$

De kansdichtheid wordt gegeven door:

${\displaystyle f(x;\mu ,s)={\frac {1}{s}}{\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}}$

De parameter ${\displaystyle \mu }$ is de verwachtingswaarde van de verdeling en de parameter ${\displaystyle s}$ hangt samen met de standaardafwijking ${\displaystyle \sigma }$ via de relatie:

${\displaystyle s={\frac {\sqrt {3}}{\pi }}\,\sigma }$