Kwadratische reciprociteit

De wet van de kwadratische reciprociteit is een stelling uit het modulair rekenen, een deelgebied van de getaltheorie, die voorwaarden geeft voor de oplosbaarheid van kwadratische vergelijkingen modulo een priemgetal. Er zijn enkele equivalente formuleringen van de stelling, een tweetal aanvullingen en de versie van Legendre.

Eén versie van de stelling zegt dat voor oneven priemgetallen ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$ geldt:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}={\begin{cases}-1&{\mbox{voor}}&p\equiv q\equiv 3{\pmod {4}}\\+1&{\mbox{anders,}}&{\mbox{(dus voor }}p\equiv 1{\pmod {4}}\quad {\mbox{of}}\quad q\equiv 1{\pmod {4}}{\mbox{)}}&\end{cases}}}$

waarin

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)}$

het Legendresymbool is.

De stelling laat dus zien welke van de waarden +1 en -1 het product van de twee Legendresymbolen heeft en daarmee dat de kwadratische vergelijkingen

${\displaystyle x^{2}\equiv p{\pmod {q}}}$

en

${\displaystyle x^{2}\equiv q{\pmod {p}}}$

beide oplosbaar of beide onoplosbaar zijn, tenzij zowel ${\displaystyle p}$ als ${\displaystyle q}$ bij deling door 4 de rest 3 hebben, in welk geval een van beide vergelijkingen oplosbaar is en de andere onoplosbaar. De stelling biedt echter geen houvast voor het vinden van de oplossingen.

Laat ${\displaystyle p,q>2,\ p\neq q}$ twee verschillende priemgetallen zijn. Dan geldt

Eerste aanvulling

${\displaystyle x^{2}\equiv -1\!\!{\pmod {p}}}$ is oplosbaar dan en slechts dan als ${\displaystyle p\equiv 1\!\!{\pmod {4}}}$.

Tweede aanvulling

${\displaystyle x^{2}\equiv 2\!\!{\pmod {p}}}$ is oplosbaar dan en slechts dan als ${\displaystyle p\equiv \pm 1\!\!{\pmod {8}}}$.

Laat ${\displaystyle p,q>2}$ priemgetallen zijn en stel ${\displaystyle q^{*}=q}$, als ${\displaystyle q\equiv 1\!\!\!{\pmod {4}}}$ en ${\displaystyle q^{*}=-q}$, als ${\displaystyle q\equiv -1\!\!\!{\pmod {4}}}$. (Dat wil zeggen ${\displaystyle |q^{*}|=q}$ en ${\displaystyle q^{*}=1\!\!\!{\pmod {4}}}$.) Dan is

${\displaystyle x^{2}\equiv p{\pmod {q}}}$

dan en slechts dan oplosbaar, als

${\displaystyle x^{2}\equiv q^{*}{\pmod {p}}}$

oplosbaar is.

Het vermoeden, dat aan de stelling voorafging, werd door Euler en Legendre geuit. De stelling werd als eerste bewezen door Gauss^[1]. Gauss verwijst in de Disquisitiones Arithmeticae en zijn nagelaten werk naar deze stelling als de 'fundamentele stelling'. In de privésfeer had hij het over de 'gouden stelling'^[2]. Hij publiceerde zes bewijzen, en twee meer werden in zijn nagelaten papieren gevonden. Er zijn nu meer dan 200^[3] gepubliceerde bewijzen.

Het eerste deel van dit artikel maakt geen gebruik van de Legendre-symbool en geeft de formuleringen van kwadratische reciprociteit zoals deze zijn geformuleerd door Legendre en Gauss. Het Legendre-Jacobi-symbool werd geïntroduceerd in de tweede paragraaf.

• (en) Kwadratische reciprociteit^{[dode link]}