Bastoni begon met voetballen bij het plaatselijke Cannatese, waar zijn vader coach was. In 2006 werd hij opgenomen in de jeugdopleiding van Atalanta Bergamo. Hij debuteerde op 30 november 2016 in het eerste elftal, tijdens een wedstrijd in de Coppa Italia tegen Pescara Calcio. Bastoni speelde de volledige wedstrijd, die Atalanta met 3–0 won.[3] Op 22 januari 2017 volgde zijn competitiedebuut, tegen Sampdoria. Opnieuw speelde hij de volledige wedstrijd.[4]
Bastoni kwam uit voor diverse Italiaanse nationale jeugdselecties. Hij nam met Italië –17 deel aan het EK –17 van 2016 en met Italië –21 aan het EK –21 van 2019. Bastoni debuteerde op 11 november 2020 in het eerste elftal van Italië, als basisspeler in een met 4–0 gewonnen oefenwedstrijd tegen Estland. Hij speelde één wedstrijd op het EK 2020, waar Italië zijn tweede Europese titel won. Op 14 juni 2022 maakte hij zijn eerste interlanddoelpunt. Het was een eretreffer bij een 5–2 nederlaag tegen Duitsland in de UEFA Nations League. Bastoni werd op 6 juni 2024 door bondscoach Luciano Spalletti opgenomen in de Italiaanse selectie voor het EK 2024 in Duitsland.[5] Italië eindigde als tweede in een groep met Albanië, Spanje en Kroatië, waarna het in de achtste finales werd uitgeschakeld met een 2–0 nederlaag tegen Zwitserland. Bastoni kwam op het toernooi in iedere wedstrijd in actie en maakte de gelijkmaker bij de 2–1 zege op Albanië.
Italië
2020
· 
· 
