Getijdenveld

Het getijdenveld is de afgeleide van het zwaartekrachtsveld die bepaalt welke getijdenkrachten op een hemellichaam inwerken. Een getijdenveld is een tensorveld waarmee een puntmassa een koppel laat werken op starre, niet-bolsymmetrische objecten en op vervormbare objecten. Het is onder andere de oorzaak van de getijden, de afwisseling van eb en vloed op de oceaan.

Getijde kan gedefinieerd worden als een verschijnsel dat zich voordoet wanneer twee massa's binnen elkaars zwaartekrachtveld komen. Doordat het zwaartekrachtveld niet uniform is maar evenredig afneemt met het kwadraat van de afstand tot het zwaartepunt van een massa, ondervindt een object dat zich binnen het zwaartekrachtveld van een ander object bevindt meer aantrekking aan de zijde die het dichtst bij het andere object is en minder aan de daarvan afgekeerde zijde.

Het zwaartekrachtsveld van een begrensde massa is nooit uniform. Voor een object dat groter is dan een punt zal het zwaartekrachtsveld op verschillende punten van het object net iets anders zijn: het verschil van de lokale kracht en de kracht die de baan bepaalt (typisch de zwaartekracht in het centrum van een ster of planeet) uit zich als de getijdenkracht. Wiskundig betekent dat dat het getijdenveld de afgeleide (naar de plaatscoördinaten) is van het zwaartekrachtsveld. Intuïtief is het duidelijk dat de getijdenkracht klein is als het zwaartekracht bijna constant is in de ruimte en sterker is naarmate het veld meer varieert.

In het geval van de aarde zijn het voornamelijk de zon en de maan die invloed uitoefenen. Omdat de aarde roteert, varieert de kracht en richting van de getijdenkracht gedurende een etmaal: dit veroorzaakt de getijgolf met de samenhangende getijden.

Getijdenkrachten spelen verder onder meer een rol bij de inwendige verhitting van Io en andere manen in ons zonnestelsel, Sterrenhopen kunnen uiteenvallen onder de invloed van het getijdenveld van hun melkwegstelsel. Onderlinge getijdenwerking tussen melkwegstelsels kan ervoor zorgen dat interstellair gas samengedrukt wordt en meer sterren vormt.

Getijdenwerking doet zich voor bij dubbelsterren, bij planeten die rond een ster draaien, en tussen planeten en hun manen onderling. Door getijdenwerking kan een planeet een nabije maan verpulveren als die tot zo dichtbij nadert dat hij binnen de Rochelimiet komt. Dit kan leiden tot de vorming van planetaire ringen, zoals bij Saturnus. Een ander effect van getijdenkrachten is de synchronisatie van een maan met zijn planeet: zij keren elkaar op den duur alleen nog dezelfde kant toe (zie ook synchronisatiehoogte). Kraterketens worden toegeschreven aan inslaande hemellichamen die voor de inslag door de getijdenwerking uit elkaar zijn gerukt - vergelijk Komeet Shoemaker-Levy 9.

De getijdentensor ${\displaystyle T_{ij}}$ is de afgeleide van het zwaartekrachtsveld ${\displaystyle F=-\nabla \Phi }$:

${\displaystyle T_{ij}={\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x_{j}\partial x_{i}}}}$

${\displaystyle \Phi }$ is hier de zwaartekrachtspotentiaal, die gevonden wordt uit de massa dichtheid ${\displaystyle \rho }$ door de Poissonvergelijking, ${\displaystyle \Delta \Phi =-4\pi G\rho }$ op te lossen.

Voor het zwaartekrachtsveld van een sferisch symmetrische massa ${\displaystyle M}$ in de oorsprong geldt buiten deze massa voor de potentiaal ${\displaystyle \Phi (x,y,z)=GM/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ en voor de getijdentensor:

${\displaystyle T={\frac {GM}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}}\,\left[{\begin{matrix}2x^{2}-y^{2}-z^{2}&3xy&3xz\\3xy&2y^{2}-x^{2}-z^{2}&3yz\\3xz&3yz&2z^{2}-x^{2}-y^{2}\end{matrix}}\right]}$

(merk op dat het spoor van matrix T nul is, zoals ook volgt uit de Poissonvergelijking met ρ = 0).

Dit betekent bijvoorbeeld dat op positie ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,r)}$ de getijdentensor gelijk is aan

${\displaystyle T={\frac {GM}{r^{3}}}\,\left[{\begin{matrix}-1&&\\&-1&\\&&2\end{matrix}}\right]}$

Dit betekent dus een trekkracht in de richting van de zwaartekracht en een half zo grote drukkracht in de loodrechte richtingen. Per saldo worden voorwerpen buiten een massa dus niet door die massa uitgerekt of samengeperst, maar alleen vervormd.

Gevolg is dat de getijdenversnelling op het oppervlak van een planeet waar de ster in het zenit of in het nadir staat is van de planeet af gericht (expansief) met sterkte ${\displaystyle {\frac {GM}{R^{3}}}\times r_{\rm {planeet}}}$. In het vlak waar de ster juist aan de horizon staat is de getijdenkracht juist naar binnen gericht (compressief), met de halve sterkte ten opzichte van de expansieve kracht. Vanwege de sferische symmetrie geldt dit ook voor een planeet op een andere positie.

Bij een val in een zwart gat treedt spaghettificatie op.

Voor het Zon-Maan-Aarde-systeem kunnen voor de onderlinge afstanden de volgende benaderingen gebruikt worden:

${\displaystyle R_{\rm {aarde-zon}}\approx R_{\rm {zon-maan}}}$

en:

${\displaystyle {\frac {R_{\rm {aarde-zon}}}{R_{\rm {aarde-maan}}}}\approx {\frac {R_{\rm {zon-maan}}}{R_{\rm {aarde-maan}}}}\approx 390}$.

Door het grote verschil in de onderlinge afstanden en de grote massa van de Zon kan ervan worden uitgegaan dat gravitatie- en getijdenvelden van de Zon op de Aarde en de Maan ongeveer gelijk zijn.

Toepassing van de formule voor de invloed van de getijdenvelden op Aarde laat zien dat het getijdenveld van de Maan ruim 2x zo groot is als het getijdenveld van de Zon, immers:

${\displaystyle \left({\frac {M_{\rm {maan}}}{M_{\rm {zon}}}}\right)\times \left({\frac {R_{\rm {aarde-zon}}}{R_{\rm {aarde-maan}}}}\right)^{3}\approx 3,7\times 10^{-8}\times 390^{3}=2,2}$.

Dit verschil verklaart waarom eb en vloed hoofdzakelijk door de stand van de Maan bepaald worden en dat springtij afhankelijk is van de stand van de Zon t.o.v. de Maanstand.

Vergelijking van de invloed van de getijdenvelden van Aarde en Zon op de Maan laat zien dat het getijdenveld van de Aarde ongeveer 178x zo groot is als het getijdenveld van de Zon, immers:

${\displaystyle \left({\frac {M_{\rm {aarde}}}{M_{\rm {zon}}}}\right)\times \left({\frac {R_{\rm {aarde-zon}}}{R_{\rm {aarde-maan}}}}\right)^{3}\approx 3,0\times 10^{-6}\times 390^{3}=178}$.

Dit grote verschil geeft de verklaring voor de synchrone rotatie van de Maan en waarom de Maan zich in het verleden van de Aarde heeft verwijderd en zich met één kant naar de Aarde heeft toegekeerd.

Vergelijking van de invloed van de gravitatievelden op Aarde laat zien dat de sterkte van het gravitatieveld van de Maan minder dan 1% is van de sterkte van het gravitatieveld van de Zon, immers:

${\displaystyle \left({\frac {M_{\rm {maan}}}{M_{\rm {zon}}}}\right)\times \left({\frac {R_{\rm {aarde-zon}}}{R_{\rm {aarde-maan}}}}\right)^{2}\approx 3,7\times 10^{-8}\times 390^{2}=5,6\times 10^{-3}}$.

De onderlinge vergelijking van de invloed van de gravitatievelden op de Maan laat zien dat de sterkte van het gravitatieveld van de Aarde minder dan de helft is van de sterkte van het gravitatieveld van de Zon, immers:

${\displaystyle \left({\frac {M_{\rm {aarde}}}{M_{\rm {zon}}}}\right)\times \left({\frac {R_{\rm {aarde-zon}}}{R_{\rm {aarde-maan}}}}\right)^{2}\approx 3,0\times 10^{-6}\times 390^{2}=0,46}$.

In het korte verhaal "Neutron Tide" beschrijft de schrijver Arthur C. Clarke het lot van een ruimteschip dat langs een neutronenster geslingerd wordt en daarbij aan stukken gescheurd wordt.

• Getijde (waterbeweging)
• Zwaartekrachtspotentiaal
• Zwaartekrachtsveld