Congak

Congak ialah satu kaedah pengiraan yang hanya menggunakan otak manusia, tanpa bantuan kalkulator, komputer, atau pen dan kertas.

Secara praktikalnya, pencongakan bukan sahaja membantu apabila tiada alat pengiraan, tetapi ia juga membantu dalam keadaan pengiraan cepat mesti dilakukan. Apabila sesuatu kaedah dibuat dengan lebih pantas dari kaedah konvensional (seperti yang diajar di sekolah), ia dipanggil kaedah pendek. Walaupun tujuan utamanya ialah untuk mempercepatkan pengiraan, pencongakan juga dipraktikkan dan ditambah dengan helah-helah untuk menunjukkan kemahiran pengiraan pantas.

Hampir semua kaedah sebegini menggunakan sistem angka perpuluhan. Pemilihan radiks menentukan kaedah yang sesuai dan pengiraan yang mudah untuk dilakukan dalam fikiran. Contohnya, mendarab atau membahagi dengan 10 adalah sangat mudah untuk angka perpuluhan (cuma alihkan titik perpuluhan), sementara mendarab dan membahagi dengan enam belas adalah sukar; tetapi keadaan berbeza berlaku apabila asas perenambelasan digunakan.

Terdapat banyak teknik berbeza untuk melakukan congakan, kebanyakannya adalah khusus untuk jenis-jenis masalahnya.

Buang sembilan ialah satu kaedah untuk memastikan yang hasil pengiraan aritmetik permulaan adalah benar. Dengan melihat pada asas digit input dan output, prosedur berikut boleh digunakan untuk meningkatkan keyakinan yang keputusan itu adalah benar.

1. Tambah digit kendalian pertama; sebarang 9 (atau set digit yang jika ditambah mendapat hasil 9) dianggap mempunyai nilai 0.
2. Jika hasil tambah memiliki dua atau lebih digit, tambah digit-digit tersebut seperti langkah pertama; ulang langkah ini sehingga mendapat hasil satu digit.
3. Ulang langkah satu dan dua untuk kendalian kedua. Sekarang akan terdapat dua nombor digit, satu adalah hasil dari kendalian pertama dan satu lagi hasil dari kendalian kedua. (nombor-nombor digit ini juga merupakan baki jika kendalian asal dibahagikan dengan 9; dalam bahasa matematik, ia dikenali sebagai kendalian asal modulo 9.)
4. Gunakan operasi asal (tambah, tolak, bahagi dan darab) untuk kedua-dua hasil kendalian, kemudian tambah digit-digit dari hasil operasi tersebut.
5. Tambah kesemua digit dari hasil pengiraan asal (sebelum buang sembilan dilakukan) seperti dalam langkah pertama.
6. Jika hasil dari langkah 4 tidak sama dengan hasil dari langkah 5, jadi jawapan dari pengiraan asal adalah salah. Jika kedua-dua hasil adalah sama, jawapan asal mungkin benar, tetapi tidak dijamin.

Contoh

• Katakan pengiraan asal 6338 × 79 bersamaan dengan 500702. 6338 ialah kendalian pertama, 79 ialah kendalian kedua dan operasi asalnya ialah pendaraban.

1. Tambah digit-digit 6338: (6 + 3 = 9, dianggap 0) + 3 + 8 = 11
2. Ulang jika perlu (untuk dapatkan 1 digit): 1 + 1 = 2
3. Tambah digit-digit 79: 7 + (9 dikira 0) = 7
4. Lakukan operasi asal pada kedua-dua hasil kendalian, dan tambah digit-digit dari hasilnya: 2 × 7 = 14; 1 + 4 = 5
5. Tambah digit-digit hasil pengiraan asal 500702: 5 + 0 + 0 + (7 + 0 + 2 = 9, dianggap 0) = 5
6. 5 = 5, jadi terdapat kemungkinan yang hasil pengiraan asal 6338 × 79 bersamaan 500702, adalah benar.

Apabila memeriksa congakan, ia berguna dengan menggunakan penskalaan. Contohnya, apabila mengendalikan pengiraan nombor besar seperti 1531 × 19625, penganggaran boleh dibuat untuk nilai akhir kepada pengiraan ini. 1531 adalah hampir dengan 1500 dan 19625 adalah hampir dengan 20000, jadi hasil pengiraan ini sepatutnya hampir dengan 20000 × 1500 (30000000), satu nilai anggaran yang baik untuk jawapan sebenar (30045875). Jadi jika sesuatu jawapan memiliki lebih bilangan digit dari jumlah digit dalam nilai anggaran, jawapan itu adalah salah.

Apabila mendarab, perlu diingat yang faktor-faktor kepada kendalian akan kekal. Contohnya, adalah tidak munasabah jika hasil darab 14 × 15 ialah 211 kerana 15 adalah satu nilai gandaan 5, jadi hasil darabnya sepatutnya gandaan lima juga. Jawapan yang betul ialah 210.

Apabila digit-digit b adalah semuanya lebih kecil dari digit-digit "a", pengiraan boleh dibuat secara langsung antara digit dengan digit. Contohnya, pengiraan 872 − 41 dibuat dengan menolak 1 dari 2 di tempat "sa", dan 4 dari 7 di tempat "puluh", mendapatkan jawapan:831

Apabila keadaan seperti di atas tidak berlaku, masalah ini kadang-kadang boleh diubah suai:

• Jika hanya satu digit dalam b yang lebih besar dari digit-digit a, kurangkan digit besar dalam b itu sehingga ia sama dengan digit a yang bertentangan. Kemudian dapatkan hasil operasi. Akhir sekali, tolakkan jumlah yang dikurangkan dari digit besar b sebelum ini pada hasil operasi untuk mendapatkan hasil akhir. Contohnya, untuk mengira 872 − 92, tukarkan masalah ini menjadi 872 − 72 = 800, kemudian tolakkan 20 dari 800 untuk mendapatkan hasil akhir:780.

• Jika lebih dari satu digit dalam b yang lebih besar dari digit bertentangan dalam a, ia akan menjadi mudah jika jumlah yang patut ditambah pada b untuk mendapatkan a dicari. Contohnya, untuk mengira 8192 − 732, nilai 8 boleh ditambah pada 732 (menghasilkan 740), kemudian tambah 60 (menghasilkan 800), kemudian 200 (menghasilkan 1000). Selepas itu, tambah 192 untuk mendapatkan 1192, dan akhir sekali, tambah 7000 untuk mendapatkan 8192. Jadi, jumlah yang patut ditambah pada b untuk mendapatkan nilai a adalah 7000 + 192 + 200 + 60 + 8 = 7460. Jadi 8192 − 732 = 7460.

• Ia mungkin lebih mudah pengiraan dimulakan dari kiri (nombor besar) dahulu.

Anda boleh meneka apa yang perlu dan kumpulkan semua tekaan anda, tekaan anda adalah baik selagi ia tidak melangkaui nombor "sasaran".

Kaedah ini boleh digunakan untuk menolak nombor dari kiri ke kanan, dan penggunaan memori adalah sedikit walaupun untuk menolak nombor dalam apa-apa saiz.

Satu tempat dikendalikan pada masa yang sama, kiri ke kanan.

Contoh:

          4075
        - 1844
        ------

Ribu: 4 - 1 = 3, lihat ke kanan, 075 < 844, perlu dipinjam.
           3 - 1 = 2, disebut "dua ribu"

 Ratus: 0 - 8 = nombor negatif tidak dibenarkan di sini,
           10 - 8 = 2, 75 > 44, jadi tidak perlu dipinjam,
           disebut  "dua ratus"

     Puluh: 7 - 4 = 3, 5 > 4 jadi tidak perlu dipinjam, disebut "tiga puluh"

     Sa: 5 - 4 = 1, disebut "satu"

Banyak kaedah ini berhasil disebabkan oleh sifat penaburan.

Apabila satu nombor yang didarab adalah cukup kecil untuk didarab dengan mudah oleh mana-mana digit tunggal, hasil darabnya boleh dikira dengan mudah antara digit dengan digit dari kanan ke kiri. Ini khususnya mudah untuk pendaraban dengan 2 kerana digit bawa tidak boleh lebih dari 1.

Contohnya, untuk mengira 2 × 167: 2x7=14, jadi digit akhirnya ialah 4, dengan 1 dibawa dan ditambah pada 2x6=12 untuk mendapatkan 13, jadi digit seterusnya ialah 3 dengan 1 dibawa dan ditambah pada 2x1=2 untuk mendapatkan 3. Jadi hasil darabnya ialah 334.

Untuk mendarab satu nombor dengan 5,

1. Pertama, darab nombor tersebut dengan 10, kemudian bahagikan hasilnya dengan 2.

Algoritma berikut ialah cara pantas untuk menghasilkan keputusan ini:

2. Tambahkan sifar pada bahagian kanan nombor kendalian pertama. (A.)

3. Kemudian, bermula dari angka paling kiri, bahagikan setiap digit dengan 2 (B) dan gabungkan semua hasilnya menjadi satu nombor baru; (jawapan dengan titik perpuluhan perlu dibundarkan menjadi nombor bulat).

CONTOH: Darabkan 176 dengan 5. 
     A. Tambahkan sifar pada 176 menjadikannya 1760. 
     B. Bahagikan setiap digit dengan 2 bermula dari kiri.
           1. Bahagikan 1 dengan 2 = 0.5, dibundarkan kepada 0. 
           2. Bahagikan 7 dengan 2 = 3.5, dibundarkan kepada 3.
           3. Bahagikan 6 dengan 2 = 3
4. Bahagikan 0 dengan 2 = 0

Gabungan nombor-nombor di atas menghasilkan nombor baru 0330. (Ini bukanlah jawapan akhir, tetapi satu anggaran pertama yang akan dilaras dalam langkah berikut:)

     C. Tambahkan 5 kepada nombor yang mengikut mana-mana angka tunggal di dalam nombor baru ini 
        (yang sebelum ia dibahagikan dengan 2, merupakan nombor ganjil);

CONTOH: 176 (Dalam tempat PERTAMA, KEDUA, KETIGA):

 1.Tempat PERTAMA ialah 1, yang merupakan angka ganjil. 
   Tambahkan 5 kepada nombor selepas tempat pertama dalam nombor baru (0330) iaitu 3; 3+5=8.
          
 2.Tempat KEDUA ialah 7, juga angka ganjil. 
   Hasil dari langkah pertama (0830) akan bertambah dengan 5 juga, menjadi 0880. 

 3.Tempat KETIGA ialah 6, satu angka genap, jadi nombor akhir, 0 tidak akan berubah. 
   Jawapan akhir ialah 0880. 

 Sifar paling kiri boleh dibuang, meninggalkan 880. Jadi 176 didarab 5 bersamaan dengan 880.

Oleh kerana 9 = 10 - 1, untuk mendarab dengan 9, darabkan nombor itu dengan 10 dan tolakkan nombor asal dari hasil ini. Contohnya, 9 × 27, ubahkan menjadi 10 × 27 = 270 ; jadi 9 × 27 = (270 - 27) = 243.

Tandakan setiap jari (pada kedua-dua belah tangan) dengan nombor dari 1 hingga 10, dari kiri ke kanan. Simbol "|" dalam rajah berikut mewakili setiap jari yang diangkat, manakala tanda "-" mewakili jari yang dibengkokkan.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
| | | | |  | | | | |
tangan kiri tangan kanan

Bengkokkan jari yang mewakili nombor yang akan didarab dengan sembilan

Contoh: 6 didarab dengan 9

| | | | |  - | | | |

Jari yang keenam dari kiri telah dibengkokkan. Ambil jumlah jari yang masih diangkat di sebelah kiri jari keenam dan gabungkannya dengan jumlah jari yang masih diangkat di sebelah kanan jari keenam untuk mendapatkan hasil darab.

Contoh: Terdapat 5 jari yang masih diangkat di sebelah kiri jari ke-6 dan 4 jari yang masih diangkat di sebelah kanan. Jadi 6 didarab dengan 9 = 54.

    5          4
| | | | |  - | | | |

Untuk mendarab satu integer dengan 10; cuma tambahkan angka 0 pada hujung kanan nombor tersebut.

Untuk mendarab satu bukan integer dengan 10, cuma alihkan titik perpuluhan ke kanan satu digit.

Untuk algoritma asas 10, mendarab dengan 10ⁿ (n ialah satu integer), alihkan titik perpuluhan digit-digit n ke kanan. Jika n ialah nombor negatif, alihkan perpuluhan digit-digit |n| ke kiri.

Untuk nombor digit tunggal, cuma buat pendua untuk nombor tersebut dalam digit "puluh", contohnya: 1 × 11 = 11, 2 × 11 = 22, sehingga 9 × 11 = 99.

Hasil darab 11 dengan mana-mana integer bukan sifar yang lebih besar boleh didapati dengan beberapa penambahan pada setiap digit-digitnya dari kanan ke kiri, dua pada satu masa.

Mulanya ambil digit "sa" pada pendarab dan letakkan pada hasil sementara. Kemudian, bermula dengan digit sa pada pendarab, tambah setiap digit dengan digit seterusnya ke kiri. Setiap hasil tambah 10 atau lebih akan membawa digit "puluh", yang akan sentiasa menjadi 1, dan bawanya ke penambahan seterusnya. Akhir sekali, salin digit paling kiri pendarab (nilai paling besar) ke depan (kiri sekali) hasil tersebut, tambah 1 yang dibawa ke hadapan jika perlu, untuk mendapat hasil darab akhir.

Dalam kes negatif 11, pendarab, atau kedua-duanya, letakkan tanda pada hasil darab seperti pendaraban biasa kedua-dua nombor.

Contoh langkah pengiraan untuk 759 × 11:

1. Digit "sa" untuk pendarab, 9, diletakkan pada hasil sementara.
   • hasil: 9
2. Tambah 5 + 9 = 14, jadi 4 diletakkan pada bahagian kiri hasil dan membawa digit "1" ke hadapan.
   • hasil: 49
3. Tambah 7 + 5 = 12, kemudian tambah dengan 1 (yang dibawa dari pengiraan kedua) untuk dapatkan 13. Letakkan 3 di bahagian kiri hasil dan bawa 1 ke hadapan.
   • hasil: 349
4. Tambah 1 yang dibawa ke hadapan pada digit tertinggi dalam pendarab tersebut, 7+1=8, dan salin pada hasil untuk medapatkan hasil akhir.
   • Hasil darab akhir untuk 759 × 11: 8349

Contoh lain

• −54 × −11 = 5 5+4(9) 4 = 594
• 999 × 11 = 9+1(10) 9+9+1(9) 9+9(8) 9 = 10989
  • Pengiraan 9+1 adalah digit paling tinggi nilainya.
• −3478 × 11 = 3 3+4+1(8) 4+7+1(2) 7+8(5) 8 = −38258
• 62473 × 11 = 6 6+2(8) 2+4+1(7) 4+7+1(2) 7+3(0) 3 = 687203

Kaedah lain ialah dengan cuma mendarab dengan nombor 10, dan tambah nombor asal (pendarab) pada hasil tersebut.

Contoh:

17 × 11

17 × 10 = 170 + 17 = 187

17 × 11 = 187

Untuk mendarab dengan mudah 2 nombor antara 11 dan 19 dalam algoritma ringkas seperti berikut

Rumus:

(10+a) × (10+b)

100 + 10 * (a+b) + a*b

Contoh:

17 * 16

(10+7) × (10+6)

100 + 10(7+6) + (7 × 6)
100 + 10(13) + (42)

=272

Untuk mendarab dengan mudah sebarang nombor 2 digit bersama dengan menggunakan algoritma ringkas adalah seperti berikut:

${\displaystyle (10a+b)\cdot (10c+d)}$

${\displaystyle =100(a\cdot c)+10(b\cdot c)+10(a\cdot d)+b\cdot d}$

Contoh

${\displaystyle 23\cdot 47=}$

 = [10(2) + 3]*[10(4) + 7]
 = 100(2×4) + 10(3×4) + 10(2×7) + (3×7)
 = 800 + 120 + 140 + 21 = 1081

Perlu diingat yang ini adalah sama dengan penambahan konvensional hasil darab separa, cuma ia dinyatakan kembali secara ringkas. Untuk meminimumkan jumlah elemen yang berada dalam memori, ia mungkin lebih mudah dengan melakukan penambahan hasil darab dari pendaraban "silang" dahulu, dan kemudian tambah 2 elemen yang lain:

${\displaystyle (a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10}$

${\displaystyle +b\cdot d}$

${\displaystyle +a\cdot c\cdot 100}$

i.e., sebagai contoh

[(2 × 7) + (3 × 4)] × 10

(12+14) × 10

26 × 10 = 260 + (b*d = 3 × 7) + (a*c*100 = 2 × 4 × 100)

akan menjadi mudah dengan menambah kemudian 21: 281 dan 800: 1081

Satu kaedah nemonik untuk mengingati pencongakan ini ialah FOIL. F bermaksud first (pertama), O bermaksud outer (luar), I bermaksud inner (dalam) dan L bermaksud last (akhir).

Sebagai contoh:

${\displaystyle 75\cdot 23}$

dan

${\displaystyle ab\cdot cd}$

7 mewakili a, 5 mewakili b, 2 mewakili c dan 3 mewakili d.

Gunakan persamaan

${\displaystyle a\cdot c\cdot 100+(a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10+b\cdot d}$

Persamaan ini adalah bersamaan dengan mana-mana nombor dalam asas 10 dengan tempat digit ratus, puluh dan sa. FOIL boleh juga dilihat sebagai satu nombor, dengan F adalah ratus, OI adalah puluh dan L adalah sa.

${\displaystyle a\cdot c}$ adalah hasil darab antara 2 digit pertama (paling kiri) dalam setiap dua nombor; F.

${\displaystyle (a\cdot d+b\cdot c)}$ adalah penambahan hasil darab antara digit luar (digit paling kiri dan paling kanan) dan digit dalam; OI.

${\displaystyle b\cdot d}$ adalah hasil darab digit akhir (paling kiri) untuk kedua-dua nombor; L.

Teknik ini membenarkan nombor dari 6 hingga 10 didarab dengan nombor lain dari 6 hingga 10.

Tentukan 6 kepada jari kelingking, 7 kepada jari manis, 8 kepada jari tengah, 9 kepada jari telunjuk, dan 10 kepada ibu jari. Sentuh kedua - dua jari yang mewakili dua nombor yang hendak didarab. Titik sentuh antara dua jari dan semua jari di bawah berada dalam seksyen "bawah", dan kesemua jari di atas 2 jari yang bersentuhan berada dalam seksyen "atas". Sebagai contoh, 6 × 9 akan kelihatan seperti ini:

      -10--
      --9--
      --8--  (atas)
-10-- --7--
====================
--9-- --6--  jari telunjuk kiri dan jari kelingking kanan sedang bersentuhan
--8--        (bawah)
--7-- 
--6--  
 (9  ×  6)

-10-- -10--
--9-- --9--
--8-- --8--
--7-- --7--
--6-- --6--

Berikut adalah contoh-contohnya:

• 9 × 6

atas:

      -10--
      --9--
      --8--
-10-- --7--

bawah:

--9-- --6--
--8-- 
--7-- 
--6--  

- 5 jari di bawah mewakili 5 puluh - 4 jari di atas ke kanan (4) - 1 jari di atas ke kiri (1)

Hasilnya: 9 × 6 = 50 + 4 × 1 = 54

• 6 × 8

atas:

-10--
--9-- 
--8-- -10--
--7-- --9--

bawah:

--6-- --8--
      --7--
      --6--
     

- 4 jari di bawah mewakili 4 puluh - 2 jari di atas ke kanan - 4 jari di atas ke kiri

Hasilnya: 6 × 8 = 40 + 2 × 4 = 48

Bagaimana ia dilakukan: setiap jari mewakili satu nombor (antara 6 dan 10). Sentuh kedua-dua jari yang mewakili nombor yang hendak didarab (x dan y). Jari-jari di "bawah" memberikan nombor dalam puluh, iaitu (x − 5) + (y − 5). Digit di bahagian atas kiri memberikan (10 − x) dan di bahagian atas kanan memberikan (10 − y), membawa kepada [(x − 5) + (y − 5)] × 10 + (10 − x) × (10 − y) = x × y.

Hasil darab antara nombor-nombor kecil boleh dikira dengan menggunakan integer kuasa dua; sebagai contoh, untuk mengira 13 × 17, 15 sebagai purata kepada kedua-dua faktor boleh diambil, dan fikirkannya sebagai (15 − 2) × (15 + 2), atau 15² − 2². Dengan mengetahui 15² adalah 225 dan 2² adalah 4, penolakan mudah menunjukkan yang 225 − 4 = 221, yang merupakan hasil darab yang dikehendaki.

Kaedah ini memerlukan pengetahuan beberapa nombor kuasa dua:

• 1² = 1
• 2² = 4
• 3² = 9
• 4² = 16
• 5² = 25
• 6² = 36
• 7² = 49
• 8² = 64
• 9² = 81
• 10² = 100
• 11² = 121
• 12² = 144
• 13² = 169
• 14² = 196
• 15² = 225
• 16² = 256
• 17² = 289
• 18² = 324
• 19² = 361
• 20² = 400
• 21² = 441
• 22² = 484
• 23² = 529
• 24² = 576
• 25² = 625
• 26² = 676
• 27² = 729
• 28² = 784
• 29² = 841
• 30² = 900

Ia mungkin berguna juga untuk mengetahui yang perbezaan anatara dua nombor kuasa dua yang berturutan adalah penambahan punca kuasa dua untuk keduanya. Jadi, jika anda sudah mengetahui yang 12 × 12 = 144 dan mahu mengetahui 13 × 13, kira x - 144 = 12 + 13, jadi x=12 + 13 + 144, jadi x=169.

Ini kerana (x + 1)² − x² = x² + 2x + 1 − x² = x + (x + 1)

x² = (x − 1)² + (2x − 1)

Katakan kita perlu mengkuasa duakan satu nombor x di bawah 50. Nombor ini boleh dinyatakan sebagai x = 50 − n, dan x² adalah bersamaan dengan

=(50−n)²

=(50−n)²(50−n)²

= 50² − 100n + n²

= 2500 - 100n + n²

Contoh; mengkuasa duakan 48 yang bersamaan dengan (50 - 2)

=2500 - 100(2) + 2²

=2304

Untuk nombor yang lebih besar dari 50 (x = 50 + n), gantikan - 100n dengan + 100n.

• 1. Ambil digit sebelum lima: abc5, a, b, dan c adalah digit-digit
  2. Darab nombor ini dengan dirinya dan positif satu: abc(abc + 1)
  3. Ambil hasil di atas dan letakkan 25 di hujung kanannya.
  • Contoh: 85 × 85
    1. 8
    2. 8 × 9 = 72
    3. Jadi, 85² = 7,225
  • Contoh: 125²
    1. 12
    2. 12 × 13 = 156
    3. So, 125² = 15,625
  • Penjelasan Matematik
    • (10x + 5)² = 100x(x + 1) + 25
    • (10x + 5)(10x + 5) = 100(x² + x) + 25
    • 100x² + 100x + 25 = 100x² + 100x + 25

Kaedah ini memerlukan penghafalan semua kuasa dua nombor dari 1 hingga 25.

Kuasa dua n dijelaskan dalam rumus berikut

(50 − n)² + 100(n − 25)

Sebagai contoh, kuasa dua untuk 62 ialah:

(−12)² + [(62-25) × 100]

= 144 + 3,700

= 3,844

Kaedah ini memerlukan penghafalan kuasa dua nombor dari 1 hingga 25.

Kuasa dua n dijelaskan dalam rumus berikut.

(100 − n)² + 100(100 − 2(100 − n))

Sebagai contoh, kuasa dua untuk 93 ialah:

7² + 100(100 − 2(7))

= 49 + 100 × 86

= 49 + 8,600

= 8,649

Untuk melihatnya dari sudut yang lain:

93² = ? (ialah −7 dari 100)

93 − 7 = 86 (ini memberikan 2 digit pertama)

(−7)² = 49 (ini merupakan 2 digit seterusnya)

93² = 8649

Contoh yang lain:

82² = ? (ialah -18 dari 100)

82 - 18 = 64 (dua digit pertama)

(-18)² = 324 (dua digit kedua. 3 perlu dibawa ke hadapan)

82² = 6724

Ambil satu nombor yang diberi, dan tambah dan tolak satu nilai darinya untuk memudahkannya didarab. Contoh:

492²

492 adalah hampir dengan 500, yang mudah untuk didarab. Tambah dan tolak 8 (perbezaan antara 500 dan 492) untuk mendapatkan

492 -> 484, 500

Darabkan kedua-dua nombor untuk mendapatkan 242,000 (ini boleh dilakukan dengan cekap dengan mendarab 484 dengan 1000=484,000 dan bahagikannya dengan 2). Akhir sekali, tambah perbezaan (8) yang dikuasa duakan (8² = 64) pada hasil di atas:

492² = 242,064

Kaedah ini memerlukan penghafalan nombor kuasa dua dari 1 hingga 9.

Kuasa dua mn yang merupakan satu integer dua digit, boleh dikira dengan rumus berikut

10 × m(mn + n) + n²

Contoh untul 23²:

232
= 10 × 2(23 + 3) + 3²
= 10 × 2(26) + 9
= 520 + 9
= 529

Jadi 23² = 529.

Satu kaedah mudah menganggar punca kuasa dua untuk satu nombor ialah dengan menggunakan persamaan berikut:

${\displaystyle {\text{punca kuasa }}\simeq {\text{ punca kuasa dua diketahui}}-{\frac {{\text{kuasa dua diketahui}}-{\text{kuasa dua tak diketahui}}}{2\times {\text{punca kuasa dua diketahui}}}}\,}$

Semakin hampir kuasa dua diketahui kepada yang tak diketahui, semakin tepat penganggaran tersebut. Sebagai contoh, untuk menganggar punca kuasa 15, kita boleh mulakan dengan mengetahui yang kuasa dua sempurna paling hampir ialah 16 (4²).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{punca kuasa}}&\simeq 4-{\frac {16-15}{2\times 4}}\\&\simeq 4-0.125\\&\simeq 3.875\\\end{aligned}}\,\!}$

Jadi kita telah menganggar punca kuasa dua 15 sebagai 3.875. Punca kuasa sebenar 15 ialah 3.872983...

Penerbitan

Katakan kita mahu mencari punca kuasa dua satu nombor yang dipanggil 'x'. Secara definisi

${\displaystyle \mathrm {puncakuasa} ^{2}=x\,\!}$

Kemudian kita mendifinisikan semula punca kuasa tersebut

${\displaystyle \mathrm {puncakuasa} =a-b\,\!}$

'a' ialah punca kuasa diketahui (4 dalam contoh di atas) dan 'b' ialah perbezaan antara punca kuasa diketahui dan jawapan yang kita sedang cari.

${\displaystyle (a-b)^{2}=x\,\!}$

Kembangkannya

${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=x\,\!}$

Dan di sini adalah helahnya. Jika 'a' hampir dengan sasaran anda, 'b' akan menjadi nombor yang cukup kecil untuk membuatkan elemen ${\displaystyle +\,b^{2}\,\!}$ dalam persamaan tersebut terabai. Jadi kita buang ${\displaystyle +\,b^{2}\,\!}$ dan susun semula persamaan menjadi

${\displaystyle b\simeq {\frac {a^{2}-x}{2a}}\,\!}$

jadi

${\displaystyle \mathrm {puncakuasa} \simeq a-{\frac {a^{2}-x}{2a}}\,\!}$

Ini merupakan satu tugas yang mudah untuk banyak kuasa-kuasa yang besar, tetapi kurang berguna selain untuk membuat kawan anda kagum (Secara praktikalnya, pencarian punca kuasa jarang melibatkan kuasa-kuasa sempurna). Tugas ini tidaklah sesusah bunyinya terutamanya kerana kaedah asasnya ialah mencari digit terakhir menggunakan digit akhir kuasa yang diberi dan seterusnya mencari digit-digit yang lain menggunakan magnitud kuasa yang diberi. Kaedah ini mungkin kelihatan sukar difahami, tetapi bagaimanapun ia ada direkodkan dan dipraktikkan. Lihat punca kuasa ke-13.

Kaedah mudah untuk orang yang baru belajar ialah mengekstrak punca kuasa tiga dari kuasa tiga nombor 2 digit. Contohnya, diberi 74088. Tentukan 2 nombor digit yang apabila yang didarab dengan dengan dirinya tiga kali, menghasilkan 74088. Seseorang yang mengetahui rahsianya akan dengan pantas mengetahui jawapannya iaitu 42, 42³ = 74088.

Sebelum mempelajari prosedurnya, sesorang pengira perlu menghafal kuasa tiga nombor dari 1 hingga 10.

• 1³ = 1 (digit akhir 1)
• 2³ = 8 (digit akhir 8)
• 3³ = 27 (digit akhir 7)
• 4³ = 64 (digit akhir 4)
• 5³ = 125 (digit akhir 5)
• 6³ = 216 (digit akhir 6)
• 7³ = 343 (digit akhir 3)
• 8³ = 512 (digit akhir 2)
• 9³ = 729 (digit akhir 9)
• 10³ = 1000

Kemudian, tentukan digit pada tempat sa mengikut keterangan di bawah. Contohnya, untuk mengekstrak punca kuasa tiga untuk 29791. Oleh kerana nombor ini berakhir dengan 1, jadi digit pada tempat sa (digit paling kanan) untuk punca kuasa tiganya adalah 1.

• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 0, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 0.
• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 1, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 1.
• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 2, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 8.
• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 3, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 7.
• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 4, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 4.
• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 5, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 5.
• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 6, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 6.
• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 7, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 3.
• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 8, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 2.
• Jika kuasa tiga sempurna berakhir dengan 9, punca kuasa tiganya mesti diakhiri dengan 9.

Seterusnya, tentukan digit pertama (paling kiri) untuk dua digit punca kuasa tiga dengan melihat pada magnitud kuasa tiga yang diberi. Untuk melakukannya, buang 3 digit terakhir dari kuasa tiga yang diberi (29791 -> 29) dan cari kuasa tiga paling besar darinya (ketika inilah, hafalan semua kuasa tiga di atas diperlukan). Di sini, 29 adalah lebih besar dari 1³, 2³(8) dan 3³(27), tetapi kurang dari 4³(64). Jadi, kuasa tiga terbesar yang kurang dari 29 ialah 3, yang juga digit pertama untuk dua digit punca kuasa tiga 29791.

Maka, punca kuasa tiga 29791 ialah 31.

Contoh lain:

• Cari punca kuasa tiga 456533.
• Punca kuasa tiganya mesti berakhir dengan 7.
• Selepas 3 digit terakhir dibuang, tinggal 456.
• 456 adalah lebih besar dari kuasa tiga nombor sehingga 7³.
• Jadi, digit pertama untuk punca kuasa tiga ialah 7.
• Punca kuasa tiga 456533 ialah 77.

Untuk menganggar satu log umum (sehingga sekurang-kurangnya ketepatan satu titik perpuluhan), beberapa hukum log dan penghafalan beberapa log diperlukan. Seseorang mesti tahu:

• log(a x b) = log(a) + log(b)
• log(a / b) = log(a) - log(b)
• log(0) tidak wujud
• log(1) = 0
• log(2) ~ .30
• log(3) ~ .48
• log(7) ~ .85

Dari maklumat ini, seseorang boleh mencari log untuk sebarang nombor dari 1 hingga 9.

• log(1) = 0
• log(2) ~ .30
• log(3) ~ .48
• log(4) = log(2 x 2) = log(2) + log(2) ~ .60
• log(5) = log(10 / 2) = log(10) - log(2) ~ .70
• log(6) = log(2 x 3) = log(2) + log(3) ~ .78
• log(7) ~ .85
• log(8) = log(2 x 2 x 2) = log(2) + log(2) + log(2) ~ .90
• log(9) = log(3 x 3) = log(3) + log(3) ~ .96
• log(10) = 1 + log(1) = 1

Langkah pertama untuk menganggar log umum ialah dengan melatakkan nombor yang diberi, dalam tatatanda saintifik. Contohnya, nombor 45 dalam tatanda saintifik ialah 4.5 x 10^1, tetapi di sini ialah dipanggil a x 10^b. Kemudian, cari log a yang berada antara 1 dan 10. Mulakan dengan mencari log 4, iaitu .60, dan log 5, iaitu .70, kerana 4.5 berada antara keduanya. Kemudian, letakkan satu 5 di atas skala logaritma antara .6 dan .7, di sekitar .653 (Nota: nilai sebenar untuk tempat-tempat perpuluhan tambahan akan sentiasa lebih besar jika ia diletakkan pada skala biasa. i.e., anda mungkin menjangka akan mendapat .650, tetapi mendapat nilai yang lebih besar sedikit, dalam kes ini, .653) Setelah anda berjaya mendapatkan log untuk a, cuma tambah b padanya untuk mendapatkan penganggaran log umum. Dalam kes ini a + b = .653 + 1 = 1.653. Nilai sebenar log(45) = 1.65321.

Proses yang sama digunakan untuk nombor antara 0 dan 1. Sebagai contoh .045 akan ditulis sebagai 4.5 x 10^-2. Perbezaannya cuma b sekarang adalah nombor negatif. Ini akan menghasilkan .653-2, atau -1.347.

Terdapat banyak lagi kaedah pengiraan dalam pencongakan. Senarai di bawah menunjukkan beberapa kaedah lain pengiraan, walaupun tidak semua menggunakan pencongakan sepenuhnya.

• Matematik Veda
• Sistem Trachtenberg
• Sistem sempoa
• Chisanbop

Kejohanan Pengiraan Congak Dunia (Piala Duni Pengiraan Congak) diadakan pada tahun 2004. Ia berlangsung setiap dua tahun. Ia terdiri dari enam tugasan berbeza: penambahan sepuluh nombor sepuluh digit, pendaraban nombor lapan digit, pengiraan punca kuasa dua dan pengiraan hari-hari berdasarkan tarikh, ditambah dengan dua tugasan kejutan.

• Matematik
• Soroban
• Sempoa
• Mesin hitung congak
• Punca ke-13
• Hukum Doomsday

• Piala Dunia untuk Pengiraan Congak
• Proses mental dan pembinaan memori sekunder untuk mempercepatkan pengiraan
• Bukti untul pertambahan pengkhususan fungsi dalam korteks parietal kiri yang lemah
• Gelombang EEG yang besar yang terhasil dari Pencongakan PDF^{[pautan mati kekal]}
• Program Javascript untuk pencongakan

• (Perancis) F.F.C.M Fédération Française de Calcul Mental.
• (Perancis) A.F.C.M Association Française de Calcul Mental.