Eilera formula

Eilera formula, kas nosaukta Leonarda Eilera vārdā, ir formula komplekso skaitļu analīzē, kas saista trigonometriskās funkcijas ar kompleksas pakāpes funkciju. Eilera formula apgalvo, ka jebkuram reālam skaitlim ${\displaystyle x}$ izpildās:

${\displaystyle e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}}$, kur ${\displaystyle e}$ ir Eilera skaitlis, ${\displaystyle i}$ ir imaginārā vienība un ${\displaystyle \cos }$, ${\displaystyle \sin }$ ir trigonometriskās funkcijas kosinuss un sinuss.^[1] Formula ir arī spēkā, ja ${\displaystyle x}$ ir komplekss skaitlis.^[2]

Kad ${\displaystyle x=\pi }$, Eilera formula ir vienāda ar ${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$.

Pakāpes funkcija ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$, kur ${\displaystyle z}$ ir komplekss skaitlis ir unikāla atvasināma funkcija ar kompleksu mainīgo, kurai izpildās šādas īpašības:

${\displaystyle {\frac {df}{dz}}=f}$ un

${\displaystyle f(0)=1}$

Priekš kompleksiem mainīgajiem ${\displaystyle z}$ izpildās Teilora rinda:

${\displaystyle e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$.

Priekš kompleksiem mainīgajiem ${\displaystyle z}$ izpildās robeža:

${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {z}{n}})^{n}}$

Robežās definīcijas izmantotie ${\displaystyle n}$ ir pozitīvie veselie skaitļi.

Pastāv vairāki formulas pierādījumi.

Apskatīsim funkciju ${\displaystyle f(\theta )={\frac {\cos {\theta }+i\sin {\theta }}{e^{i\theta }}}}$ jeb ${\displaystyle f(\theta )=e^{-i\theta }(\cos {\theta }+i\sin {\theta })}$, kur ${\displaystyle \theta }$ ir reāls skaitlis. Atvasinot pēc ${\displaystyle \theta }$ ar reizināšanas kārtulu iegūst:

${\displaystyle {\frac {df(\theta )}{d\theta }}=-ie^{-i\theta }(\cos {\theta }+i\sin {\theta })+e^{-i\theta }(-\sin {\theta }+i\cos {\theta }))}$, iznesot pirms iekavām ${\displaystyle e^{-i\theta }}$ iegūst ${\displaystyle e^{-i\theta }(-i\cos {\theta }+\sin {\theta }-\sin {\theta }+i\cos {\theta })}$. Tā kā visi iekavas locekļi noīsinās, tad ${\displaystyle {\frac {df(\theta )}{d\theta }}}$ ir nulle, jeb ${\displaystyle f(\theta )}$ ir konstanta funkcija. Tā kā ${\displaystyle f(0)=1}$, tad pie jebkuras vērtības ${\displaystyle \theta }$ izpildās ${\displaystyle f(\theta )={\frac {\cos {\theta }+i\sin {\theta }}{e^{i\theta }}}=1}$, jeb ${\displaystyle \cos {\theta }+i\sin {\theta }=e^{i\theta }}$.

Izmantojot imaginārās vienības ${\displaystyle i}$ pakāpju īpašības:

${\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned}}}$

Tagad var izmantot kompleksās pakāpes Teilora rindas definīciju priekš reāliem skaitļiem ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}}$

Pēdējā solī tiek pamanīts, ka divas bezgalīgās rindas konverģē uz ${\displaystyle \cos {x}}$ un ${\displaystyle \sin {x}}$ funkcijām. Šādi grupēt mainīgos drīkst, jo pati bezgalīgā rinda pēc absolūtās vērtības konverģē.

Izmantojot Eilera formulu, trigonometrisko funkciju definīcijas un pakāpju īpašības, iespējams pierādīt lielu daļu trigonometrisko identitāšu.

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\\\sin x&=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.\end{aligned}}}$^[2]

Šīs divas izteiksmes var iegūt, saskaitot un atņemot Eilera formulas un izsakot ${\displaystyle \cos }$ vai ${\displaystyle \sin }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x,\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}$

Kompleksās pakāpes var vienkāršot trigonometriju, jo tās ir vieglāk pārveidot. Piemēram:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cos y&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{iy}+e^{-iy}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}}+{\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}}{\bigg )}\\&={\frac {1}{2}}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right).\end{aligned}}}$