ប៉ារ៉ាបូល

អ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិក្រិចបានរកឃើញជំពូកកោនិចនៅចន្លោះ៣០០ឆ្នាំ និង ៦០០ឆ្នាំមុនគ.ស ហើយក៏បានរកឃើញមុនគេបង្អស់ពីលក្ខណៈធរណីមាត្ររបស់កោនិច។​ នៅដើមសតវត្សទី១៧ ការអនុវត្តកោនិចបានចាប់ផ្តើមឡើងលើសកលលោក ហើយមានតួនាទីសំខាន់ក្នុងការអភិវឌ្ឍផ្នែកគណនា។ ផ្នែកមូលដ្ឋានគ្រឹះរបស់កោនិចគឺរង្វង់ ប៉ារ៉ាបូល អេលីប និង អ៊ីពែរបូល។

ប៉ារ៉ាបូលគឺជាសំនុំចំនុច ${\displaystyle M(x,y)\!}$ ក្នុងប្លង់ដែលនៅស្មើចំងាយពីចំនុចនឹងមួយ និង​ពីរបន្ទាត់នឹងមួយ។

• ​ ចំនុចនឹងមួយនោះហៅថាកំណុំនៃប៉ារ៉ាបូល។
• បន្ទាត់នឹងនោះហៅថាបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល។

ចំនុចកណ្តាលរវាងកំនុំ និងចំនុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ប្រាប់ទិស និង អ័ក្សនៃប៉ារ៉ាបូល ហៅថាកំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល។​ បន្ទាត់ដែលកាត់តាមកំណុំ និង កំពូលហៅថា អ័ក្ស​​នៃប៉ារ៉ាបូល ឬ អ័ក្សឆ្លុះនៃប៉ារ៉ាបូល។

តាមនិយមន័យប៉ារ៉ាបូល យើងអាចទាញទ្រឹស្តីបទសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិសស្របនឹងអ័ក្ស ${\displaystyle (x'0x)\!}$ ឬ អ័ក្ស ${\displaystyle (y'0y)\!}$​ ក្នុងតំរុយអរតូណរមេ។

ប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល ${\displaystyle (h;k)\!}$ និងមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិស ${\displaystyle y=k-p\!}$ មានសមីការទំរង់ស្តង់ដា ${\displaystyle (x-h)^{2}=4p(y-k)\!}$ ។ អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សឈរ។

ប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល ${\displaystyle (h;k)\!}$ និងមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិស ${\displaystyle x=h-p\!}$ មានសមីការទំរង់ស្តង់ដា ${\displaystyle (y-k)^{2}=4p(x-h)\!}$។ អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សដេក។

កំណុំស្ថិតនៅលើអ័ក្សឆ្លុះមានចំងាយ P ឯកតាពីកំពូល។ p ហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត។

យើងស្រាយបញ្ជាក់តែករណីបន្ទាត់ប្រាប់ទិសស្របនឹងអ័ក្ស${\displaystyle (x'0x)\!}$ ហើយកំណុំស្ថិតនៅលើកំពូលមានន័យថា ${\displaystyle p>0\!}$ ។

បើ​ ${\displaystyle (x;y)\!}$ ជាចំនុចនៅលើប៉ារ៉ាបូល​ នោះ ចំនុច ${\displaystyle (x;y)\!}$ ស្មើចំងាយពីកំនុំ ${\displaystyle (h;k+p)\!}$ និង បន្ទាត់ប្រាប់ទិស ${\displaystyle y=k-p\,}$​ ។

តាមរូបមន្ត ចំងាយរវាងពីរចំនុច​ និង ចម្ងាយរវាងចំណុច និង បន្ទាត់។

គេបាន

${\displaystyle {\sqrt {(x-h)^{2}+[y-(k+p)]^{2}}}\,=\,|y-(k-p)|\,}$
${\displaystyle (x-h)^{2}+[y-(k+p)]^{2}\,=\,[y-(k-p)]^{2}\,}$
${\displaystyle (x-h)^{2}+y^{2}-2y(k+p)+(k+p)^{2}\,=\,y^{2}-2y(k-p)+(k-p)^{2}\,}$
${\displaystyle (x-h)^{2}-2yk-2py+k^{2}-2pk+p^{2}\,=\,-2yk+2py+k^{2}+2pk+p^{2}\,}$
${\displaystyle (x-h)^{2}-2py+2pk\,=\,2py-2pk\,}$

${\displaystyle (x-h)^{2}\,=\,4py-4pk\,}$ ។ ដូច្នេះ ${\displaystyle (x-h)^{2}\,=\,4p(y-k)\,}$ ។

ឧទាហរណ៍១ រកទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល (2;1) និង​ កំនុំ(2;4) ។

• ចំលើយ ដោយអាប់ស៊ីសកំពូល និង​ កំនុំស្មើគ្នា អរដោនេខុសគ្នា ហើយអ័ក្សឆ្លុះកាត់តាមកំពូល និង កំនុំ នោះអ័ក្សឆ្លុះនៃប៉ារ៉ាបូលជាអ័ក្សឈរ។

គេបានសមីការ ${\displaystyle (x-h)^{2}=4p(y-k)\,}$ ។ ដែល ${\displaystyle h=2\,;\,k=1\,;\,p=4-1=3\,}$ ។

ដូចនេះ ទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូលគឺ ${\displaystyle (x-2)^{2}=12(y-1)\,}$ ។

ឧទាហរណ៍២ រកទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល (-2;1) និង បន្ទាត់ប្រាប់ទិស${\displaystyle x=1\,}$ ។

• ចំលើយ ដោយ ${\displaystyle x=1\,}$ នោះបន្ទាត់ប្រាប់ទិសជាបន្ទាត់ឈរ។ គេបានសមីការ ${\displaystyle (y-k)^{2}=4p(x-h)\,}$ (1)

ដែល ${\displaystyle h=-2;k=1\,}$

ដោយ ${\displaystyle x=h-p\,}$ នាំអោយ ${\displaystyle p=h-x=-2-1=-3\,}$ ។ ជំនួស ${\displaystyle h=-2\,;\,k=1\,}$ និង ${\displaystyle p=-3\,}$

ក្នុងសមីការ (1) គេបាន ${\displaystyle (y-1)^{2}=-12(x+2)\,}$ ។

ដូចនេះ ទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូលគឺ ${\displaystyle (y-1)^{2}=-12(x+2)\,}$ ។

សមីការទូទៅរបស់ប៉ារ៉ាបូលមានរាង ${\displaystyle Ax^{2}+Cx+Dy+E=0\,}$ រឺ ${\displaystyle By^{2}+Cx+Dy+E=0\,}$ ។

ឧទាហរណ៍១ បំប្លែងសមីការទូទៅនៃប៉ារ៉ាបូល ${\displaystyle y^{2}+8y-8x=0\,}$ ជាទំរង់ស្តង់ដា។

គេមាន ${\displaystyle y^{2}+8y-8x=0\,}$

${\displaystyle y^{2}+8y=8x\,}$

${\displaystyle y^{2}+8y+16=8x+16\,}$ ។

ដូចនេះ ${\displaystyle (y+4)^{2}=8(x+2)\,}$ ជាទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូល ។

ឧទាហរណ៍២ បំប្លែងសមីការទូទៅនៃប៉ារ៉ាបូល ${\displaystyle x^{2}-2x+8y+9=0\,}$ ជាទំរង់ស្តង់ដា ។

គេមាន ${\displaystyle x^{2}-2x+8y+9=0\,}$

${\displaystyle x^{2}-2x=-8y-9\,}$

${\displaystyle x^{2}-2x+1=-8y-9+1\,}$ ។

ដូចនេះ ${\displaystyle (x-1)^{2}=-8(y+1)\,}$ ជាទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូល ។

ឧទាហរណ៍១ រកកំពូល និង កំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល​ ${\displaystyle y=-{\frac {1}{2}}x^{2}-x+{\frac {1}{2}}\,}$ ។

• ចំលើយ

គុណអង្គទាំងពីរនៃសមីការនឹង 2 គេបាន

${\displaystyle 2y=-x^{2}-2x+1\,}$
${\displaystyle 2y=1-(x^{2}+2x)\,}$
${\displaystyle 2y=1-(x^{2}+2x+1-1)\,}$
${\displaystyle 2y=1-[(x+1)^{2}-1]\,}$
${\displaystyle 2y=2-(x+1)^{2}\,}$
${\displaystyle (x+1)^{2}=2-2y\,}$
${\displaystyle (x+1)^{2}=-2(y-1)\,}$ ។

ប្រៀបធៀបសមីការ ${\displaystyle (x+1)^{2}=-2(y-1)\,}$ និងសមីការ ${\displaystyle (x-h)^{2}=4p(y-k)\,}$ គេបាន ${\displaystyle h=-1\,;\,k=1\,}$ ។
ដូចនេះ កំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល ${\displaystyle (h;k)=(-1;1)\,}$​ ។

ដោយ ${\displaystyle 4p=-2\,}$ នាំអោយ ${\displaystyle p=-{\frac {1}{2}}\,}$ ។

${\displaystyle p=-{\frac {1}{2}}\,;\,h=-1\,;\,k=1\,}$ នាំអោយកំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល ${\displaystyle (h;k+p)=\left(-1;1-{\frac {1}{2}}\right)=\left(-1;{\frac {1}{2}}\right)\,}$ ។

ឧទាហរណ៍២ រកកំពូល និង កំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល​ ${\displaystyle y^{2}+y-2x+{\frac {41}{4}}=0\,}$ ។

• ចំលើយ

គេមាន ${\displaystyle y^{2}+y-2x+{\frac {41}{4}}=0\,}$
${\displaystyle y^{2}+y=2x-{\frac {41}{4}}\,}$
${\displaystyle y^{2}+y+{\frac {1}{4}}=2x-{\frac {41}{4}}+{\frac {1}{4}}\,}$
${\displaystyle \left(y+{\frac {1}{2}}\right)^{2}=2x-{\frac {40}{4}}=2x-10\,}$
${\displaystyle \left(y+{\frac {1}{2}}\right)^{2}=2(x-5)\,}$

ប្រៀបធៀបសមីការ ${\displaystyle \left(y+{\frac {1}{2}}\right)^{2}=2(x-5)\,}$ និងទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូល ${\displaystyle (y-k)^{2}=4p(x-h)\,}$ ។

គេបាន ${\displaystyle k=-{\frac {1}{2}}\,;\,h=5\,}$ ។

ដូចនេះ កំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល ${\displaystyle (h,k)=\left(5-{\frac {1}{2}}\right)\,}$ ។

ដោយ ${\displaystyle 4p=2\,}$ នាំអោយ ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}\,}$ ។​ ដូចនេះ កំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល ${\displaystyle (h+p,k)=\left({\frac {11}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)\,}$ ។