恒等写像

厳密に述べれば、M を集合として、M 上の恒等写像 f とは、定義域および終域がともに M であるような写像であって、M の任意の元 x に対して

f(x) = x

を満たすものを言う^[1]。言葉で書けば、M 上の恒等写像は、M の各元 x に x 自身を対応させて得られる M から M への一つの写像である^[2]。

M 上の恒等写像はしばしば id_M や 1_M などで表される。

写像を二項関係と見るならば、恒等写像は恒等関係と呼ばれる函数関係（英語版）、即ち M の対角集合 (diagonal set) Δ = {(x, x) | x ∈ M} で与えられる^[3]。

f: M → N を任意の写像とすると、

${\displaystyle f\circ {\text{id}}_{M}=f={\text{id}}_{N}\circ f}$ 

が成り立つ（"∘" は写像の合成）。特に、id_M は M から M への写像（M 上の変換）全体の成す集合が合成に関して成す半群（M 上の全変換半群（英語版））T_M における単位元（中立元）であり、従って T_M はモノイドを成す。

モノイドの単位元はただ一つであるから、M 上の恒等写像の別な定義として、全変換モノイドの単位元として定めることも可能である。このような定義は、圏論における恒等射の概念に一般化することができる。この文脈では M 上の自己型射が写像である必要はない。

• 正整数全体の成す乗法モノイドの上で恒等写像を考えると、それは本質的に 1-倍写像であり、また数論的函数の意味で完全乗法的（英語版）である^[4]
• ベクトル空間上の恒等写像は線型写像である^[5]。n-次元線型空間上の恒等写像は n × n 単位行列 I_n を表現行列に持つが、これは基底の取り方に依らない^[6]。
• 距離空間における恒等写像は自明な意味で等長写像である。いかなる対称性も持たない任意の対象が、恒等写像のみからなる自明群を対称変換群（英語版）として持つ（対称型が C₁ である）^[7]。
  • 単に台集合 X 上の恒等写像 id_X を考えた場合、X 上の異なる距離 d₁, d₂ に関して、恒等写像 id_X は二つの距離空間 (X, d₁), (X, d₂) の間の等距変換とはならない。
• 位相空間 (X, τ₁), (X, τ₂) と台集合 X 上の恒等写像 I_X を考えたとき、I_X が連続写像となるための必要十分条件は、τ₁ が τ₂ よりも細かいことである。

1. ^ (Knapp 2006)
2. ^ (松坂 1968, p. 28)
3. ^ (ブルバキ 1984, p. 10)
4. ^ (Marshal, Odell & Starbird 2007)
5. ^ (Anton 2005)
6. ^ (Shores 2007)
7. ^ (Anderson 2005)

• ニコラ・ブルバキ『集合論 要約』東京図書〈数学原論 (4)〉、1984年。ISBN 978-4489001048。 
• 松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。ISBN 978-4000054249。 
• Knapp, Anthony W. (2006), Basic algebra, Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9 
• Marshall, D.; Odell, E.; Starbird, M. (2007). Number Theory through Inquiry. Mathematical Association of America Textbooks. Mathematical Assn of Amer. ISBN 978-0883857519 
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International 
• Shores, T. S. (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 038-733-195-6. https://books.google.co.uk/books?id=8qwTb9P-iW8C&dq=Matrix+Analysis&sa=X&ei=SCd1UryWD_LG7Aag_4HwBg&hl=en 
• James W. Anderson (2005), Hyperbolic Geometry, Springer, ISBN 1-85233-934-9 

• 包含写像

• Weisstein, Eric W. "Identity Function". mathworld.wolfram.com (英語).
• identity map - PlanetMath.org（英語）