Cosecante

In trigonometria la cosecante è una funzione definita come il reciproco del seno e indicata solitamente con la notazione csc:^[1]

In un triangolo rettangolo, la cosecante di un angolo acuto corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa e il cateto a esso opposto

\csc x={\frac {1}{\sin x}}

Poiché il seno di un angolo è nullo quando l'angolo è pari a $k\pi$ ( $k$ intero), la cosecante è definita sul dominio dei reali privati dei multipli interi di $\pi$ . In conseguenza di ciò, il grafico della funzione cosecante ha asintoti verticali per $x=k\pi$ .

In un triangolo rettangolo, la cosecante di un angolo acuto corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa e il cateto a esso opposto^[2]: se tale cateto è unitario, la cosecante dell'angolo corrisponde all'ipotenusa del triangolo.

Caratteristiche

Periodo

La cosecante è una funzione periodica con periodo $2\pi$ , formalmente:

\csc x=\csc(x+2k\pi ),k\in \mathbb {Z}

.

Valori notevoli

Una tabella di alcuni valori notevoli può essere ottenuta facilmente ricordando che $\csc x={1 \over \operatorname {sen} x}$ :^[3]

$x$ in radianti	0	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {5}{12}}\pi$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$
$x$ in gradi	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°	180°	270°	360°
$\csc(x)$	$\nexists$	${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$	$1$	$\nexists$	$-1$	$\nexists$

Derivata

La derivata prima della cosecante si ottiene ricordando la sua definizione ed applicando la regola di derivazione di una quoziente^[4]:

{\frac {d}{dx}}\csc x={\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\sin x}}=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-\csc x\cdot \cot x

Note

^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p.183
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria, Ghisetti e Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6. p.182
^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p.182
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0. p. V17

Bibliografia

Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria, Ghisetti e Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6.