Successione di Mayer-Vietoris

In matematica, più precisamente in topologia algebrica, la successione di Mayer-Vietoris è uno strumento per calcolare alcuni invarianti topologici come i gruppi di omologia e di coomologia di uno spazio topologico attraverso i gruppi di omologia (o, rispettivamente, di coomologia) di suoi sottospazi e della loro intersezione; è analoga al teorema di Van Kampen per il calcolo del gruppo fondamentale. Prende il nome dai due matematici austriaci Walther Mayer e Leopold Vietoris, che lo dimostrarono negli anni Venti del Novecento.

Dato uno spazio X e due suoi aperti U e V che ricoprono X, la successione di Mayer-Vietoris è la successione esatta ${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(U\cap V)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(U\cap V)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(U)\oplus H_{0}(V)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\rightarrow \,0.\end{aligned}}}$

dove gli H_i sono i gruppi di omologia (o di coomologia).

Le mappe i_* e j_* corrispondono alle inclusioni di ${\displaystyle U\cap V}$ in U e V rispettivamente, mentre k_* ed l_* a quelle di U e V in X.

Una prima ed importante applicazione della successione di Mayer-Vietoris è il calcolo dei gruppi di omologia delle sfere n-dimensionali Sⁿ. Scegliendo due punti p e q della sfera, e

${\displaystyle U=S^{n}\setminus \{p\}\qquad V=S^{n}\setminus \{q\}}$

questi sono omeomorfi a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (quindi contraibili e con gruppi di omologia, eccetto lo 0-esimo, banali) mentre la loro intersezione è omeomorfa a ${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$, e quindi omotopicamente equivalente a S^{n -1}. Si ha dunque, per n > 1,

${\displaystyle H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\rightarrow H_{n}(S^{n})\rightarrow H_{n-1}(U\cap V)\rightarrow H_{n-1}(U)\oplus H_{n-1}(V)}$

ovvero

${\displaystyle 0\rightarrow H_{n}(S^{n})\rightarrow H_{n-1}(S^{n-1})\rightarrow 0}$

e quindi ${\displaystyle H_{n}(S^{n})}$ è isomorfo a ${\displaystyle H_{n-1}(S^{n-1})}$; da cui, usando l'omologia di S⁰ (che consiste di due punti), si ha

${\displaystyle H_{n}(S^{k})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mbox{se }}n\in \{0,k\}\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{cases}}}$

La successione di Mayer-Vietoris permette di calcolare facilmente i gruppi di omologia del bouquet di due spazi se questi sono localmente contraibili (ovvero se i punti identificati hanno intorni di cui sono un loro retratto di deformazione): in questo caso, prendendo come U e V i due spazi più la parte l'intorno contraibile del punto base si ha

${\displaystyle H_{n}(U\cap V)=0\rightarrow H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\rightarrow H_{n}(X)\rightarrow 0=H_{n-1}(U\cap V)}$

e quindi

${\displaystyle H_{n}(U)\oplus H_{n}(V)\cong H_{n}(X)}$

Un'altra applicazione è nel calcolo dei gruppi di omologia delle superfici; per questo è conveniente utilizzare la loro rappresentazione come quoziente di poligoni, prendendo come U l'interno del poligono (o meglio la sua immagine secondo la mappa quoziente) e come V la superficie meno un punto (interno al poligono): il primo aperto è contraibile, mentre il secondo è omotopicamente equivalente ad un bouquet di un certo numero (dipendente dal genere della superficie) di circonferenze, di cui è possibile calcolare l'omologia.

• (EN) Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002, ISBN 978-0-521-79540-1.
• Czes Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Bologna, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.

V · D · M Topologia
Concetti di Topologia generale	Spazio topologico · Base · Prebase · Ricoprimento · Assiomi di chiusura di Kuratowski · Invariante topologico · Relazione di finezza · Partizione dell'unità · Proprietà dell'intersezione finita Sottoinsiemi Intervallo · Aperto · Intorno · Chiuso · Insieme localmente chiuso · Insieme chiuso-aperto · Parte interna · Chiusura · Frontiera · Insieme derivato · Insieme limite · Insieme perfetto · Insieme denso · Insieme mai denso Punti Punto isolato · Punto di accumulazione · Punto di aderenza Funzioni Funzione continua · Omeomorfismo · Funzione aperta · Funzione chiusa · Funzione propria · Contrazione · Retrazione · Germe di funzione · Funzione a supporto compatto Successioni Limite · Limite di una successione · Successione · Rete · Convergenza · Successione di Cauchy Teoremi Teorema di Weierstrass · Heine-Borel · Tichonov · Lemma del tubo · Urysohn · Tietze · Baire · Brouwer · punto fisso · Teorema di Borsuk · Teorema di Borsuk-Ulam · Teorema della curva di Jordan · Teorema della mappa di Riemann Applicazioni pratiche Topologia dello spazio-tempo · Teoria quantistica dei campi topologica · K-teoria ritorta · Topologia di rete · Controllo della topologia · Topologia molecolare
Spazi topologici	Topologie classiche Topologia banale · Spazio di Sierpiński · Cofinita · Topologia della semicontinuità inferiore · di Zariski · Euclidea · del limite inferiore o di Sorgenfrey · Discreta · Topologia degli interi equispaziati · Insieme reale esteso · Topologia di ordine · Piano di Moore · Topologia p-adica Costruzioni topologiche Topologia prodotto · Topologia di sottospazio · Topologia quoziente · Compattificazione (di Alexandrov · di Stone-Čech) · Cono · Bouquet · Rosa · Sospensione Topologie in Analisi funzionale Spazio funzionale · Topologia iniziale o debole · Topologia operatoriale · Topologia finale o forte · Topologia di Mackey · Topologia polare · Topologie operatoriali debole e forte Altri oggetti topologici Sfera · Palla · Toro · Corpo con manici · Bottiglia di Klein · Bottiglia di Klein solida · Anello · Nastro di Möbius · Retta proiettiva · Piano proiettivo · Superficie di Riemann · Nodo · Nodo torico · Link Frattali Insieme di Cantor · Spazio di Cantor · Polvere di Cantor · Spugna di Menger · Sfera di Alexander · Curva di Peano · Laghi di Wada Strutture miste Spazio vettoriale topologico · Gruppo topologico · Gruppo di Lie · Spazio uniforme · Algebra di Borel
Proprietà degli spazi topologici	Numerabilità Assioma di numerabilità · Spazio primo-numerabile · Spazio separabile · Spazio sequenziale Separazione Assioma di separazione · Spazio T0 · Spazio T1 · Spazio di Hausdorff · Spazio regolare · Spazio di Tichonov · Spazio normale Compattezza Spazio compatto · Spazio paracompatto · Spazio localmente compatto · Spazio di Lindelöf · Sottospazio relativamente compatto · Immersione compatta Connessione Spazio connesso · Spazio semplicemente connesso Metrizzabilità Spazio metrico · Spazio metrico completo · Spazio metrizzabile · Spazio ultrametrico · Spazio pseudometrico · Spazio polacco · Spazio normato · Spazio totalmente limitato Altre proprietà Spazio di Baire · Spazio topologico noetheriano · Spazio omogeneo · Orientazione
Topologia differenziale	Varietà (differenziabile · parallelizzabile · 3-varietà · 3-varietà irriducibile) · Atlante · Diffeomorfismo (locale · di Anosov) · Immersione · Curva · Superficie · Campo vettoriale · Fibrato (principale · vettoriale · Varietà fibrata) · Fibrato tangente · Spazio tangente · Fibrazione di Hopf · Varietà con bordo · Teorema dell'intorno tubolare · Somma connessa · Teorema di Kneser-Milnor · Congettura di geometrizzazione di Thurston · Cobordismo · Dimensione topologica · Topologia in dimensione bassa · Chirurgia di Dehn · Trasversalità · Eversione della sfera · Teoria delle foliazioni · Decomposizione JSJ
Topologia algebrica	Fondamenti Spazio semplicemente connesso · Gruppo fondamentale Omotopia Arco · Nerbo · Omotopia · Gruppi di omotopia Omologia e coomologia Omologia · Omologia singolare · Omologia ciclica · Algebra omologica · Coomologia di De Rham · Categoria abeliana Sollevamento Sollevamento · Teorema del sollevamento dell'omotopia · Teorema di unicità del sollevamento · Teorema di Van Kampen Topologia algebrica avanzata Grado topologico · Indice di avvolgimento · Indice di un campo vettoriale · Rivestimento · Numero di Betti · Successione di Mayer-Vietoris · Successione esatta · Successione spettrale · Complesso simpliciale · Complesso di celle · Complesso di catene · Schema simpliciale Superfici Caratteristica di Eulero · Formula di Eulero per i poliedri · Genere · Taglio · Superficie incompressibile · Classificazione delle superfici · Mapping class group · Teorema della palla pelosa · Teorema di Poincaré-Hopf · Congettura di Poincaré · Congettura di Hodge
Topologi di rilievo	Henri Poincaré · Felix Hausdorff · Georg Cantor · Eduard Čech · John Milnor · Pierre Samuel · Norman Steenrod · René Thom · Samuel Eilenberg · Andrej Nikolaevič Kolmogorov · Stephen Smale · Michael Atiyah · William Thurston · Marston Morse · Luitzen Brouwer

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica