Insieme chiuso

In topologia, un insieme chiuso è un sottoinsieme di uno spazio topologico tale che il suo complementare è aperto, oppure, equivalentemente, un insieme è chiuso se contiene la sua frontiera. Intuitivamente se un insieme è chiuso vuol dire che il "bordo" dell'insieme appartiene all'insieme stesso.

Gli insiemi chiusi hanno quindi le seguenti proprietà, "complementari" a quelle degli insiemi aperti, valide in un qualsiasi spazio topologico ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$:

1. l'unione di un numero finito di chiusi è ancora un chiuso;
2. l'intersezione di una collezione arbitraria di chiusi è ancora un chiuso;
3. l'intero insieme ${\displaystyle X}$ e l'insieme vuoto sono chiusi.

Si possono usare queste proprietà come assiomi per definire una topologia su ${\displaystyle X}$ a partire dai chiusi, che coincide con quella generata nel modo usuale dalla famiglia ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ degli aperti complementari.

Sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

• i sottoinsiemi contenenti un solo elemento;
• gli intervalli ${\displaystyle [a,b]}$, con ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ numeri reali finiti;
• gli intervalli ${\displaystyle [a,+\infty )}$ e ${\displaystyle (-\infty ,b]}$, con ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ numeri reali finiti;
• i sottoinsiemi dei numeri naturali e dei numeri interi;
• l'insieme di Cantor.

Non sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

• gli intervalli ${\displaystyle [a,b)}$ e ${\displaystyle (a,b]}$, con ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ numeri reali finiti;
• il sottoinsieme dei numeri razionali.

Altri esempi di insiemi chiusi sono:

• un qualsiasi sottospazio vettoriale dello spazio euclideo;
• un cerchio (circonferenza inclusa) nel piano, una sfera (con la sua superficie) nello spazio e più in generale un'ipersfera (con il suo bordo) in uno spazio euclideo a ${\displaystyle n}$ dimensioni. Più in generale l'insieme ${\displaystyle S=\{x\in X:d(x,O)\leq R\}}$

dove ${\displaystyle O}$ è un punto dello spazio ed ${\displaystyle R}$ un numero reale positivo, è un insieme chiuso dello spazio metrico ${\displaystyle (X,d)}$ con topologia indotta dalla metrica ${\displaystyle d}$.

• Un sottoinsieme chiuso di un insieme compatto è anch'esso compatto.
• Un sottoinsieme compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso.
• La frontiera di un qualunque insieme è chiusa.
• In uno spazio metrico (ad esempio quello euclideo), i punti sono chiusi.
• Uno spazio topologico è uno spazio T1 se e solo se tutti i suoi punti sono chiusi.
• La controimmagine di un chiuso attraverso una funzione continua tra due spazi topologici è chiusa.

• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
• Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
• (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, MA, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6.

• Spazio topologico
• Chiusura (topologia)
• Insieme localmente chiuso
• Insieme denso
• Insieme aperto
• Frontiera (topologia)
• Parte interna
• Spazio compatto

• (EN) closed set, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Insieme chiuso, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Insieme chiuso, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

V · D · M Topologia
Concetti di Topologia generale	Spazio topologico · Base · Prebase · Ricoprimento · Assiomi di chiusura di Kuratowski · Invariante topologico · Relazione di finezza · Partizione dell'unità · Proprietà dell'intersezione finita Sottoinsiemi Intervallo · Aperto · Intorno · Chiuso · Insieme localmente chiuso · Insieme chiuso-aperto · Parte interna · Chiusura · Frontiera · Insieme derivato · Insieme limite · Insieme perfetto · Insieme denso · Insieme mai denso Punti Punto isolato · Punto di accumulazione · Punto di aderenza Funzioni Funzione continua · Omeomorfismo · Funzione aperta · Funzione chiusa · Funzione propria · Contrazione · Retrazione · Germe di funzione · Funzione a supporto compatto Successioni Limite · Limite di una successione · Successione · Rete · Convergenza · Successione di Cauchy Teoremi Teorema di Weierstrass · Heine-Borel · Tichonov · Lemma del tubo · Urysohn · Tietze · Baire · Brouwer · punto fisso · Teorema di Borsuk · Teorema di Borsuk-Ulam · Teorema della curva di Jordan · Teorema della mappa di Riemann Applicazioni pratiche Topologia dello spazio-tempo · Teoria quantistica dei campi topologica · K-teoria ritorta · Topologia di rete · Controllo della topologia · Topologia molecolare
Spazi topologici	Topologie classiche Topologia banale · Spazio di Sierpiński · Cofinita · Topologia della semicontinuità inferiore · di Zariski · Euclidea · del limite inferiore o di Sorgenfrey · Discreta · Topologia degli interi equispaziati · Insieme reale esteso · Topologia di ordine · Piano di Moore · Topologia p-adica Costruzioni topologiche Topologia prodotto · Topologia di sottospazio · Topologia quoziente · Compattificazione (di Alexandrov · di Stone-Čech) · Cono · Bouquet · Rosa · Sospensione Topologie in Analisi funzionale Spazio funzionale · Topologia iniziale o debole · Topologia operatoriale · Topologia finale o forte · Topologia di Mackey · Topologia polare · Topologie operatoriali debole e forte Altri oggetti topologici Sfera · Palla · Toro · Corpo con manici · Bottiglia di Klein · Bottiglia di Klein solida · Anello · Nastro di Möbius · Retta proiettiva · Piano proiettivo · Superficie di Riemann · Nodo · Nodo torico · Link Frattali Insieme di Cantor · Spazio di Cantor · Polvere di Cantor · Spugna di Menger · Sfera di Alexander · Curva di Peano · Laghi di Wada Strutture miste Spazio vettoriale topologico · Gruppo topologico · Gruppo di Lie · Spazio uniforme · Algebra di Borel
Proprietà degli spazi topologici	Numerabilità Assioma di numerabilità · Spazio primo-numerabile · Spazio separabile · Spazio sequenziale Separazione Assioma di separazione · Spazio T0 · Spazio T1 · Spazio di Hausdorff · Spazio regolare · Spazio di Tichonov · Spazio normale Compattezza Spazio compatto · Spazio paracompatto · Spazio localmente compatto · Spazio di Lindelöf · Sottospazio relativamente compatto · Immersione compatta Connessione Spazio connesso · Spazio semplicemente connesso Metrizzabilità Spazio metrico · Spazio metrico completo · Spazio metrizzabile · Spazio ultrametrico · Spazio pseudometrico · Spazio polacco · Spazio normato · Spazio totalmente limitato Altre proprietà Spazio di Baire · Spazio topologico noetheriano · Spazio omogeneo · Orientazione
Topologia differenziale	Varietà (differenziabile · parallelizzabile · 3-varietà · 3-varietà irriducibile) · Atlante · Diffeomorfismo (locale · di Anosov) · Immersione · Curva · Superficie · Campo vettoriale · Fibrato (principale · vettoriale · Varietà fibrata) · Fibrato tangente · Spazio tangente · Fibrazione di Hopf · Varietà con bordo · Teorema dell'intorno tubolare · Somma connessa · Teorema di Kneser-Milnor · Congettura di geometrizzazione di Thurston · Cobordismo · Dimensione topologica · Topologia in dimensione bassa · Chirurgia di Dehn · Trasversalità · Eversione della sfera · Teoria delle foliazioni · Decomposizione JSJ
Topologia algebrica	Fondamenti Spazio semplicemente connesso · Gruppo fondamentale Omotopia Arco · Nerbo · Omotopia · Gruppi di omotopia Omologia e coomologia Omologia · Omologia singolare · Omologia ciclica · Algebra omologica · Coomologia di De Rham · Categoria abeliana Sollevamento Sollevamento · Teorema del sollevamento dell'omotopia · Teorema di unicità del sollevamento · Teorema di Van Kampen Topologia algebrica avanzata Grado topologico · Indice di avvolgimento · Indice di un campo vettoriale · Rivestimento · Numero di Betti · Successione di Mayer-Vietoris · Successione esatta · Successione spettrale · Complesso simpliciale · Complesso di celle · Complesso di catene · Schema simpliciale Superfici Caratteristica di Eulero · Formula di Eulero per i poliedri · Genere · Taglio · Superficie incompressibile · Classificazione delle superfici · Mapping class group · Teorema della palla pelosa · Teorema di Poincaré-Hopf · Congettura di Poincaré · Congettura di Hodge
Topologi di rilievo	Henri Poincaré · Felix Hausdorff · Georg Cantor · Eduard Čech · John Milnor · Pierre Samuel · Norman Steenrod · René Thom · Samuel Eilenberg · Andrej Nikolaevič Kolmogorov · Stephen Smale · Michael Atiyah · William Thurston · Marston Morse · Luitzen Brouwer

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica