Numero stellato

In teoria dei numeri, un numero stellato è un numero figurato che rappresenta un esagono stellato.

1		13		37

La formula per l'${\displaystyle n}$-esimo numero stellato è:

${\displaystyle 6n(n-1)+1.}$

I primi numeri stellati sono: 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, 937, 1093, 1261, 1441, 1633, 1837, 2053, 2281, 2521, 2773, 3037, 3313, 3601, 3901, 4213, 4537, 4873, 5221, 5581, 5953, 6337, 6733, 7141, 7561, 7993, 8437, 8893, 9361, 9841, 10333, 10837, 11353^[1].

L'insieme dei numeri stellati coincide con quello dei numeri dodecagonali centrati: infatti, i punti che compongono un esagono stellato possono essere riarrangiati in un dodecagono. L'${\displaystyle n}$-simo numero stellato può essere visto come la somma di 1 punto centrale e di dodici volte l'(${\displaystyle n-1}$)-esimo numero triangolare. Conoscendo l'${\displaystyle n}$-simo numero stellato, si può ricavare il successivo sommando ${\displaystyle 12n.}$

In base 10, la radice numerica di un numero stellato vale sempre 1 o 4, e le due cifre finali possono essere solo 01, 13, 21, 33, 37, 41, 53, 61, 73, 81, o 93: quindi la cifra finale è o 1, o 3 o 7.

Esistono infiniti numeri sia stellati che triangolari; i primi sono 1, 253, 49141, 9533161, 1849384153, …^[2]. Essi corrispondono al 1º, 22º, 313º, 4366º, 60817º, …^[3] numero triangolare e al 1º, 7º, 91º, 1261º, 17557º, …^[4]. L'${\displaystyle n}$-esimo numero ad essere sia triangolare che stellato può essere calcolato con la formula:

${\displaystyle {\frac {3[(7+4{\sqrt {3}})^{2n-1}+(7-4{\sqrt {3}})^{2n-1}]-10}{32}},}$

la quale da sempre un numero intero per ${\displaystyle n}$ intero. Più semplicemente, se si conoscono i due precedenti numeri stellati triangolari, si può trovare l'${\displaystyle n}$-esimo moltiplicando l'(${\displaystyle n-1}$)-esimo per 194, aggiungendo 60 e sottraendo l'(${\displaystyle n-2}$)-esimo.

Esistono anche infiniti numeri contemporaneamente stellati e quadrati: i primi sono 1, 121, 11881, 1164241, 114083761, 11179044361, 1095432263641, ... ^[5]. Questi corrispondono al 1º, 11º, 109º, 1079º, 10681º, 105731º, 1046629º, ... ^[6] quadrato perfetto e al 1º, 5º, 45º, 441º, 4361º, 43165º, 427285º, ... ^[7] numero stellato. I numeri quadrati stellati si possono ottenere dalle soluzioni dell'equazione diofantea:

${\displaystyle 2x^{2}+1=3y^{2}.}$

La formula per l'${\displaystyle n}$-esimo numero stellato e quadrato è:

${\displaystyle {\frac {[(5+2{\sqrt {6}})^{n}({\sqrt {6}}-2)-(5-2{\sqrt {6}})^{n}({\sqrt {6}}+2)]^{2}}{4}}.}$

Un numero primo che sia anche stellato viene detto primo stellato. I primi sono 13, 37, 73, 181, 337, 433, 541, 661, 937, 1093, 2053^[8].

La funzione generatrice per i numeri stellati è:

${\displaystyle x+13x^{2}+37x^{3}+73x^{4}+121x^{5}+181x^{6}+253x^{7}+\ldots ={\frac {x(x^{2}+10x+1)}{(1-x)^{3}}}.}$

Il numero 13, un numero stellato, è il numero delle colonie fondatrici degli Stati Uniti d'America. Nello stemma degli Stati Uniti d'America vi sono 13 piccole stelle disposte in un esagono stellato.

La scacchiera della dama cinese è composta da 121 caselle disposte a formare un esagono stellato.

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su numero stellato

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero stellato, su MathWorld, Wolfram Research.

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