Numeri di Eulero

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Numero di Eulero.

In matematica, ed in particolare in teoria dei numeri^{[senza fonte]} e in combinatoria, i numeri di Eulero E_n sono i termini di una successione di interi che possono essere definiti dal seguente sviluppo in serie di Maclaurin della funzione secante iperbolica:

${\displaystyle \mathrm {sech} (t)={\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n},}$

dove con ${\displaystyle \cosh t}$ si denota la funzione coseno iperbolico.

I numeri di Eulero di indice dispari sono tutti nulli. Quelli di indice pari^[1] hanno segno alternato. Alcuni valori sono:

E₀ = 1

E₂ = −1

E₄ = 5

E₆ = −61

E₈ = 1 385

E₁₀ = −50 521

E₁₂ = 2 702 765

E₁₄ = −199 360 981

E₁₆ = 19 391 512 145

E₁₈ = −2 404 879 675 441

Regola pratica: se l'indice è divisibile per 4, allora il numero di Eulero è positivo. In caso contrario, è negativo.

Alcuni autori re-indicizzano la successione per escludere i termini dispari (tutti nulli), e/o cambiano i segni per avere tutti i segni positivi. Qui non ci si attiene a tali convenzioni.

È da notare che, a partire da E₄, tutti i numeri di Eulero con segno positivo sono divisibili per 5. Quelli con segno negativo sono per la maggior parte numeri composti (scomponibili in fattori primi), ma alcuni sono numeri primi. Oltre a E₄ = 5, unico numero di Eulero positivo primo, sono primi, per esempio, i numeri E₆ = −61, ed E₃₈ = −23 489 580 527 043 108 252 017 828 576 198 947 741.^[2]

I numeri di Eulero compaiono anche negli sviluppi in serie di Maclaurin della secante. Essi inoltre forniscono valori speciali dei polinomi di Eulero e sono collegati ai numeri delle permutazioni alternate.

Va ricordato che al nome di Eulero sono associate varie altre entità numeriche:

• il numero ${\displaystyle e}$, altrimenti noto come numero di Nepero;
• la costante di Eulero-Mascheroni;
• la caratteristica di Eulero della topologia algebrica e della combinatoria dei poliedri;
• la successione a due indici dei numeri euleriani;
• il numero di Eulero della fluidodinamica.

• (EN) Eric W. Weisstein, Numeri di Eulero, su MathWorld, Wolfram Research.

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