Funzione parziale

In matematica, si dice funzione parziale $f\colon A\rightarrow B$ un sottoinsieme di $A\times B$ , cioè una relazione binaria tra $A$ e $B$ , tale che:

$(a,b),(a,c)\in f\Rightarrow b=c$ (unicità)

ossia esiste al più un $b\in B$ tale che $f(a)=b$ .

È importante notare come non si richiede che la funzione sia definita ovunque, cioè che per ogni $a$ in $A$ sia $(a,b)\in f$ per un $b$ in $B$ .

Per contrapposizione, una funzione parziale definita su ogni elemento del dominio (cioè una funzione nel senso comune del termine) è detta totale.

Un esempio di funzione parziale è $f\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ definita dalla relazione $f(n)={\sqrt {n}}$ . Osserviamo che la funzione è definita dall'insieme dei numeri naturali in sé stesso, dunque è una funzione parziale in quanto $f(n)$ è un numero naturale solo se $n$ è un quadrato perfetto.

Data una funzione parziale $f\colon A\rightarrow B$ è sempre possibile restringere il dominio all'insieme di definizione $D_{f}$ della funzione. In questo modo, la restrizione della funzione $f$ alla funzione $f|_{D_{f}}\colon D_{f}\rightarrow B$ è una funzione totale.

Un altro esempio di funzione parziale è $g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ definita dalla relazione $g(x)={\frac {1}{x}}$ . Questa funzione è parziale dal momento che ${\frac {1}{0}}$ non è definito. Restringendo la funzione al suo insieme di definizione $g|_{D_{g}}\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {R}$ si ottiene una funzione (diversa) che però è totale.