Aðfeldi

Aðfeldi (einnig er kölluð hrópmerking) er aðgerð, framkvæmd á náttúrulegum tölum og núlli, táknuð með n!. Merking táknsins n! er sú, að reiknað er margfeldi allra náttúrlegra talna frá einum til tölunnar n. Þannig fæst 1! = 1; 2! = 1${\displaystyle \cdot }$2 = 2; 3! = 1${\displaystyle \cdot }$2${\displaystyle \cdot }$3 = 6; 4! = 1${\displaystyle \cdot }$2${\displaystyle \cdot }$3${\displaystyle \cdot }$4 = 24 og svo framvegis. n! er lesið „n hrópmerkt“ eða „aðfeldið af n“. Auk þess er skilgreint að 0! = 1.

Þetta hefur hagnýtt gildi til dæmis þegar athugað er á hve marga vegu er hægt að raða n mismunandi hlutum upp. Dæmi: Hve mörg mismunandi fjögurra stafa „orð“ er hægt að mynda úr bókstöfunum a, b, c og d? Þar sem stafirnir eru 4, þá er þetta hægt á 4! mismunandi vegu, það er að segja að 24 mismunandi 4 stafa orð eru til sem innihalda eingöngu þessa stafi.

Einnig í verkefnum eins og þessu: Á hve marga mismunandi vegu er hægt að velja þrjá menn úr tíu manna hópi? Svarið við þessu er ${\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$, þar sem n táknar heildarfjöldann (10) og k táknar þann fjölda, sem valinn er úr heildinni (3). Þá fæst að hægt er að velja 3 úr 10 á C = ${\displaystyle {\frac {3628800}{6\times 5040}}}$ = 120 mismunandi vegu.

Þegar við kaupum lottó er gott að vita á hve marga vegu er hægt að velja 5 tölur úr 38 talna hópi. Svarið við því er ${\displaystyle {\frac {38!}{5!(38-5)!}}}$, sem gefur töluna 501.942. Þess vegna eru vinningslíkur (5 réttir) á hverja röð í lottó einungis 1:501.942 eða nokkurn veginn 0,0002%.

Hér í upphafi kom fram að hrópmerking væri skilgreind fyrir n=0. En aðgerðarlýsingin nær ekki yfir það tilvik, því ekki er unnt að hugsa sér margföldun allra heilla talna frá 1 og upp í 0. Hins vegar er skilgreint að 0! = 1, og kemur það mörgum á óvart. En það er rökstutt þannig:

${\displaystyle n!=1\times 2\times 3\times 4\times ...\times \left(n-1\right)\times n=\left(n-1\right)!\times n}$ fyrir öll heil n frá 1 til óendanlegt.

Deilum í gegnum jöfnuna með n og fáum ${\displaystyle {\frac {n!}{n}}=\left(n-1\right)!}$ sem gildir fyrir öll n frá 1 til óendanlegt

Setjum nú ${\displaystyle n=1}$ og fáum þá ${\displaystyle {\frac {1!}{1}}=0!}$ eða augljóslega ${\displaystyle 0!=1}$.

Gammafallið er útvíkkun aðfeldis á tvinntalnasléttuna.