Ibu Radiatul

Reduksi Persamaan Diferensial Eksak
Disusun Oleh :
Agustina Fitriani (2021 11 1025)

Evi Susilaningsih (2021 11 1027)
Mahdiah (2021 11 1038)
Muhammad Fauzi (2021 11 1020)
M.Qudrat (2021 11 1036)
Table of contents
Reduksi Persamaan Diferensial Eksak
01
Langkah – Langkah penyelesaian PD

02 eksak
Contoh soal PD eksak

03
Reduksi Persamaan Diferesial Eksak
Jika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 adalah persamaan tidak eksak dan dapat
ditemukan suatu fungsi (x.y) sedemikian sehingga P.D ;
µ(x, y) [M(x, y) dx + N(x, y) dy] = 0 merupakan PD eksak maka fungsi µ(x, y)

dinamakan faktor integrasi dari PD di atas.
Ada beberapa jenis faktor integrasi antara lain :
1. Jika suatu fungsi dari x saja, maka adalah suatu faktor integrasi PD itu.
2. Jika suatu fungsi dari g saja, maka adalah suatu faktor integrasi dari PD itu.
3. Jika M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 merupakan PD homogen dan xM + yN, maka adalah suatu integrasi PD tersebut.
4. Jika M9x,y)dx + N(x,y)dy = 0 dapat ditulis didalam bentuk y
f(xy)dx + x g(xy) dy = 0 dimana f(xy)g(x,y), maka adalah suatu
faktor integrasi PD itu.
5. Persamaan xp yq(my dx + nx dy) + xrys (uy dx + vx dy) = 0

dimana p,q,r,s,m,n,u,v adalah konstanta dan mv – nu 0
mempunyai faktor integrasi berbentuk .
6. Faktor integrasi yang lain biasanya ditentukan dengan cara

mencoba-coba sedemikian sehingga pada kelompok bagian
tertentu dapat menjadi diferensial eksak.
02
Misal,
Kelompok Factor Diferensial eksak
Bagian integrasi
( x dy− y dx) 1 Xdy-y dx/=d(y/x)

x2
( x dy− y dx) 1 Ydx- xdy /=d(-y/x)

y2
Langkah – Langkah penyelesaian PD eksak :
1. Periksa dahulu apakah PD nya merupakan PD eksak. Kalau merupakan PD eksak
pakailah langkah PD eksak. Kalau bukan merupakan PD eksak, carilah faktor
integrasi yang cocok agar semula dapat tereduksi ke PD eksak.
2. Apabila faktor integrasi yang cocok tersebut adalah salah satu dari jenis 1 – jenis
maka pakailah langkah PD eksak untuk menetukan penyelesaian umum PD.
3. Apabila menggunakan faktor integrasi jenis 5, maka ada prosudur tersendiri yaitu
mencari diferensial eksak dari kelompok bagian pertama dan kedua untuk
mendapatkan harga dan .
Faktor integrasi yang diperoleh yaitu setelah dan disubtitusikan pada akan
mereduksi PD semula (tidak eksak) menjadi PD eksak. Gunakan langkah 36.
03
4. Apabila menggunakan faktor integrasi coba – coba, maka tidak ada
prosedur tertentu hanya paa dasarnya PD semula menjadi lebih sederhana
dan mudah diselesaikan.
1. Dari bentuk P.D : , berarti :
M= ,
N=x,
Karena maka merupakan P.D tidak eksak
Selanjutnya mencari faktpr integrasi yang dapat mereduksi P.D tidak eksak menjadi P.D eksak.
maka faktor integrasinya adalah selanjutnya P.D semula tereduksi menjadi
Dari persamaan ini, berarti bahwa :

M= ,
N=,
Karena maka P.D yang telah tereduksi ini merupakan P.D eksak.
F(x,y) = c
Karena maka f (x,y) =
= dicari dengan mendifinisikan parsial fungsif(x,y) ini
terhadap y
Karena maka
(konstanta)
Sehingga solusi umum P.D eksak ini adalah merupakan solusi umum P.D semula yang
teruduksi ke P.D eksak.
Sehingga solusi umum P.D semula adalah

Dari bentuk PD :
M= ,
N=,
Karena maka PD semula tereduksi menjadi PD eksak oleh karena itu,
gunakan langkah 36 untuk mendapatkan solusi umum PD ini.
F(x,y)=c
Karena Karena maka f (x,y) = =
Fungsi dicari dengan mendiferensialkan persil fungsi f(x,y) ini terhadap y
maka Karena maka
Sehingga f(x,y) =
Solusi umum PD eksak ini merupakan solusi umum PD semula yang terduksi menjadi PD
eksak. Kesimpulan solusi umum PD semula adalah .
1. Dari bentuk PD : dapat ditulis dalam bentuk PD;
yang merupakan PD homogen berderajat dua. Dari sini berarti ;
M= ,
N=,
Selanjutnya mencari faktpr integrasi yang dapat meredaksi P.D tidak eksak
menjadi P.D eksak.
Karena PD tersebut adalah homogen dan xM + yN =

Sehingga PD semula tereduksi menjadi
Dari persamaan baru ini berarti bahwa ;
M= ,
N=,
Karena maka PD semula tereduksi menjadi PD eksak oleh karena itu,
gunakan langkah 36 untuk mendapatkan solusi umum PD ; F(x,y) = c

Karena maka f(x,y) =
Fungsi dicari dengan mendiferensialkan parsial fungsi f(x,y) ini terhadap y
Karena maka
(konstanta)
Sehingga f(x,y) =
Solusi umum PD eksak ini merupakan solusi umum PD semula yang tereduksi menjadi
PD eksak. Kesimpulan solusi umum PD semula adalah
Bentuk PD : , yang berarti;
M= ,
N=,
Selanjutnya mencari faktpr integrasi yang dapat meredaksi P.D tidak eksak
menjadi P.D eksak. Bentuk PD diatas dapat ditulis bentuk PD :
dengan f(x,y)g(x,y) yaitu ;
Oleh karena itu faktor integrasinya adalah :

PD di atas berubah menjadi :
Dari PD baru ini dapat diperoleh bahwa ;
M= ,
N=,
Karena PD maka PD semula tereduksi menjadi PD eksak :
Untuk mendapatkan solusi umum ini gunakanlah langkah 3.6 f(x,y)=c
Karena maka f (x,y) = =

Fungsi dicari dengan mendiferensialkan parsial fungsi f(x,y) ini terhadap y
Karena maka
Sehingga f(x,y)=
Solusi umum PD eksak ini merupakan solusi umum PD semula.

Jadi solusi umum PD semula adalah atau x =
1. Bentuk PD : (8y dx + 8x dy ) + ( 4y dx + 5x dy) = 0
Mempunyai faktor integrasi yang berbentuk
(8y dx + 8x dy) + (4y dx + 5x dy) =0
(8 dx + 8 dy + ( 4 dx +5 dy) =0
Langkah selanjutnya mencari besarnya pada bagian pertama

d ( ) = ( + 3) dx + ( +1 ) dy yang berarti bahwa :
=0
Pada bagian kedua
d ( ) = ( + 3) dx + ( +4 ) dy
yang berarti bahwa :

=1
Dari kedua bagian ini, diperoleh hubungan bahwa
=0 x4 =0
=1 =1
faktor integrasinya adalah xy
Maka P.D semula akan tereduksi menjadi :
xy [(8y dx + 8x dy) (4y dx + 5x dy)] = 0
(dy) +( dy) = 0
() dx +)dy = 0
Dari bentuk P.D baru ini, berarti :
M=
N=
Karena = maka P.D semula tereduksi menjadi P.D eksak untuk
mendapatkan solusi umum P.D, gunakan Langkah 3.6 f(x,y)=c karena = M

maka
∫ x () dx = ϕ (y)
Fungsi ϕ (y) dicari dengan mendeferensialkan parsiil fungsi f (x,y)
= + ϕ (y)
Karena = N maka, + ϕ (y)= + ϕ (y) = 0
ϕ (y) = ( konstanta)
sehingga solusi umum f (x,y) = + k = c
solusi umum P.D eksak ini merupakan solusi umum P.D semula
solusi umum P.D semula adalah
Thanks!

Ibu Radiatul

Diunggah oleh

Hak Cipta:

Format Tersedia

Ibu Radiatul

Diunggah oleh

Informasi Dokumen

Deskripsi Asli:

Judul Asli

Hak Cipta

Format Tersedia

Bagikan dokumen Ini

Bagikan atau Tanam Dokumen

Opsi Berbagi

Apakah menurut Anda dokumen ini bermanfaat?

Apakah konten ini tidak pantas?

Hak Cipta:

Format Tersedia

Ibu Radiatul

Diunggah oleh

Hak Cipta:

Format Tersedia

Reduksi Persamaan Diferensial Eksak

Agustina Fitriani (2021 11 1025)

Langkah – Langkah penyelesaian PD

Contoh soal PD eksak

ditemukan suatu fungsi (x.y) sedemikian sehingga P.D ;

µ(x, y) [M(x, y) dx + N(x, y) dy] = 0 merupakan PD eksak maka fungsi µ(x, y)

Ada beberapa jenis faktor integrasi antara lain :

5. Persamaan xp yq(my dx + nx dy) + xrys (uy dx + vx dy) = 0

6. Faktor integrasi yang lain biasanya ditentukan dengan cara

( x dy− y dx) 1 Xdy-y dx/=d(y/x)

( x dy− y dx) 1 Ydx- xdy /=d(-y/x)

Karena maka merupakan P.D tidak eksak

maka faktor integrasinya adalah selanjutnya P.D semula tereduksi menjadi

Dari persamaan ini, berarti bahwa :

Karena maka f (x,y) =

= dicari dengan mendifinisikan parsial fungsif(x,y) ini

Sehingga solusi umum P.D semula adalah

yang merupakan PD homogen berderajat dua. Dari sini berarti ;

Karena maka merupakan P.D tidak eksak

Karena PD tersebut adalah homogen dan xM + yN =

Dari persamaan baru ini berarti bahwa ;

Karena maka PD semula tereduksi menjadi PD eksak oleh karena itu,

gunakan langkah 36 untuk mendapatkan solusi umum PD ; F(x,y) = c

Fungsi dicari dengan mendiferensialkan parsial fungsi f(x,y) ini terhadap y

Karena maka merupakan P.D tidak eksak

dengan f(x,y)g(x,y) yaitu ;

Oleh karena itu faktor integrasinya adalah :

Dari PD baru ini dapat diperoleh bahwa ;

Karena PD maka PD semula tereduksi menjadi PD eksak :

Untuk mendapatkan solusi umum ini gunakanlah langkah 3.6 f(x,y)=c

Karena maka f (x,y) = =

Solusi umum PD eksak ini merupakan solusi umum PD semula.

1. Bentuk PD : (8y dx + 8x dy ) + ( 4y dx + 5x dy) = 0

Mempunyai faktor integrasi yang berbentuk

(8y dx + 8x dy) + (4y dx + 5x dy) =0

Langkah selanjutnya mencari besarnya pada bagian pertama

yang berarti bahwa :

faktor integrasinya adalah xy

Maka P.D semula akan tereduksi menjadi :

xy [(8y dx + 8x dy) (4y dx + 5x dy)] = 0

Dari bentuk P.D baru ini, berarti :

Karena = maka P.D semula tereduksi menjadi P.D eksak untuk

mendapatkan solusi umum P.D, gunakan Langkah 3.6 f(x,y)=c karena = M

Fungsi ϕ (y) dicari dengan mendeferensialkan parsiil fungsi f (x,y)

sehingga solusi umum f (x,y) = + k = c

Anda mungkin juga menyukai