5 Fungsi Pembangkit Momen (FPM)

MOMENT DAN FUNGSI
PEMBANGKIT MOMEN
FRANSISKA SIRAIT
4183311026
4183311026
PENDIDIKAN
PENDIDIKAN MATEMATIKA
MATEMATIKA B
B 2018
2018
Table of contents
Definisi Momen Fungsi

Fungsi Pembangkit
Pembangkit Momen
Momen
01 02
Teorema
Teorema Pembangkit
Pembangkit Momen
Momen Contoh
Contoh Soal
Soal
03 04
01
Definisi Momen
Definisi Momen
Definisi 1 :
Momen ke r dari peubah acak x di sekitar 0 dinotasikan dengan µ’ r dan didefenisikan sebagai
berikut :
  x r f ( x) jika X adalah diskrit

 x
 r'  E ( X r )   
  x f ( x) dx
r
jika X adalah kontinu
-
dimana r = 0, 1, 2, …
Definisi 2 :
Momen ke r dari peubah acak x di
sekitar µ dinotasikan dengan : (r =
0, 1, 2, …)
  (x   )r f (x ) jika X adalah diskrit


r  E  x   
r
  x
 
  (x   ) f (x ) dx
r
-
Untuk X diskrit dengan f peluang f(x)
r r r
E (X r )  X 1 f (X1 )  X 2 f (X 2 )  ...  X n f (X n )
n r
  X J f (X J )
J 1
Untuk X kontinu dengan f kepekatan f (x)


E(X )   X r f(x) dx
r
-
Untuk r = 2,
E (X 2 )   X 2 f(x), x diskrit
x

  X 2 f(x) dx
-
Momen Pusat ke r di sekitar Rataan α 3  koefisien kemoncongan (skewness)
μ r  E [ (x - μ) r ] α 3  0, kurva f(x) simetri
Untuk r = 2 Untuk r = 4
E [(X - μ) 2 ]  σ 2  varians X E [(x - μ) 4 ]   (x - μ) 4 f(x), bila peubah acak X diskrit.

x

Untuk r = 3 E [(x - μ) 4 ]   (x - μ) 4 f(x) dx untuk peubah acak X kontinu
-
3 3
E [(X - μ) ]   [(X  μ) ] f(X)
E [(x - μ) 4 ] μ 4
x α4  4

Untuk p.a x diskrit σ σ4
 α 4  koefisien kurtosis
E [(x - μ)3 ]   (x - μ)3 f(x) dx
- α 4  3, sebaran peubah acak X adalah normal (simetri)
E [(x - μ)3 ] μ 3
α3  3
 3
σ σ
02
Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi Pembangkit Momen
Definisi 3 :
Fungsi pembangkit momen dari peubah acak X diperoleh dari E(etX) dan dinyatakan dengan
MX(t). Sehingga
  e tx f (x ) jika X adalah diskrit

 x
M X t   E e tX   
  e f (x ) dx
tx
-
Mars
Misal X suatu peubah acak. Maka nilai ekspetasi 𝑀𝑥 (𝑡) = 𝐸(𝑒 𝑡𝑋) disebut fungsi pembangkit
momen dari X jika nilai ekspetasi tersebut ada pada selang −ℎ < 𝑡 < ℎ , untuk suatu ℎ > 0. Untuk
selanjutnya, fungsi pembangkit momen ini ditulis sebagai mgf, yang merupakan singkatan dari
moment generating function. Jika tidak menimbulkan kerancuan, yaitu dalam hal kita hanya
menghadapi satu peubah acak, maka mgf ini cukup ditulis sebagai 𝑀(𝑡).
Dengan deret Taylor
1t2 1 tr
M x (t)  1  t  μ  ...  μ r  ...
2 2! r!
Turunan ke r dari Mx(t) terhadap peubah t menjadi:
d r M x (t)  μ1r
dt r t0
  x r e tx f(x), bila x diskrit
d r M x (t)  x
r
 
dt r tx
  x e f(x) dx, bila x kontinu
- 
CONTOH:
Misal X peubah acak diskret dengan pdf
𝑓(𝑥) = ( 2 𝑥 ) 4 𝐼(𝑥 = 0,1,2)
Maka mgf dari X adalah

Misal seseorang menunggu suatu bus pada tempat tertentu. Misal bus aka lewat tempat tersebut
setiap 15 menit. Jika waktu tunggu dinyatakan sebagai peubah acak X, maka pdf-nya adalah
𝑓(𝑥) = 1 15 𝐼 (0 < 𝑥 < 15)
Oleh karena itu fungsi pembangkit momen dari X adalah
03
Teorema
Teorema Pembangkit
Pembangkit Momen
Momen
Beberapa Teorema Fungsi Pembangkit Momen
Jika Mx(t) adalah fungsi pembangkit

momen peubah acak X dan a dan b (b  0)
adalah konstanta maka:
Mx + a (t) = eat Mx (t)

Max (t) = Mx (at)
M(x + a) / b (t) = eat/b Mx (t/b)
Jika X1, X2, ….., Xn merupakan peubah acak bebas dengan fungsi
pembangkit momen MX1 (t), MX2 (t), ….., MXn (t) dan Y = X1 + X2 + ….. +
Xn, maka MY (t) = MX1 (t). MX2 (t) ….. MXn (t)
Jika X1, X2, ….., Xn merupakan peubah acak normal bebas yang mempunyai sebaran
normal dengan nilai tengah 1, 2, ….., n dan ragam , maka peubah acak Y =
a1 X1 + a2 X2 + ….. + an Xn mempunyai sebaran normal dengan nilai tengah Y = a1 1 + a2
2 + ….. + an n
Untuk n = 2
Y = a1 X1 + a2 X2
My (t) = Ma1 X1 (t). Ma2 X2 2(t), 2Y =2 normal
M y (t)  exp [ (a1 μ1 t  a1 σ1 t /2)  (a 2 μ 2 t  a 22 σ 22 t /2) ]
Merupakan sebaran normal dengan nilai tengah a1 1 + a2 2 dan ragam
a12 σ12  a 22 σ 22
Teorema:
Teorema
Jika x() adalah fungsi kharakteristik peubah acak X dan a dan b (b  0) konstan,
maka fungsi karakteristik dari (x + a) /b adalah

  e ai  x ( )
 x  a  /b ( ) b
Jika X dan Y bebas dengan fungsi kharakteristik x() dan y(), maka
x + y() = x() y()
Keunikan :
Ambil X dan Y peubah acak dengan fungsi kharakteristik x() dan y(), maka
X dan Y mempunyai fungsi peluang yang sama jika dan hanya jika x() = y()
Fungsi karakteristik = x () = Mx (i)
i = bilangan imaginer
x (i) = Mx (i) = E (e iX
  eiwx f(x), X diskrit

E(eiwx )    iwx
  e f(x) dx, X kontinu
 
Deret Taylor
2 r 1 
r
 x ()  1  i  μ12 i 2  ...  i u r  ...
2! r!
1 r r d
r
1 r r dr
μ r  (1) i  () μ r  (1) i
r x
 x ()   0
d d r
Fungsi kharakteristik merupakan transformasi Fourier dari fungsi
kepekatan f(x):
1   i x
f(x)  e  x () d
π  
disebut inversi transformasi Fourier.
Rumus Euler:
e i = cos  + i sin 
e -i = cos  - i sin 
Cos  = (ei + e -i)
CONTOH :
Jika X peubah acak diskrit dengan fungsi peluang:
Jane Doe
Maka fpm nya adalah
=
Sam Smith
Sedangkan turunannya dapat dicari:
Untuk menentukan rata-rata dan varian dapat dicari dengan bantuan fungsi pembangkit
momennya. Rata-rata adalah turunan pertama dari fpm yang dievaluasi pada t = 0
) adalah turunan ke-2 dari fpm yang dievaluasi pada t = 0
Thanks
a bunch

5 Fungsi Pembangkit Momen (FPM)

Diunggah oleh

Hak Cipta:

Format Tersedia

5 Fungsi Pembangkit Momen (FPM)

Diunggah oleh

Informasi Dokumen

Deskripsi Asli:

Judul Asli

Hak Cipta

Format Tersedia

Bagikan dokumen Ini

Bagikan atau Tanam Dokumen

Opsi Berbagi

Apakah menurut Anda dokumen ini bermanfaat?

Apakah konten ini tidak pantas?

Hak Cipta:

Format Tersedia

5 Fungsi Pembangkit Momen (FPM)

Diunggah oleh

Hak Cipta:

Format Tersedia

MOMENT DAN FUNGSI

Definisi Momen Fungsi

  x r f ( x) jika X adalah diskrit

  (x   )r f (x ) jika X adalah diskrit

Untuk X kontinu dengan f kepekatan f (x)

E [(X - μ) 2 ]  σ 2  varians X E [(x - μ) 4 ]   (x - μ) 4 f(x), bila peubah acak X diskrit.

  e tx f (x ) jika X adalah diskrit

Turunan ke r dari Mx(t) terhadap peubah t menjadi:

Jika Mx(t) adalah fungsi pembangkit

Mx + a (t) = eat Mx (t)

Anda mungkin juga menyukai