Gas Fermi Dirac

Kelompok 6
Maria Macdalena NM 17302241014
Adhistinka Jiananda 17302241019
PENDAHULUAN
Pentingnya sifat statistik FD atau BE paling mudah dilihat ketika kita
mempertimbangkan keadaan gas pada T = 0

Statistik MB adalah perkiraan suhu tinggi, sesuai dengan parameter

degenerasi A << 1 ketika T mendekati 1, dan karenanya A menjadi
sangat besar sehingga batas kuantum jelas.
Statistik BE, di mana sejumlah partikel dapat menempati satu
keadaan, kondisi T = 0 adalah untuk semua partikel N yang
menempati keadaan dasar. Sehingga terjadi keadaan dengan energi
terendah dan entropi sama dengan nol, yaitu keteraturan sempurna.
Statistik FD adalah ketika partikel N yang tersusun rapi dan terpisah
menjadi keadaan energi terendah N, menunjukan nilai energy titik-nol
yang besar, tetapi besar entropi nol.

𝑉 1
Besar A<<1 kemudian diterjemahkan menjadi 𝜆 ≪ ( )3 , yang berarti
𝑁
8.1 SIFAT GAS IDEAL FERMI – DIRAC
Statistik FD diperlukan
ketika kita berhadapan dengan gas dari partikel-partikel yang berinteraksi
lemah yang memiliki spin 1 2 (atau 3 2, 5 2 ...), dan
ketika gas mengalami degenerasi parameter A > 1.

3
𝑁 ℎ2 2
Karena 𝐴 = , satu hal dalam praktiknya bahwa statistik FD
𝑉 2𝜋𝑀𝑘𝐵 𝑇
𝑁
hanya diperlukan dalam kasus-kasus baru dengan kepadatan tinggi , suhu
𝑉
rendah T atau aplikasi M.
Aplikasi penting dengan massa rendah adalah:

1. Konduksi elektron dalam logam pada semua suhu yang wajar, dan
𝑁
juga dalam semikonduktor dengan kerapatan pembawa yang cukup
𝑉
tinggi.
2. Cairan 3𝐻𝑒 pada suhu rendah.
3. Masalah materi padat dalam astrofisika, seperti neutron dan bintang
katai putih.
8.1.1 Distribusi Fermi-Dirac
Fungsi distribusi Fermi-Dirac

1
𝑓𝐹𝐷 𝜀 = 𝜀−𝜇
(8.2)
exp +1
𝑘𝐵 𝑇

Symbol μ tepat karena ternyata jumlah ini persis sama dengan

potensial kimiawi gas.

Fungsi distribusi f (ε) didefinisikan sebagai jumlah partikel per

keadaan energi ε dalam kesetimbangan termal.
Jadi
Kurva 1 pada gambar, sesuai dengan
suhu rendah, menunjukkan bahwa
f = 1 untuk keadaan dengan ε < μ
tetapi f = 0 untuk keadaan dengan ε > μ.

Kurva 2, T sedikit lebih rendah, daerah

hange-over ini menjadi lebih luas,
meskipun ekstrem dari distribusi adalah
hampir tidak berubah.
Kurva 3 ketika T dinaikkan lebih lanjut
bentuk daerah distribusi terpengaruh,
cenderung ke arah distribusi MB
eksponensial sederhana dalam batas T
tinggi.
Gambar 8.1. Fungsi distribusi Fermi-
Dirac pada tiga suhu yang berbeda.
Kurva 1, 𝑘𝐵 𝑇 = 0,02μ.
Kurva 2, 𝑘𝐵 𝑇 = 0,1μ.
Kurva 3, 𝑘𝐵 𝑇 = 0,5μ.
8.1.2 Energi Fermi
Parameter μ (terkait dengan α) ditentukan oleh kondisi angka 𝑁 =
σ 𝑛𝑖
Nilai μ akan tergantung pada kondisi macrostate (N, V, T), dan
khususnya akan menjadi fungsi dari T

Metode1
Gunakan densitas status g (ε)
Prosedur ini hampir identik dengan yang diberikan pada bagian 4.3
untuk gas helium, yang mengarah ke hasil
𝑉 𝜀 1 𝜀
(4.9) 𝑔 𝜀 𝛿𝜀 = . 4𝜋 (2𝑀 2)2 𝑀𝛿 2
(2𝜋)3 ℏ ℏ
2𝑀 3 1
= 𝑉2𝜋 ( 2 )2 𝜀 𝛿𝜀
2
ℎ
Modifikasi pada (4.9) adalah,
i. bahwa massa M harus merujuk bukan kepada He tetapi ke partikel
sisa le massa, dan
1
ii. bahwa faktor spin G = 2 untuk fermion spin − harus mengalikan
2
hasilnya.
2𝑀 3 1
Karenanya 𝑔 𝜀 𝛿𝜀 = 𝑉 4𝜋 ( 2 )2 𝜀 𝛿𝜀
2 (8.3)
ℎ
Penentuan μ (0), energi Fermi pada T = 0, mengikuti dari jumlah
partikel N yang tetap dalam macrostate.
Dalam kerapatan perkiraan keadaan yang kita miliki (langsung dari
definisi g (ε) dan dari faktor pengisi f (ε))
∞
𝑁= ‫׬‬0 f ε 𝑔 𝜀 𝑑𝜀 (8.4)
Pada nol absolut, fungsi Fermi f (ε)
f = 1 untuk ε < μ(0)
f = 0 untuk ε > μ(0)

Maka (8.4) menjadi

∞
𝑁= ‫׬‬0 f (ε)𝑔 𝜀 𝑑𝜀
2𝑀 3 1
dengan menggunakan 𝑔 𝜀 𝛿𝜀 = 𝑉 4𝜋 ( 2 )2 𝜀 𝛿𝜀
2 (8.3)
ℎ
untuk g (ε) dapat segera dihitung sehingga diperoleh
2
ℏ2 3𝜋2 𝑁3
μ(0) = ( ) (8.5)
2𝑀 𝑉
Metode 2
Keadaan energi rendah dengan energi kurang dari μ(0) semuanya diisi, dan
ℎ2 𝑘 2
karena 𝜀 = keadaan ini diisi dengan dengan k kurang dari beberapa nilai
2𝑀
(disebut vektor gelombang Fermi 𝑘𝐹 ) sesuai dengan μ(0).
Pendekatan kedua untuk penentuan μ (0) adalah untuk mengenali bahwa
permukaan Fermi ini harus mengandung hanya jumlah N yang benar dari
keadaan. Oleh karena itu kita harus memiliki
𝑉 𝑘𝐹 3
𝑁= × 4𝜋 × 2 (8.6)
2𝜋3 3
Suku pertama adalah kerapatan dasar keadaan-k dalam ruang-k
Suku kedua adalah volume yang sesuai di ruang-k ( yang terkandung oleh
permukaan Fermi),
Suku ketiga, 2 adalah faktor putaran untuk putaran 1/2.
Keadaan dengan k > 𝑘𝐹 tidak
terisi
Lingkaran jari-jari 𝑘𝐹 , yang
mewakili batas jelas antara
keadaan diisi dan tidak diisi,
disebut permukaan Fermi.

Gambar 8.2
Permukaan Fermi.
Menggambarkan Pendudukan
ruang k di T = 0; bola memiliki
jari-jari 𝑘𝐹
(• = terisi; = tidak dihuni).
Tiga bahasan tentang energi Fermi
1. Kita sekarang dapat mengukur kebutuhan akan statistik FD dalam sistem
yang disebutkan sebelumnya, dengan mengganti menjadi (8.5). Berguna
untuk menghitung 'suhu Fermi 𝑇𝐹 ', yang didefinisikan oleh:
μ(0) = 𝑘𝐵 𝑇𝐹

2. Perhitungan μ (0) dapat langsung terkait dengan parameter degenerasi A

di (8.1). Sebenarnya dengan mensubstitusi (8.5), bersama dengan definisi
𝑇𝐹 , kami memperoleh
3 3
8 𝑇𝐹 2 𝑇𝐹 2
𝐴= ≈ 1.50
3 𝜋 𝑇 𝑇
Ini hasil secara eksplisit menunjukkan bahwa kondisi degenerasi A > 1 secara
efektif setara dengan T < 𝑇𝐹 . Dan juga batas klasik A << 1 sama dengan T >>
𝑇𝐹 .
3. Ada variasi suhu hingga μ.
Di daerah degenerasi T >> 𝑇𝐹 variasinya kecil, dan seringkali dapat diabaikan
Suhu hanya masuk melalui fungsi Fermi f (ε). Tetapi pada daerah yang mengalami
degenerasi (lihat lagi kurva 1 dan 2 pada Gambar 8.1), variasi f (ε) hanya tidak jelas
dalam rentang energi orde kBT di sekitar dμ.
Ketika T dinaikkan, pengisian keadaan di atas energi Fermi akan dikompensasi
dengan pengosongan dari yang di bawah
 Untuk gas elektron dua dimensi g(ε) adalah konstan dan μ(T) = μ(0) hingga
tingkat akurasi yang tinggi.
 Untuk gas tiga dimensi yang biasa kita punya fungsi g(ε) ∝ ε1/2 dan μ sedikit
jatuh.
Dengan menggunakan hasil Lampiran C dapat ditunjukkan bahwa untuk kasus ini
2 2
𝜋 𝑘𝐵 𝑇
𝜇 𝑇 =𝜇 0 1− …
12 𝜇
Karena variasinya kecil, untuk selanjutnya tidak akan membedakan antara μ dan μ(0)
 8.13 Fungsi Termodinamika

• Energi Internal (U)

Energi internal (U) dapat diselesaikan dari fungsi distribusi f(ε), dengan persamaan sebagai berikut
U = σ𝑖 𝑛𝑖 ε𝑖
Dalam konteks ini menjadi
∞
U = ‫׬‬0 ε 𝑔 ε 𝑓 ε 𝑑ε
Pada T = 0, maka integralnya menjadi
∞
U(0) = ‫׬‬0 ε 𝑔 ε 𝑑ε
Substitusikan g(ε) = Cε 1/2 sehingga persamaannya menjadi
U (0) = 2/5Cμ 5/2
= 3/5Nμ (8.8)
Persamaan (8.8) nilai U(0) mewakili energi titik-nol yang sangat besar, rata-rata 0,6 μ per partikel. Ini adalah prinsip eksklusi, bahwa partikel
Di atas T = 0, di batas limit T << TF Sehingga, hasilnya adalah
U = U(0)+U(th)
= 3 5 Nμ+(π2/6)(kBT) g(μ)+···
2 (8.9)
• Untuk energi Fermi, energi internal thermal
U (th) = (/2 / 2) NkBT × (kB kk T / μ) (8.10)
Ini adalah hasil gas ideal, energi thermal (menghilangkan faktor numerik) pada dasarnya adalah hasil MB
yang dikalikan dengan 'faktor Fermi' (kB kk T / μ). Dan faktor ini adalah (a) kecil dan (b) tergantung suhu.
• Kapasitas panas CV
CV = dU / dT = dU (th) / dT = (π2 / 3) k2 Bk k Tg (μ) (8.11)
di dalam batas integral, diperoleh dengan membedakan (8.9). Oleh karena itu pada suhu rendah
seseorang memiliki kapasitas panas linier, dan kecil. Untuk gas ideal (seperti dalam persamaan (8.10))
besarnya kembali dari nilai klasik NkB kk dikalikan dengan faktor Fermi (kB kk T / μ). Pembatasan eksitasi
termal ditegakkan oleh statistik FD yang memastikan bahwa kapasitas panas efek kecil.
• Tekanan P. Untuk gas partikel masif P = 2 3U / V tidak tergantung
statistic. PV dan U adalah proporsional ini merupakan independent
statistics sehingga
• P = −(∂U/∂V)S basic thermodynamics
• P =−(∂U/∂V){n }fixed S
i dependson {ni} only
• P =−Σni(∂ε/∂V) compare section 2.3.2 – only the
energy levels depend onV
• P = 2/3ΣniεiV see below
• P = 2/3 U/V as stated!
• Ketergantungan volume tingkat energi bergantung pada
dispersasional relasional. Untuk gas dari partikel massa M, kita tahu
bahwa ε (k) ∝ k2.Tapi k sebanding dengan kebalikan dari ukuran kotak
a, yaitu k ∝ V − 1 / 3. Hence ε ∝ V − 2/3. Setiap tingkat energi
bergantung pada V dengan hukum kekuatan yang sama ini, sehingga
kita dapat mengganti ∂ε / ∂V dengan (−2/3) ε / V. Karena P mengikuti
kerapatan energi U / V. Sehingga gas Fermi terlihat memiliki tekanan
titik nol yang sangat besar P (0) = 2 3U (0) / V.
• Entropy S.
Dependence temperature S mudah diperoleh dari CV. Dependence temperature linier pada T (seperti halnya untuk C)
daerah integral, S cenderung ke nol sebagaimana mestinya pada nol absolut. Ini beralih ke variasi lnT dalam klasik

Gambar 8.3. Variasi dengan suhu fungsi termodinamika untuk gas FD ideal. Perhatikan batas suhu rendah (kuantum)
dan suhu tinggi (klasik). (a) Energi dan tekanan internal. (B) Kapasitas panas.
8.2 APLIKASI UNTUK LOGAM

• Logam transisi memiliki kepadatan besar keadaan (keadaan d-

elektron) pada energi Fermi dibandingkan d dengan logam 'baik'
seperti tembaga. Jadi kapasitas panas elektronik tembaga jauh lebih
kecil daripada, sa platinum. Kontribusi terhadap kerentanan magnetik
dari elektron konduksi juga sangat dipengaruhi oleh statistik FD.
Dalam bagian 3.1.4 kita membahas magnetisasi dari statistik
Boltzmann yang berputar-1 2. Dalam bidang yang lemah, hasilnya
adalah
M = Nμ2B / kBT (8.12)
Gambar 8.4 Menghitung magnetisasi asp dalam-1/2 gas FD pada T = 0. Setengah bagian k
dari angka memberikan kepadatan keadaan untuk fermion spin-down, sedangkan separuh
kanan adalah untuk fermion spin-up . Kurva penuh menunjukkan kepadatan keadaan keti
B = 0, kurva putus-putus ketika bidang B diterapkan. Hanya sejumlah kecil putaran yang
dekat dengan energi Fermi (ditunjukkan oleh daerah yang diarsir) yang dapat meluruskan
kembali ketika B diterapkan.
8.3 APLIKASI UNTUK HELIUM-3
Helium-3 adalah atom spin-1 2, yang memiliki spin nuklir 1/2. Oleh karena
itu, gas 3He adalah gas fermion. Ada interaksi yang sangat kuat antara
molekul dalam cairan, dan atom dalam cairan.

Gambar 8.5 Diagram fase untuk 3He

• Ciri kedua yang menarik hanya terjadi pada 3He, yaitu daerah
kemiringan negatif dari garis kesetimbangan padat-cair di bawah 0,3K.
Oleh karena itu, secara khusus relevan dengan sistem fermion. Hasil
penting dari termodinamika adalah bahwa seperti lope dapat
dikaitkan dengan perubahan entropi dan volume menggunakan
persamaan Clausius-Clapeyron (lihat misalnya Fisika Termal oleh Finn,
bagian 9.4). Ini menyatakan bahwa kemiringan garis ekuilibrium
adalah
dP/dT =ΔS/ΔV