Penyelesaian soal-soal transformasi (bab2)

1. Andaikan g dan h dua garis yang sejajar pada bidang euclides V. A sebuah titik yang
terletak di tengah antara g dan h. Sebuah T padanan dengan daerah asal g yang
didefinisikan sebagai berikut:
= ( )= h

Apabila P g maka

a) Apakah daerah nilai T ?

b) Apabila D g , E g , D E , buktikan bahwa D ' E ' DE ; D ' T ( D ), E ' T ( E )
c) Apakah T injektif
Jawab:
g

P
A

P=T(P)
a) Daerah nilai T adalah h
b) D g , E g , D E
D ' T ( D ), E ' T ( E )

B
D

E
A

E
Lihat

(karena A titik tengah)

(siku-siku)

Diperoleh
Akibatnya
Lihat
=

(dalam bersebrangan)

(definisi S,Sd,Sd)

.................. (i)

(karena A titik tengah)

(siku-siku)

(dalam bersebrangan)

Diperoleh
Akibatnya

(definisi S,Sd,Sd)

...................(ii)

Perhatikan
=

(i)

(Bertolak belakang)

(ii)

Diperoleh
Akibatnya

menurut definisi sisi sudut sisi

.

c) Akan dibuktikan T injektif

Y
A

h
Y=T(Y)

X=T(X)

Cara I
Pikirkan dua titik X dan Y pada g dan

Adb: ( ) ( )
Oleh karena X dan Y adalah dua titik yang berbeda maka petanya juga berbeda
Jadi ( ) ( )
Cara II
Pikirkan dua titik

dan

pada g, X Y

Akan dibuktikan T ( X ) T (Y )
Andaikan ( ) =

( )

Oleh karena ( ) = h dan ( ) = h

Dalam hal ini dan memiliki dua titik sekutu yaitu A dan ( ) =
Ini berarti bahwa garis dan berimpit, sehingga berakibat

( ).

Hal ini suatu kontradiksi, haruslah T ( X ) T (Y )

Jadi T injektif.
2. Diketahui sebuah titik K dan ruas garis AB , K AB dan sebuah garis g sehingga g //
dan jarak antara K dan

, adalah dua kali lebih panjang dari pada jarak antara K dan

g. Ada padanan T dengan daerah asal AB dan daerah nilai g sehingga apabila P AB
maka ( ) = = g.
a) Apakah bentuk himpunan peta-peta P kalau P AB
b) Buktikan bahwa T injektif
c) Apabila E dan F dua titik pada AB , apakah dapat dikatakan tentang jarak EF jika E
= T(E) dan F = T(F)?
Jawab:

Note:
K AB (dibaca: K bukan
anggota AB karena relasi titik
dan himpunan)
P AB (dibaca: P anggota AB )
D g (dibaca: D terletak pada
garis g karena relasi tik dan garis)

a) K AB , g // AB , T: AB g
P AB maka ( ) = = g

= g
sehingga P ' g

Jadi bentuk himpunan peta-peta P adalah ruas garis yang end pointnya
.(

b) Akan dibuktikan T injektif

Cara I
Pikirkan dua titik X dan Y pada

Adb: ( ) ( )
Oleh karena X dan Y adalah dua titik yang berbeda maka petanya juga berbeda. Jadi
( ) ( ). Maka T injektif.
Cara II
Pikirkan dua titik

dan

pada AB , X Y

Akan dibuktikan T ( X ) T (Y )
Andaikan ( ) =

( )

Oleh karena ( ) = g dan ( ) = g

Dalam hal ini dan memiliki dua titik sekutu dan ( ) =

( ).

Ini berarti bahwa garis dan berimpit, sehingga berakibat

= .

Hal ini suatu kontradiksi, haruslah T ( X ) T (Y )

Jadi T injektif.
c) K
F

E
E

Dipunyai ,

AB , maka

Perhatikan

dan

Jelas

sehingga

(berhimpit)

(dalam bersebrangan)

(dalam bersebrangan)

Diperoleh fakta

menurut teorema sudut-sudut-sudut

Akibatnya
=

=
=

Jadi

Jarak adalah setengah jarak

3. Diketahui tiga titik A, R, S yang berlainan dan tidak segaris. Ada padanan T yang
didefinisikan sebagai berikut:
T(A) = A, T(P) = P sehingga P titik tengah AP'
a) Lukislah R = T(R)
b) Lukislah Z sehingga T(Z) = S
c) Apakah T suatu transformasi?
jawab:

T(Z) = S

P
P =T(P)

R =T(R)

c) Akan diselidiki apakah T surjektif

T surjektif jika
Jika

Apabila
Jadi

terdapat prapeta

maka prapetanya adalah

maka terdapat

adalah titik tengah

sehingga

sendiri sebab ( ) =

tunggal dengan

. Artinya

= ( )

= ( )

sehingga

Jadi

terdapat prapeta

sehingga

= ( )

Artinya T Surjektif
Akan diselidiki T injektif
Ambil titik

dan

, , ,

tidak segaris

Andaikan ( ) = ( )
Oleh karena ( ) dan ( ) maka dalam hal ini dan memiliki dua
titik sekutu yaitu

dan ( ) = ( ). Ini berarti bahwa garis dan berimpit,

. Dengan kata lain , ,

sehingga mengakibatkan

Ini suatu kontradiksi dengan pernyataan , ,

segaris.

tidak segaris

Pengandaian ditinggalkan, sehingga ( ) ( )

Dengan kata lain T injektif
Karena T surjektif dan T injektif maka T transformasi.

2
2
4. Diketahui P = (0,0), C1 ( x, y ) | x y 1 , C2 ( x, y ) | x 2 y 2 25

T : C1 C2 adalah suatu padanan yang definisikan sebagai berikut : Apabila X C1

maka ( ) =

a) Apabila A = (0,1) tentukan T(A)

b) Tentukan prapeta dari B(4,3)
c) Apabila Z sebarang titik pada daerah asal T, tentukan jarak ZZ, dengan Z = T(Z).
d) Apabila E dan F dua titik pada daerah asal T , apakah dapat dikatakan tentang jarak
EF?
Jawab:

A=(0,5)
B(4,3)
F
F A
P
Q
E
E

a) A = (0,1) maka T(A) = (0,5)

(0,5) diperoleh dari definisi bahwa
Ketika X = A = (0,1) maka ( ) =

( )=

= (0,5)

Jadi ( ) = (0,5).
b) Perhatikan segitiga
Berlaku:
1
= =
5 4 3

= dan

Sehingga prapeta B adalah

daerah asal

c) Dipunyai
Maka

Berarti

=( ,

Jelas

) dimana
0) + (

=1

0) =

= 1 = 1

= ( )

Selanjutnya
Maka

Berarti = ( ,
Jelas =

) dimana
0) + (

= 25

0) =

Jelas , , segaris
=

5=

+1
=51

5=

+1
=

=4

Jadi jarak

=4

d) Dipunyai ,

Maka panjang busur

=
=
=

(
2
(
2

.
.2 .1

= ( ) dan

Selanjutnya

Maka panjang busur

=

(
2

= ( )

= 25 = 5

( )
.2 .5
2
= 5. ( )
=

Karena , , segaris
Dan , , segaris
Maka

) =

Sehingga
= 5.

= 5.

= 5.
=5

Jadi

5. Diketahui f : V V. Jika P(x,y) maka f(P) =(|x|,|y|)

a) Tentukan f(A) jika A = (-3,6)
b) Tentukan semua prapeta dari titik B(4,2)
c) Apakah bentuk daerah nilai f?
d) Apakah f suatu transformasi?
Jawab :
a) f(A) =(3,6)
b) Prapeta dari B(4,2) adalah (4,2),(4,-2),(-4,2),(-4,-2)
c) Daerah nilai f adalah himpunan semua titik-titik di Kuadran I
d) Ambil
Jelas

= (4,2) ,

= (4, 2)

Selanjutnya (

) = (4,2) dan (

Diperoleh fakta (
Jadi terdapat

)= (

dan (

) = (4,2)

)
)= (

Artinya f tidak injektif

Karena f tidak injektif maka f bukan transformasi.
6. Diketahui fungsi g : sumbu X V yang didefinisikan sebagai berikut :
Apabila P(x,0) maka g(P) = (x,x2).
a) Tentukan peta A(3,0) oleh g
b) Apakah R(-14, 196) daerah nilai g?
c) Apakah g surjektif?
d) Gambarlah daerah nilai g.
Jawab :

a) A=(3,0), g(A)=(3,9)
b) Jelas R V , dan
Jadi

mempunyai prapeta yaitu (14,0) pada sumbu

daerah nilai

c) Ambil titik

, maka

( , ) dengan

Jelas terdapat ( , 0) sehingga ( ) =

Jadi, g surjektif.
d)

g(P)=(x,x2)

(0,0)

P(x,0)

7. T : V V, didefinisikan sebagai berikut : Apabila P(x,y) maka

i) T(P) = (x + 1, y), untuk x > 0
ii) T(P) = (x - 1, y), untuk x < 0
a) Apakah T injektif?
b) Apakah T suatu transformasi?
Jawab :
a) Ambil P(x1,y1) dan Q(x2,y2) sehingga P Q
Akan dibuktikan T ( P ) T (Q )
Karena P Q maka x1 x2 atau y1 y2
Untuk x > 0
T(P) = (x1+1, y1)
T(Q) = (x2+1, y2)
Jelas x1 x2 x1 1 x2 1 atau y1 y 2
Sehingga T ( P ) T (Q )
Untuk x < 0
T(P) = (x1-1, y1)
T(Q) = (x2-1, y2)
Jelas x1 x2 x1 1 x2 1 atau y1 y 2

Sehingga T ( P ) T (Q )
Dapat disimpulkan bahwa T injektif.
b) Ambil

(0, )

Andaikan terdapat ( , )
Sehingga ( ) =
Kasus

Maka ( ) = ( + 1, ) = 0

+1=0

= 1 < 0

Kontradiksi dengan pernyataan

Kasus

<0

Maka ( ) = ( 1, ) = (0, )

1=0

=1>0

Kontradiksi dengan pernyataan

<0

Jadi tidak terdapat ( , )

Sehingga ( ) =
Dengan kata lain T tidak surjektif
8.

Karena T tidak surjektif, maka T bukan transformasi.

Diketahui sebuah garis S dan titik-titik A, B, C seperti dapat dilihat pada gambar di
bawah ini
A
B

T : V V didefinisikan sebagai berikut :

i. Jika P S maka T(P) = P
ii. Jika P S maka T(P) = P, sedemikian hingga garis S adalah sumbu ruas PP '
a) Lukislah A = T(A), B = T(B)
b) Lukislah prapeta titik C

c) Apakah T suatu transformasi ?

d) Buktikan bahwa AB = AB
Jawab :
a) dan b) menggunakan konsep pencerminan
A
B
A
C

B
C

c) Akan diselidiki T surjektif

Cara I:
Dalam hal ini T surjektif jika

Terdapat

sehingga

= ( )

sendiri sebab ( ) =

Jika

maka prapetanya adalah

Jika

maka terdapat dengan tunggal

sehingga

garis dan sumbu ruas

. Jadi ( ) = .
Berarti

= ( )

Jadi T surjektif
Cara II:
Jelas setiap P pada V ada prapetanya P sehingga T(P)=P
Jika

, maka

dan jika S maka P adalah cermin dari P terhadap sumbu

s. Jadi T surjektif.
Akan diselidiki apakah T injektif
Ambil ,
Jika ,

dengan

maka T(P)=P dan T(Q)=Q

Sehingga ( ) ( )
Jika ,

akan diselidiki kedudukan T(P) dan T(Q)

Andaikan T(P) = T(Q)

Menurut definisi ( ) = sehingga adalah sumbu ruas garis

dengan demikian

Kemudian ( ) = sehingga adalah sumbu ruas garis

dengan demikian

= dan dari satu titik di luar hanya dapat ditarik satu garis yang tegak

Karena

lurus maka

dan

berimpit, akibatnya

Ini suatu kontradiksi dengan pernyataan

Jadi harusnya ( ) ( )
Artinya T injektif
Karena T surjektif dan T injektif maka T transformasi.
d) Akan dibuktikan AB=AB
A

B
=

Akan dibuktikan bahwa

Misal

titik potong garis dengan ruas garis dan

titik potong garis dengan

ruas garis
Perhatikan

dan

(menurut definisi adalah sumbu sehingga

tengah-tengah )

)=

) = 90

(karena sumbu maka

(berimpit)

Maka menurut teorema sisi-sudut-sisi

=

Akibatnya

(1) dan

)=

Perhatikan dan
=
(

(diketahui)
)=

) = 90

(1)

(karena sumbu maka

(
(

) =
)=

Berakibat

(
(

)
)

) =

(
(

)
)=

2)

(menurut definisi adalah sumbu sehingga

tengah-tengah )

3)

Dari 1), 2) dan 3) maka menurut teorema sisi-sudut-sisi

Akibatnya