SISTEM KOORDINAT RUANG DAN

PERMUKAAN DERAJAT DUA DI RUANG

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Tugas

Mata Kuliah Kalkulus Lanjut

oleh :

Andi Tenritte
1211040012 / A

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2014

SISTEM KOORDINAT
RUANG

A. SISTEM KOORDINAT RUANG

1. Koordinat Cartesius

Untuk menyatakan posisi sebuah benda di dalam ruang, dibutuhkan

suatu sistem koordinat yang memiliki pusat koordinat dan sumbu koordinat.
Sistem koordinat yang paling umum adalah Koordinat Cartesius. Jika kita
berbicara ruang 2 dimensi, maka koordinat Kartesian 2 dimensi memiliki
pusat di O dan 2 sumbu koordinat yang saling tegaklurus, yaitu x dan y.
Selanjutnya koordinat Kartesian 2 dimensi dapat diperluas menjadi
Kartesian 3 dimensi yang berpusat di O. Untuk menentukan letak atau posisi
suatu titik dalam ruang dipergunakan susunan koordinat orthogonal ruang,
yang disebut system koordinat kartesius siku-siku. Susunan kooordinat
orthogonal ruang ini terdiri atas tiga bidang yang saling berpotongan tegak
lurus menurut tiga garis lurus. Ketiga garis tersebut, yaitu OX, OY, dan OZ
saling berpotongan tegak lurus, yang masing-masing disebut sumbu X, sumbu
Y, dan sumbu Z.
Z

Letak titik A dalam ruang ditentukan oleh jarak titik itu terhadap bidangbidang koordinat YOZ, XOZ, dan XOY. Apabila jarak titik A terhadap bidang
YOZ, XOZ, dan XOY berturut-turut adalah x, y, dan z, maka koordinat titik A
dapat ditulis (x, y, z), atau A(x, y, z). Selanjutnya bilangan-bilangan x, y, dan z
berturut-turut disebut absis, ordinat, dan aplikat dari titik A.
Bidang-bidang koordinat XOY, XOZ, dan YOZ membagi ruang atas 8
bagian (cell) yang masing-masing disebut oktan.

No

Titik P(x, y, z) pada :

1
2
3
4
5
6
7
8

Oktan I
Oktan II
Oktan III
Oktan IV
Oktan V
Oktan VI
Oktan VII
Oktan VIII

Bilangan-bilangan
x>0
x<0
x<0
x>0
x>0
x<0
x<0
x>0

y>0
y>0
y<0
y<0
y>0
y>0
y<0
y<0

z>0
z>0
z>0
z>0
z<0
z<0
z<0
z<0

Pada Gambar 2, menyatakan titik P dapat dinyatakan dalam x, y dan z.

OP adalah jarak titik P ke pusat O.

Gambar 2

Koordinat
y,

z)

pada

diubah
diantara

Cartesius 3 dimensi (x,

Gambar 2 di atas dapat
menjadi Koordinat Tabung dan koordinat bola. Hubungan

ketiganya, jika P(x,y,z) adalah letak titik dalam koordinat

P(r , , z )

Cartesius, maka

adalah letak dalam koordinat tabung dan

P( , , )

adalah titik dalam koordinat bola (Spherical Coordinate).

Hubungan ketiga koordinat dapat digambarkan sebagai berikut:

Z Z Z

P ( , , ) P ( r , , z ) P ( x, y , z )

 X X X

YY

Gambar 3

Koordinat Cartesius dan koordinat tabung dihubungkan oleh persamaan:

x=rcos

y=rcos

z=z

x 2+ y 2 =r 2

tan =

y
x

Contoh Soal :

1. (3,3,5) menyatakan letak titik P pada ruang dalam koordinat Cartesius. Ubah
dan Nyatakan letak titik P dalam koordinat tabung!
Jawab :
Koordinat Cartesius dan koordinat tabung dinyatakan dalam hubungan

x r cos

y r cos z z x 2 y 2 r 2
,
,
,
dan

tan

y
x

sehingga:

r 32 32 18 3 2

tan

1 atau arctan 1
3
4

(3,3,5)
Jadi koordinat tabung dari

6, ,2
6

3 2 , ,5
4

adalah

2.

menyatakan letak titik Q pada ruang dalam koordinat tabung. Ubah

dan Nyatakan letak titik Q dalam koordinat Cartesius.

Jawab :
Koordinat Cartesius dan koordinat tabung dinyatakan dalam hubungan

x r cos

y r cos z z x y r
2

tan

dan

y
x

sehingga:

x 6 cos

3
6.
3 3
6
2

y 6 sin

1
6. 3
6
2

6,
Jadi koordinat Cartesius

,2
6

adalah

3 ,3,2

x2 y2 z2

8,
3.

2
,

3 3

menyatakan letak titik W dalam koordinat bola. Ubah dan

nyatakan letak titik W dalam koordinat Cartesius dan koordinat tabung.

Jawab
Koordinat Cartesius, koordinat tabung dan koordinat bola mempunyai
hubungan sebagai berikut:

r sin atau r x 2 y 2

z cos
x sin cos

y sin sin

x2 y2 z2

8,
sehingga dari titik

2
,

3 3

8,

diketahui

dan diperoleh

x 8 sin

3
2

cos 8.

3
3
2

y 8 sin

3
2

sin 8.

3
3
2

z 8 cos

2
1
8 4
3
2

1
2 3
2

2 6

2
dan
3
3

r sin

3
2
4 3 atau r x 2 y 2
8

3
2

8,
Jadi koordinat Cartesius

8,
tabung

4.

3 ,4,6

2
,

3 3

2
,

3 3

4 3 , ,4
3

adalah

2 3

6 2 48 4 3

3 ,6,4)

, dan koordinat

adalah

menyatakan letak titik M dalam koordinat Cartesius. Ubah dan

nyatakan letak titik W dalam koordinat tabung dan koordinat bola.

Jawab :
Koordinat Cartesius, koordinat tabung dan koordinat bola mempunyai
hubungan sebagai berikut:

r sin atau r x 2 y 2

z cos
x sin cos

y sin sin

z cos

x2 y2 z2

sehingga dari titik

4,4

3 ,6

x 4, y 4 3 dan z 6

diketahui

dan diperoleh

r x2 y2
tan

4 2 (4

3 ) 2 64 8

y
4
1 3

x 4 3
3

5
6

x 2 y 2 z 2 (4) 2 (4 3 ) 2 (6) 2 10

z cos 6 10 cos

arccos

6
10

Jadi koordinat tabung

4,4

4,
5.

3 ,6

,8
3

10,
adalah

4,4

3 ,6

5
6
, ar cos
6
10

8,
adalah

5
,6
6

, dan koordinat bola

menyatakan letak titik T dalam koordinat tabung. Ubah dan

nyatakan letak titik T dalam koordinat Cartesius dan koordinat bola.

Jawab :
Koordinat Cartesius, koordinat tabung dan koordinat bola mempunyai
hubungan sebagai berikut:

r sin atau r x 2 y 2

z cos
x sin cos

y sin sin

z cos

x2 y2 z2

4,
sehingga dari titik

,8
3

r 4,

diketahui

4
3

4
2 3
3
4
y r sin y 4 sin
2
3

x r cos x 4 cos

( 2 3 ) 2 (2) 2 (8) 2 4 5

z cos 8 4 5 cos arccos

2 5
5

4
, z 8
3

dan diperoleh

4,
Jadi koordinat Cartesius

4,
bola

,8
3

,8
3

4 5,

adalah

adalah

4
2 5

, qrc cos
3
5

3 ,2,8

, dan koordinat

PERMUKAAN DERAJAT

DUA
DIRUANG

B. PERMUKAAN DERAJAT DUA DI RUANG

1. Bidang Datar

Permukaan ruang yang paling sederhana adalah bidang datar yang

ax by cz d ; a, b, c

persamaannya

tidak semua nol, dan a,b,c konstanta.

ax by cz

Jelas

tidak semua nol

a2 b2 c2 0

Sehingga jejak permukaannya:

xoy ax by d

Pada bidang

.
yoz by cz d .

Pada bidang

Pada bidang

xoz ax cz d .

Gambarnya:

Z (0,0,d/c)

ax +cz = d

by + cz = d
Y
(0, ,0)

( ,0,0)

ax + by =d

2. Permukaan berderajat dua

Permukaan yang merupakan grafik suatu persamaan berderajat dua
dalam ruang dimensi tiga dinamakan permukaan kuadrik. Penampang bidang
kuadrik adalah konik.

Ax 2 By 2 Cz 2 2dxy 2 Exz 2 Fyz Gx Hy Iz j 0

Bentuk umum:
dengan A, B, C, D, E, dan F tidak semua nol.
Jenis-jenis permukaan dimensi tiga, yaitu:
a. Elipsoida (termasuk bola)
ersamaan permukaan elipsoida yang berpusat di titik (0,0,0) adalah
P

x2 y2 z2

1, a, b, c 0.
a2 b2 c2

jejak permukaan pada bidang XOY:

jejak permukaan pada bidang YOZ:

jejak permukaan pada bidang XOZ:

Grafik permukaan elipsoida:

x2 y2

1
a2 b2
2

y
z
2 1
2
b
c
x
z
2 1
2
a
c

, elips

, elips

, elips

b. Hiperboloida berdaun satu

Persamaan permukaan hiperboloida berdaun satu yang berpusat di titik
O(0,0,0) adalah:
x2
y2
2
2
a + b

z2
2
c

= 1, a,b,c > 0

Jejak permukaan pada bidang XOY:

x2
y2
a2 + b 2

= 1, elips

Jejak permukaan pada bidang YOZ:

y2
b2

= 1, hiperbol

Jejak permukaan pada bidang XOZ:

x2

a2

Grafiknya:

z2
c2
z2
c2

= 1, hiperbol

c. Hiperbola berdaun dua

Persamaan permukaan hiperboloida berdaun dua yang berpusat di titik
O(0,0)

= 1, a, b, c > 0

Dari bentuk persamaan diperoleh

sehingga x

atau x

- 1

a.

Jejak permukaan pada bidang XOY:

= 1, hiperbola

Jejak permukaan pada bidang XOZ:

= 1, hiperbol

Jejak permukaan pada bidang x = k, k > a atau k < -a:

0, akibatnya

- 1 > 0, elips

Grafik permukaan hiperboloida berdaun dua yaitu:

d.

Parabolaoida
eliptik
Persamaan
permukaan
parabolaoida
eliptik

yang berpusat di

titik

O(0, 0, 0) adalah:
x2
a2 +

y2
2
b

z
c

, a, b, c > 0
2

Jejak permukaan pada bidang XOY:

y
b2

Jejak permukaan pada bidang XOZ:

x2
a2

z
c

z
,
c parabola

Jejak permukaan pada bidang z = k, k > 0:

k
x2
y2
2
2
+
=
c > 0, elips
a
b
Grafik permukaan parabolaoida eliptik yaitu:

, parabola

e. Parabolaoida hiperbolik
Persamaan permukaan parabolaoida hiperbolik yang berpusat di titik O(0,0,0)
adalah:
x2
a2

y2
b2

z
c

, a, b, c > 0

Jejak permukaan pada bidang XOY:

x2
a2

y2
b2

= 0,

( ax + by )( xa by )

0, sepasang garis lurus.

Jejak permukaan pada bidang z = k > 0:

x2
a2

Jejak permukaan pada bidang z = k < 0:

x2
a2

Jejak pada bidang YOZ: Jejak pada bidang XOZ:

y2
b2
x2
a2

=
=

y2
b2

y2
b2

=-

z
c , parabola
z
c , parabola

Grafik permukaan parabolaoida hiperbolik yaitu:

k
> 0,
hiperbol
c
k
>0
, hiperbol
c

f.

Kerucut
Persamaan
permukaan
kerucut
titik

yang

berpusat

di

O(0,

0)

0,

adalah:
x2
2
a

y2
b2

z2
c2

,a, b, c > 0

x
2
a

Jejak permukaan pada bidang z = k, k

0:

Jejak permukaan pada bidang YOZ:

y
2
b

y
2
b

k
2
c

> 0, elips

z
2
c

, atau

y
b

z2
c2

, atau

x
a

z
c

z
c

sepasang garis lurus

Jejak permukaan pada bidang XOZ:
sepasang garis lurus
Grafik permukaan kerucut yaitu:

x2
a2

Contoh Soal :
1. Gambarkan permukaan berderajat dua

setelah menentukan jenis pusat

dan jejaknya pada bidang x = -1, y = 1, dan z = 2.
Jawab :
Jelas

Dari bentuk ini jelas pusat elipsoida di titik (-1, 1, 2).

Jejak pemukaan pada bidang x = -1:

Merupakan bentuk elips berpusat di (1, 2).

Jejak permukaan pada bidang y = 1:

Merupakan bentuk elips berpusat di (-1, 2).

Jejak permukaan pada bidang z = 2:
+

Merupakan bentuk elips berpusat di (-1, 1).

2. Berupa permukaan apakah persamaan permukaan :
9 x 2+ 4 y 26 z 2 +18 x8 y24 z 11=0
Jawab :

Dengan menuliskan bentuk

( xq)

( yb)

, dan

(zc )

diperoleh

persamaan
9(x +1)2+ 4( y1)26 ( z+2 )2=0
Dengan membagi persamaan dengan 36, diperoleh

( x +1 )2 ( y1 )2 ( z+ 2 )2
+
2 =0
22
32
6
Jadi permukaan tersebut merupakan kerucut elips dengan pusat (-1,1,-2).
3. Berupa permukaan apakah persamaan permukaan :
9 x 2 +4 y 236 z+ 36=0
Jawab :
2

9 x +4 y 36 z+ 36=0
Dengan membagi persamaan dengan 36, diperoleh
x 2 y 2
+ 2 z+1=0
2
2
3
Atau bias dituliskan sebagai
2
2
y x
z1= 2 2
3 2

Jadi

9 x +4 y 36 z+ 36=0

dengan pusat (0,0,1).

merupakan permukaan paraboloid hiperbol

4. Berilah nama grafik persamaan berikut :

9 x 2+ 4 z 236 y=0
Jawab :
Sketsa grafik dari

9 x 2+ 4 z 236 y=0 :

Jejak di bidang

xy

Jejak di bidang

yz

Jejak di bidang

xz : titik asal

Jejak di bidang

y=4 : elips

: parabola
: parabola

1
y= x 2
4
1
y= z 2
9

x2 z2
+ =1
16 36

Grafiknya sebagai berikut :

5. Buatlah sketsa grafik dari

x2 y2 z2
+ + =1
16 25 9
Jawab :

Sketsa grafik dari

Jejak di bidang

x2 y2 z2
+ + =1
16 25 9

xy

: elips

, sebagai berikut :

x2 y2
+ =1
16 25

Jejak di bidang

Jejak di bidang

Grafiknya :

yz

yz

: elips

x2 z2
+ =1
16 9

: elips

y z
+ =1
25 9