Presentation 1
Presentation 1
Presentation 1
partikel tanpa meninjau penyebab geraknya. Kinematika adalah cabang dari ilmu mekanika, yaitu ilmu yang mempelajari gerak benda.
Gerak lurus adalah gerak suatu obyek yang lintasannya berupa garis lurus. Dapat pula jenis gerak ini disebut sebagai suatu translasi beraturan. Pada rentang waktu yang sama terjadi perpindahan yang besarnya sama.
1.
Kedudukan Partikel
Vektor Satuan
Vektor Satuan adalah vektor yang memiliki nilai satu satuan dengan arah tertentu .
Arah vektor satuan searh dengan sumbu positif maka nilainya sama dengan +1 dan vektor satuan yang searah dengan sumbu negatif sama dengan -1 .Dari gambar disamping merupakan vektor satuan dalam koordinat kartesius. adalah vektor satuan dalam arah sumbu x adalah vektor satuan dalam arah sumbu y K adalah vektor satuan dalam arah
+ +
OQ = OP + PQ maka vektr PQ PQ = OQ OP r = r2 - r1 r = (x2 + y2 ) (x1 + y1 ) r = (x2 - x1 ) + (y2 - y1 ) Atau r = x + y Besar perubahan vektor posisi r dinyatakan dengan ; I r I =
Contoh Soal
Soal Sebuah partikel berada pada posisi P ( 3, 4 ) a. Tentukan persamaan posisi ! b. Gambar posisi titik P dalam koordinat Cartesius ! c. Hitunglah Besar dan Arah dari vektor tersebut ! Penyelesaian : a.r = x + y r=3+4
b.
Y 4 f p
x o 3 c. Besar vektor posisi IrI= IrI= Jadi besar vektor itu 5 Arah Vektor : tg = = = 53 0
Dari gambar kita peroleh OB = OA + AB sehingga : r AB = AB = OB OA = rB rA = ( xB xA ) + ( y B YA ) + ( ZB + Z A) CATATAN Posisi sebuah partikel biasanya dinotasikan dengan huruf X,y,r atau s Notasi vektor satuan biasanya ditulis atau
2. Kecepatan
Kecepatan merupakan ukuran yang menyatakan besar perubahan posisi benda terhadap waktu.Kecepatan sebagaimana perubahan posisi ( perpindahan ) mempunyai arah tertentu sehingga keduanya adalah besaran vektor.
AB = r OA = r1 OB = r2
r = (x2 - x1 ) + (y2 - y1 ) = x + y
Vr = Kecepatan rata rata ( Vr ) di definisikan sebagai Arah kecepatan rata rata perpindahan persatuan waktu, sama secara matematis ditulis : dengan arah perubahan posisi Vr = atau Vr =
Vr =
Vr = Vx
Vy
tg =
Kecepatan Sesaat
Merupakan lemit kecepatan rata rata suatu partikel untuk perubaha waktu yang sangat kecil atau mendekati nol. Vy = = tg =
Kecepatan sesaat akan diperoleh ketika t mendekati nol. Titik A dan B hampir berhimpit sehingga y juga mendekati nol dan busur AB berhimpit dengan garis Vx, Vx merupakan garis singgung grafik r = r ( t ) . v= = Maka kecepatan sesaat v : v=
Artinya, Kecepatan sesaat merupakan differentsial ( turunan ) dari fungsi posisi. Maka persamaanya : v=
Atau v = Vx + Vy Kelajuan sesaat atau besar kecepatan sesaat adalah ; IVI= Arah kecepatan sesaat terhadap sumbu x adalah ; tg =
Sebuah partikel bergerak menurut garis lurus dengan persamaan posisi x = -2t2 + 24t + 8 , x dalam meter dan t dalam sekon. Tentukanlah :
a.Kecepatan b.Kecepatan c.Kecepatan d.Kapan e.Jarak
V=
awal partikel .
V=
= = -4t + 24
(-2t2 + 24t + 8 )
=0
Jadi, partikel berhenti saat t = 6 sekon e. Jarak terjauh yaitu jarak ketika V = 0 ,dimana t = 6 sekon Xt = -2t2 + 24 t + 8 X6 = -2 ( 6 )2 + 24(6) +8 = -72+144+8 = 80 meter Jadi jarak terjauh yang dicapai partikel adalah 80 meter
Keterangan ; r1 = Posisi Saat t Sekon r0 = Posisi mula mula ( saat t = nol ) V = Kecepatan sesaat sebagai fungsi waktu
Titik A memiliki kecepatan yang dinyatakan dalam vektor : VA = ( 8t j 2 t2 j ) m/s .Jika posisi awal benda ( 2i + 3j ) m/s ,Tentukanlah vektor posisi saat t = 2s! Penyelesaian : Diket : VA = ( 8t j 2 t2 j ) m/s ro = ( 2i + 3j ) m/s t = 2s Dit : r.........? Jawab : r = r0 + VAdt
r = ( 2i + 3j ) + ( 4 t2 i -
t3 j )
r = ( 2i + 3j ) + ( 8t j 2 t2 j ) dt
Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan sebagai fungsi waktu yang ditunjukkan oleh persamaan: a.V = 4t2 -2t b.V =t2 4t1/2 Hitung posisi partikel sebagai fungsi waktu . Jawab : a. r = V dt = (4t2 -2t ) dt r= t3 t2 b. r = t3 3/2
= Dengan : a = Percepatan rata- rata ( m/s2) t = Selang Waktu ( s ) v = Perubahan Kecepatan ( m/s)
Apabila gerak partikel tersebut terletak pada bidang yang dibentuk oleh sumbu x dan sumbu y maka persamaanya dapat di ubah : ar = Arah percepatan rata terhadap sumbu x adalah : tg = rata
Besar Percepatan I ar I = Dengan : I ar I = Percepatan rata rata ( m/s2 ) ax = Komponen percepatan arah sumbu x (m/s2 ) ay = Komponen percepatan arah sumbu Y (m/s2 )
Siti menaiki motor dengan persamaan kecepatan v = ( 2t2 i + 8 tj ) m/s .Tentukan : a.Vektor percepatan rata rata dari t = 1s hingga t= 3s b. Komponen sumbu X percepatan rata rata dari t = 1 s hingga t = 3 s c.Komponen sumbu Y percepatan rata rata dari t = 1 s hingga t = 3 s d.Besar percepatan rata rata dari t = 1s hinggga t= 3s e.Arah percepatan rata rata dari t = 1s hinggga t= 3s Penyelesaian : a.a = =
m/s2 maka = 45 0
Percepatan Sesaat
Sebagai perubahan kecepatan sesaat terhadap waktu dapat ditentukan dengan analogi seperti kecepatan sesaat.Namun secara teoris ,percepatan sesaat dapat didenifisikan sebagai harga limit percepatan rata-rata dengan mengambil t yang mendekati nol. a= a= Komponen komponen percepatan sesaat terhadap sumbu x dan sumbu y: ax = dan ay = Sehingga vektor percepatan sesaat diperole : a = ax i + ay j Besar Percepatan Sesaat : atau ax = dan ay = IaI= =
Arah percepatan sesaat terhadap sumbu x : tg a = Percepatan sesaat merupakan turunan kedua dari fungsi posisi karena V = maka, a= a= = Kesimpulannya :
dv = Vt V 0 =
a dt a dt
Vt = V0 + adt Dengan menuliskan vektor vektor pada persamaan di atas dalam komponen komponennya ( Vt = Vxt i + Vyt j + V2t k dan V0 = Vxo i + Vyo j + V20 k ) kita peroleh ; Vxt =Vxo + axdt Vyt = Vyo + aydt Vzt = Vz0 + azdt Jika hanya besar percepatan saja yang diketahui ( arahnya tidak diberi tahu ) maka rumus besar kecepatan setiap saat dapat ditulis; Vt = Vo + a dt
Dengan V1 dan Vo menyatakan kecepatan pada waktu t dan kecepatan mula mula
2.
Metode Grafik Dalam metode grafik , intergral pada persamaan Vxt =Vxo + ax dt ,
Vyt = Vyo + ay dt , Vzt = Vz0 + az dt dan Vt = Vo + a dt dihitung secara grafik, yaitu dengan menghitung luas daerah di ax (t) bawah kurva ax, ay (t), ay (t) az(t ) seperti ditunjukkan pada dan daerahyang diarsir dalam gambar dibawah ini.
Luas = ax dt
to 0 ta
Luas = ax dt
t 0
to ta t
Catatan : Luas daerah yang diarsir dibawah kurva ax, ay (t), dan az(t ) merupakan besar pertambahann kecepatan partikel dalama arah sumbu x, y, dan z dari
Soal
Sebuah partikel mendapat dua macam percepatan, percepatan arah sumbu x : ax = 2t 3t2 dan percepatan arah sumbu y : ay 6-4t. Jika mula mula
( 2t-3t2)dt
3
0 1
= ( 2. t2-3.1/3 t3 ) = ( 1 1 )- 0 = 0 m/s
partikel diam , Hitung kecepatan partikel setelah 1 detik ( semua satuan dalam Vyt = Vyo + Vydt rumus percepatan di atas dinyatakan = 0 + ( 6-4t ) dt dalam SI ( Sistem Internasional )) . = ( 6t 4.1/2 t2 )
0 1
= ( 6.1 2.12 ) 0 = 4 m/s Kecepatan patikel adalah resultan dari kedua kecepatan ini yaitu : V= =
ax = 2t 3t2 ay = 6 4t : Vt.....?
2. Memadu Gerak
a. Pengertian Memadu Gerak
Apabila sebuah benda secara serentak dipengaruhi dua gerak lurus yang arahnya berlainan, hingga menhasilkan paduan gerak. Besar dan arah paduan ini menjadi berbeda dengan besar dan arah paduan ini menjadi berbeda dengan besar dan arah kedua gerak yang dipadukan.
0 vx
Perhatikan gambar diatas merupakan persamaan kedudukan dari gerak perahu dan gerak arus sungai setelah selang waktu detik adalah sesuai dengan persamaan gerak lurus beraturan yaitu : Sx = V x . t Sy = Vy .t Hasil perpaduan kedua kedudukan tersebut adalah : S = Sx + S y S = Vx .t + Vy .t S = ( Vx + Vy ) .t
Sedangkan hasil perpaduan kecepatan Vx dan Vy adalah V . V = Vx + V y Substitusi nilai v dari persamaan V = Vx + Vy ke persamaan S = ( Vx + Vy ) .t maka akan diperoleh : S = ( Vx + Vy ) .t S = V.t
Sebuah pesawat terbang bergerak dari kota A ke barat dengan laju 120 km/jam. Setengah jam kemudian ternyata pesawat berada di atas sebuah desa yang terletak 75 km di barat dan 20 km di selatan kota A. Selama terbang, pesawat ditiup angin dengan kecepatan... Pembahasan...
Vp = 120 km/jam A
Va 20 km 75 km Va
Gerak searah sumbu y : y = Vo . t + at2 y = a.t2 Substitusikan nilai t dari persamaan t = akan diperoleh : y = a.t2 = a. =a Harga merupakan bilangan tetap ( c = konstan ) maka persamaan dapat ditulis : Y = c. X2 Selanjutnya untuk menentukan harga kecepatan setelah t detik , kembali kita menggunakan persamaan paduan dua vektor yaitu : V=
2
Y=
. X2
KET : : Sudut yang dibentuk V dengan , dengan arah tg = sumbu x : tetap : Vo + at karena Vo = 0 maka Vy = a.t
Titik Tertinggi
Titik tertinggi yang dicapai peluru. Pada titik ini, harga Vty = 0 ( tidak naik lagi ) . Bila harga ini distubstitusikan pada persamaan Vty = Vo sin g.t dengan t = t ym = waktu yang diperluakn untuk mencapai titik tertinggi ( tinggi maksimum ) maka diperoleh : Vty = Vo sin g t 0 t
ym
ym ym
= Vo sin g t =
Titik tertinggi ( ym ) yang dicapai peluru, persamaannya dapat diperoleh dari persamaan yt = Vo sin .t g.t2 dengan t = t ym y
m
ym =
( Vo sin g txm )
0 = Vo sin g txm g txm = Vo sin txm = 2 Titik terjauh ( Xm ) yang dicapai peluru , persamaanya dapat diperoleh dari persamaan Xt = Vo. Cos .t dengan t = txm Xm = Vo.cos . txm = Vo.cos . 2 = sin 2
5. Gerak Rotasi
Gerak rotasi adalah gerak benda yang berputar terhadap suatu sumbu putar ( atau sumbu rotasi ) Berdasarkan gambar dibawah ini benda berupa titik P . Bergerak melingkar beraturan dengan pusat lintasan di O dan jari jari llintasan di R. Kecepatan linier V, disebut juga kecepatan singgung dan mempunyai harga atau laju yang tetap. Laju ini menyatakan lintasan ( busur lingkaran ) yang ditempuh tiap satuan waktu. V o R p V= KET : =2 fR
T = Periode, yaitu waktu untuk 1 kali bergerak melingkar dengan satuan detik (s) F = Frekuensi, banyaknya putaran yang ditempuh selama 1 detik
Kalau kita perhatikan garis OP ,selama P bergerak melingkar,garis OP menyapu sudut. Sudut yang disapu atau yang dibentuk selama satu satuan waktu merupakan besar kecepatan sudut ( = W ) W= =2 .f
KET : W = Kecetan sudut,dalam rad s-1 T = periode dalam s f = Frekuwensi dalam s-1
Berdasarkan pengertian di atas, posisi benda titik P yang bergerak melingkar dapat dinytakan dengan : ( r1 (t))
r = R = jari jari lintasannya yang berharga tetap (t) = sudut yang dibentuk jari jari OP terhadap posisi awal selama t detik .
Pengertian Radian
Dalam perhitungan fisika sudut diukur dalam radian atau disingkat dengan rad. Hubungan antara rad dan derajat adalah : 1 rad = = 57,296o
Definisi radian dapat diturunkan dengan bantuan Gambar disamping.Pada gambar tampak bahwa Panjang tali busur yang berhadapan dengan sudut adalah . Hubunan s,r, dan secara geometri dapat ditulis : = =
Jika r = s sudut = 1 radian.Dari sini dapat didefinisikan bahwa 1 radian adalah sudut yang dibentuk oleh suatu juring lingkaran yang panjang tali busurnyasama dengan jari jari lingkaran ( r = s )
r=s
= 1 radian
Dalam gerak rotasi posisi sudut suatu partikel senantiasa berubah dengan kata lain posisi sudut merupakan fungsi waktu , = (t)
b. Kecepatan Sudut Setiap benda yang berputar memiliki kecepatan sudut.Pada gerak linier, kecepatan diturunkan dari persamaan lintasan atau posisi, sedangkan pada gerak rotasi pada diperoleh dari persamaan posisi sudut yang ditempuh selama gerak rotasi.Anda bedakan pengertian , antara kecepatan sudut rata rata dan kecepatan sudut sesaat.
= tan
Dengan : = kecepatan sudut sesaat ( rad/s) = Sudut garis singgung kurva terhadap sumbu t pada suatu saat. t = t1 t = t2 t = t3 = tan 1 = tan 2 = tan 3= 0
= 0 + Dengan :
c. Percepatan Sudut
Percepatan sudut merupakan turunan pertama dari fungsi kecepatan, terhadap waktu sudut
Kalau kita kaitkan dengan kecepatan sudut yang telah dibicarakan diatas, yaitu = maka : = = =
Percepatan sudut merupakan turunan kedua dari fungsi posisi sudut terhadap waktu
Untuk gerak melingkar berubah beraturan perecepatan sudutnya tetap , yaitu .Dari ketentuan ini dapat dihitung kecepatan sudutnya : = 0 + .dt = 0 + .t = 0 + .t Dengan : = Kecepatan sudut pada suatu saat o= Kecepatan sudut awal yang berharga tetap = Percepatn sudut
Dari percepatan sudut ini, dapat dihitung pula posisi sudutnya. = 0 + = 0 + .dt (o + t )dt
= 0 + (ot + 1/2 .t2 ) = 0 + ot + 1/2 .t2 = 0 + ot + 1/2 .t2 Posisi sudut GRBB
Dengan : = Posisi sudut pada saat t 0 = Posisi sudut pada saat t = 0 Tabel Analogi gerak translasi dan rotasi Gerak lurus berubah beraturan ( a = konstan V = V0 +at S = So +Vot +1/2at2 V2 = Vo2+ 2a(s-so) Gerak rotasi berubah beraturan ( a = konstant ) = o+ at = o + ot+1/2at2 2 = o2 + 2a( 0)
4. Hubungan antara besaran besaran tangensial dengan besaran besaran sudut pada gerak rotasi .
Benda titik yang bergerak melingkar berybah berturan , benda mengalami 2 macam percepatan yaitu percepatan sentripetal dan percepatan tangensial. Percepatan sentripetal ( s) . Arahnya selalu menuju ke titik pusat lintasannya dan besarnya tergantung besar kelajuan saat itu. Percepatan tangensial (t) besarnya tetap searah garis singgung dan berfungsi memberi perubahan pada kelajuan.
Jadi persamaan gerak benda titik yang bergerak melingkar berubah beraturan dengan posisi awal 0 adalah : Vt = Vo + at. t St = Vo.t+ at.t Percepatan pada gerak melingkar berubah beraturan merupakan resultan dari percepatan sentripetal dan percepatan tangensial. a =at +as IaI=a= a= Pada gerak melingkar, lintasannya berupa busur lingkaran.jadi, lintasan gerak melingkar dapat dinyatakan dengan sudut pusatnya : Dengan : S = lintasan yang ditempuh S = .R = sudut yang ditempuh dalam satuan radian R = jari jari lingkaran
Demikian juga kecepatan linier dapat dinyatakan dengan kecepatan sudutnya. s = .R v= = =R v = .R Dengan : V = Kecepatan linier = Kecepatan sudut dalam rad/s R = jari jari lingkaran ( .R )
Percepatan tangensial atau percepatan singgung juga dapat dinyatakan dengan percepatan sudutnya. V = .R at = = =R = R . at = R . at = Percepatan tangensial = percepatan sudut dalam rad.s2 R = jari jari lintasan ( .R )