Bahan Ajar Vektor

VEKTOR
“Hal yang paling penting adalah jangan pernah berhenti bertanya.

Rasa penasaran memiliki alasan tersendiri untuk ada”
(Albert Einstein)
Vektor
Tujuan Pembelajaran
Kata-Kata Kunci:
Setelah mempelajari bab ini kalian dapat
menjelaskan vektor dan sifat-sifatnya yang • Vektor
ditemui dalam kehidupan sehari-hari, • Notasi dari vektor
merepresentasi vektor untuk menggambarkan
• Resultan vektor
fenomena fisika, membedakan operasi skalar
• Komponen vektor
dan vektor, melakukan operasi vektor dalam
menyelesaikan masalah serta • Metode poligon
mendeskripsikan operasi vektor dan hasilnya • Metode analitis
secara fisis. • Metode jajargenjang
Sumber: Ignacio Pales dan Dids/Pexels.com (2019)

Peta Konsep
Vektor
mencakup
Konsep Representasi Operasi

Vektor Vektor Vektor
memerlukan mendukung
terdiri atas
Penjumlahan Perkalian
dapat menjadi
terdiri atas
Pengurangan Perkalian Titik
Perkalian Silang
Kalian sering menyaksikan berbagai kegiatan yang berhubungan dengan

arah dalam kehidupan sehari-hari. Sampul bab menunjukkan gerak penerjun
payung ke bawah dan arah tali pada jembatan. Arah vektor medan
magnet ditunjukkan oleh kompas dan dalam pembuatan game aplikasi
vektor digunakan untuk menggambarkan gerak benda atau karakter.
Gambar 1.1 Arah medan magnet dan konsep pembuatan game

sumber : Alvius Tinambunan/Kemendikbudristek (2022)
2 Fisika untuk SMA/MA Kelas XI

Mengapa penerjun payung mendarat melenceng dari posisi sebenarnya?
Lihat Gambar 1.2. Salah satu penyebabnya adalah tiupan angin yang
mengubah arah gerak penerjun payung.
Gambar 1.2 Penerjun payung mendarat melenceng

Gambar 1.3 menunjukkan beberapa kabel menopang suatu jembatan.

Setiap kabel memberikan gaya sehingga ada beberapa vektor gaya.
Gambar 1.3 Beberapa kabel menopang suatu jembatan

Ayo, Berpikir Kritis!
Bagaimana cara menggambar vektor, resultan vektor, komponen

vektor serta menghitung besar dan arah resultan vektor dalam
sebuah
A.Konsep Vektor
Konsep vektor dapat ditemukan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya
seorang pilot pesawat terbang menggunakan komputer navigasi yang
dihubungkan dengan cara vektor sehingga pilot yang mengemudi tidak salah
arah atau berpindah ke tempat yang tidak diinginkan. Agar kalian dapat
memahami konsep vektor, ayo lakukan Aktivitas 1.1.
Bab 1 | Vektor 3
Aktivitas 1.1
Perhatikan peta yang ditunjukkan oleh Gambar 1.4.
Gambar 1.4 Rute terminal bis ke bandara

Ayah ingin berangkat dari terminal bis ke bandara. Jawablah

pertanyaan berikut ini.
1. Apakah bis dapat bergerak langsung dari terminal ke
bandara tanpa berbelok? Tunjukkan lintasan ini dengan
menggambarkan garis lurus dari terminal ke bandara.
2. Buat dua rute bis yang berbeda dari terminal ke bandara,
gunakan warna berbeda.
Lintasan bis tidak dapat langsung dari terminal ke bandara tetapi
perlu mengambil serangkaian jalan.
Diskusikan rute dalam Aktivitas 1.1 yang kalian sudah buat

dalam kelompok. Apakah rute kalian sama atau berbeda? Apa
yang membedakan rute yang satu dengan rute lainnya?
Kalian sepakat bahwa pemilihan rute menentukan arah dan jarak

tempuh. Mari kita tinjau rute dengan pengertian konsep vektor.
Perhatikan denah dalam Gambar 1.5.
Gambar 1.5 Penerapan konsep vektor dalam rute


Anak panah merah menyatakan rute langsung dari titik awal ke titik
akhir sedangkan anak panah biru menunjukkan rute dengan dua lintasan
yang berbeda. Setiap anak panah menyatakan suatu perpindahan dari titik
awal ke titik akhir yang berupa vektor.
Berdasarkan Aktivitas 1.1 kalian dapat membuat beberapa vektor
untuk mendapatkan rute terminal bis ke bandara.
1. Lambang dan Notasi Vektor

Besaran fisika dapat dibedakan atas besaran vektor dan besaran skalar.
Besaran vektor mempunyai nilai dan arah sedangkan besaran skalar
ha- nya mempunyai nilai saja. Vektor dinyatakan dengan anak panah.
Pan- jang anak panah menyatakan besar vektor sedangkan arahnya
dapat dinyatakan oleh sudut. Sebuah vektor digambarkan dengan anak
panah
yang memiliki pangkal dan ujung.
Gambar 1.6 Bagian-bagian dari vektor

Notasi vektor, dituliskan sebagai AB atau AB atau a atau a. Notasi

vektor dapat menggunakan satu huruf atau dua huruf.
Gambar 1.7 Vektor dan notasinya


Besar atau panjang vektor AB dituliskan AB , dapat bernilai
sebagai 0 dan selalu bernilai positif.
Hal khusus tentang vektor :

a. vektor nol yaitu vektor yang bernilai nol. Pemahaman vektor nol
diulas dalam pengurangan vektor.
b. vektor satuan yaitu vektor dengan besar 1 dan arah tertentu.
Vektor satuan diulas dalam komponen vektor.
Bab 1 | Vektor 5
Tahukah Kalian
Rute pesawat terbang merupakan rangkaian sejumlah vektor

yang dapat berbeda walaupun nampaknya pesawat terbang lurus
saja. Gambar 1.8 menunjukkan lintasan pesawat yang merupakan
kumpulan sejumlah vektor. Panjang dan arah vektor dapat berbeda-
beda selama rute perjalanan. Setiap vektor menyatakan suatu
perpindahan. Makin panjang vektor makin besar perpindahannya.
Gambar 1.8 Lintasan pesawat terbang

1. Menggambar Vektor
Kalian pasti sudah mengenal olahraga mendaki gunung atau panjat tebing
yang memerlukan tali sebagai salah satu alat untuk memperkokoh, menarik
dan menyeret. Tali juga dipergunakan untuk melindungi diri dari bahaya
kecelakaan yang mungkin terjadi. Perhatikan Gambar 1.9. Tegangan
tali dialami oleh pendaki gunung.
Bagaimana menggambar vektor
gaya tali ini? Arah vektor ditentukan
dengan sudut antara garis horizontal
dan vektor tersebut. Sudut dimulai
o
0 dari horizontal dan berputar melawan
arah jarum jam. Perhatikan arah vektor
gaya dalam Gambar 1.10.
Gambar 1.9 Tegangan tali pada pendaki gunung


o
Arah vektor P adalah 0 .
o
Arah vektor Q adalah 90 .
o
Arah vektor R adalah 225 .
Gambar 1.10 Tiga arah vektor

Lakukan Aktivitas 1.2 agar kalian terampil dalam menggambar vektor

dan mampu menentukan besar dan arah vektor.
Aktivitas 1.2
1. Gambarkan vektor dari Gambar 1.9. Gunakan busur

untuk menentukan sudut yang dibentuk oleh vektor tegangan
tali dan penggaris untuk menentukan panjang vektor.
2. Jika 1 cm mewakili 10 N tentukan besar setiap vektor gaya
dalam Gambar 1.10.
3. Gambarkan dan namakan vektor berikut.
o
a. panjang 8 cm dan arah 150
o
b. panjang 6 cm dan arah 330
Ayo, Berteknologi!
Kalian dapat menggunakan aplikasi geogebra untuk menggambar

suatu vektor. Tautan aplikasi adalah https://www.geogebra.org/.
3. Sifat-Sifat Vektor
Kalian pasti pernah mengetik meng-
gunakan keyboard baik pada kom-
puter ataupun laptop. Gambar 1.11
menunjukkan vektor-vektor medan
listrik di berbagai posisi pada pelat se-
jajar di keyboard. Vektor-vektor terse-
but sejajar dan sama panjang.
Gambar 1.11 Vektor-vektor medan listrik pada keping sejajar

Bab 1 | Vektor 7
“Dua vektor dikatakan sama jika keduanya mempunyai besar dan arah
yang sama.”
Gambar 1.12 Dua vektor yang sama

Mengapa kita dapat berjalan? Kaki mendorong lantai yang berakibat

lantai juga mendorong kaki. Makin besar dorongan kaki pada lantai maka
makin besar juga dorongan lantai pada kaki. Hukum III Newton
menyatakan bahwa gaya aksi sama besar dengan gaya reaksi tetapi
berlawanan arah. Kalian akan belajar Hukum III Newton secara
mendalam dalam bab 3. Berdasarkan Gambar 1.13, kalian dapat
melihat bahwa vektor biru sama panjang dengan vektor merah tetapi
berlawanan arah. Vektor merah merupakan negatif vektor dari vektor
biru.
Gambar 1.13 Aksi reaksi antara kaki dan tanah

“Vektor negatif sama besar tetapi berlawanan arah dengan suatu vektor”
Gambar 1.14 Vektor dan negatif vektor

Lakukan Aktivitas 1.3 agar kalian berlatih dalam menggambar

vektor yang berlawanan arah dengan suatu vektor.

Aktivitas 1.3
a. Buatlah vektor sembarang yang

panjang dan arahnya kalian
tentukan sendiri, Namakan
vektor a .
b. Gambarkan negatif vektornya.
c. Tentukan besar sudut yang
Gambar 1.15 Vektor a
dibentuk oleh negatif vektor - a .
d. Ulangi untuk vektor lainnya.
Ayo, Berteknologi!
Kalian dapat menggunakan aplikasi geogebra untuk

menggambarkan vektor dan negatifnya. Tautan aplikasi adalah
https://www.geogebra.org/.
Ayo, Cermati!
Tentukan apakah setiap pasangan vektor berikut ini
merupakan vektor dengan vektor negatifnya.
Gambar 1.16 Berbagai vektor dengan arah dan besar

berbeda
Perkalian vektor dengan suatu skalar
Perhatikan Gambar 1.17. Apa yang kalian yang dapat simpulkan?
Gambar 1.17 Berbagai vektor hasil perkalian dengan skalar

Bab 1 | Vektor 9
Perkalian suatu skalar dengan vektor dituliskan sebagai k A dengan k
dapat bernilai positif atau negatif sehingga vektor yang dihasilkan dapat
searah atau berlawanan arah.
“Dua vektor dikatakan sejajar jika searah atau berlawanan arah.”
Ayo, Cek Pemahaman!
Mengapa diperlukan konsep vektor dalam kehidupan sehari-hari?

Berikan contoh-contoh untuk mendukung penjelasanmu.
B. Representasi Vektor
Vektor direpresentasikan dengan dua cara yaitu melalui cara
penggambaran anak panah yang menyatakan besar dan arah serta dalam
komponen-komponen pembentuknya yang merupakan hasil penguraian
dari vektor tersebut. Cara pertama telah dipelajari sebelumnya sedangkan
cara kedua dipelajari dalam sub bab ini.
1. Komponen Vektor
Sebuah vektor dua dimensi dapat di-
uraikan menjadi dua buah vektor
yang saling tegak lurus. Penguraian
vektor menjadi dua komponen, yai-
tu pada sumbu x (horizontal) dan
sumbu y (vertikal). Gambar 1.18 me-
nunjukkan sebuah gaya F diproyeksikan
pada sumbu x dan sumbu y yang meng-
hasilkan Fx dan Fy. Gambar 1.18 Komponen vektor gaya
Vektor pada Sistem Koordinat Cartesius

Komponen vektor sepanjang sumbu merupakan proyeksi
vektor tersebut pada sumbu sistem koordinat
Cartesius. Komponen vektor dapat ber-
nilai negatif atau positif. Perhatikan
Gambar 1.19.
Gambar 1.19 Proyeksi vektor pada sumbu x dan sumbu y


Vektor dalam Gambar 1.19 dinyatakan sebagai F = 75 i + 50 j. Artinya
nilai komponen horizontal adalah 75 dan nilai komponen vertikal adalah 50.
Jadi, suatu vektor A dapat dituliskan sebagai berikut
A =Ax i+Ay j
(1.1)
Dengan : Ax = nilai komponen horizontal vektor A
Ay = nilai komponen vertikal vektor A
Notasi i dan j merupakan vektor satuan dalam arah horizontal dan

vertikal. Untuk vektor berdimensi tiga berlaku
A =Ax i+Ay j+Az k (1.2)
i, j dan k merupakan vektor satuan dalam arah sumbu -x, sumbu -y dan
sumbu -z.
“Sebuah vektor satuan adalah vektor tidak berdimensi yang besarnya satu dan
menunjuk ke suatu arah tertentu.”
Gambar 1.20 Vektor satuan dalam sistem koordinat Cartesius

Perhatikan vektor – vektor pada Gambar 1.21.
Gambar 1.21 Vektor-vektor yang sama dalam sistem koordinat Cartesius

Bab 1 | Vektor 11
Semuanya adalah vektor perpindahan yang sama, yaitu
d = 3i + 4j
Vektor satuan dari suatu vektor adalah vektor tersebut dibagi dengan
panjang vektor. Dengan demikian vektor satuan dari d = 3i + 4j adalah
Ayo, Berpikir
Kritis!
Apakah lokasi dalam sistem koordinat mengubah arah dan besar
suatu vektor jika vektor digeser? Mengapa demikian?
Ayo, Berdiskusi!
Buktikan bahwa setiap vektor dalam Gambar 1.19 adalah d = 3 i + 4 j

dengan cara menentukan koordinat pangkal dan ujung vektor.
2. Penguraian Vektor Berdasarkan Aturan Trigonometri

Suatu pesawat terbang terlihat berada 300 km dari suatu bandara dengan
o
arah 30 dari timur ke utara. Berapa jauh pesawat tersebut ke timur dan ke
utara dari bandara?
Masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan

trigonometri, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 1.22.
Gambar 1.22 Penguraian vektor dengan menggunakan aturan trigonometri


Komponen vektor F dalam arah sumbu x adalah Fx yang besarnya
Fx  F cos
Komponen vektor F dalam arah sumbu y adalah Fy yang besarnya
Fy  F sin
 = sudut yang dibentuk antara vektor F dan arah sumbu x positif

Sehingga jawaban dari masalah di atas adalah
Perhatikan satu masalah lain lagi.
Sebuah kapal penyelamat berada 15 km

timur dan 20 km utara dari suatu lokasi.
Berapa jarak dan arah kapal tersebut
ke lokasi? Masalah ini diselesaikan
dengan cara seperti yang ditunjukkan
oleh Gambar 1.23 Untuk besar vektor
gunakan dalil Phytagoras. Untuk arah
vektor gunakan tangen.
Gambar 1.23 Penentuan panjang dan arah

vektor
Ayo, Berteknologi!
Tinjau tautan berikut ini untuk memperkuat pemahaman tentang

penguraian vektor. Tautan adalah https://ophysics.com/k3.html.
Ayo, Cek Pemahaman!
Apa kelebihan representasi vektor sebagai anak panah? Apa kelebihan

representasi vektor yang dinyatakan dalam komponen?
Bab 1 | Vektor 13
C. Operasi Vektor
Operasi vektor terdiri atas penjumlahan dan pengurangan vektor serta perka-
lian vektor.
1. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor dengan Metode Grafis

Hasil penjumlahan atau pengurangan vektor disebut sebagai resultan vektor.
Lakukan Aktivitas 1.4 agar kalian dapat memahami resultan vektor.
Aktivitas 1.4
a. Menggambar penjumlahan vektor

Jika berjalan sejauh 6 m kemudian 8 m berapa jauh posisi akhir
dari posisi awal? Jawabannya lebih dari satu. Gambarkan kedua
vektor perpindahan dan vektor perpindahan akhir. Lengkapi Tabel
1.1 berikut ini.
Tabel 1.1 Penjumlahan Vektor Perpindahan
Perpindahan 1 Perpindahan 2 Perpindahan 3

6 m Timur 8 m Timur 14 m Timur
6 m Barat 8 m Timur
6m 8 m Timur
Utara
6 m Selatan 8 m Barat
6 m 45o dari timur 6 m 45o dari timur

ke utara ke utara
Penjumlahan dua vektor dalam Aktivitas 1.4 dilakukan dengan

menghubungkan ujung vektor pertama dengan pangkal vektor kedua.
Resultan vektor diperoleh dengan menarik anak panah dari pangkal vektor
pertama ke ujung vektor kedua.

Perhatikan Gambar 1.24 yang menunjukkan penjumlahan dua vektor
dengan menggunakan metode segitiga.
Gambar 1.24 Penjumlahan dua vektor dengan metode segitiga

Perhatikan kembali Gambar 1.5 tentang rute pada denah, yang

menunjukkan penjumlahan dua vektor dengan metode segitiga.
Ayo, Berkolaborasi!
Gambarkan resultan vektor dari A  B dan A dengan metode

B
segitiga. Pengurangan A  B dapat dituliskan .
sebagai
Gambar 1.25 Vektor A dan B

Penjumlahan dua vektor dapat juga dilakukan dengan metode

jajargenjang, yaitu mempertemukan kedua pangkal vektor pada suatu titik
kemudian menarik anak panah dari titik ini ke perpotongan proyeksi masing-
masing vektor. Perhatikan Gambar 1.26 yang menunjukkan cara
mendapatkan resultan vektor dengan metode jajargenjang.
Gambar 1.26 Penjumlahan vektor dengan metode jajargenjang

Bab 1 | Vektor 15
Ayo, Berkolaborasi!
Gambarkan resultan vektor dari u  v (Gambar 1.26) dengan metode

jajargenjang.
Bagaimana mendapatkan resultan vektor jika lebih dari dua vektor

dijumlahkan? Metode yang digunakan adalah metode poligon dengan prinsip
yang sama seperti metode segitiga. Perhatikan Gambar 1.27.
Gambar 1.27 Penjumlahan tiga vektor dengan metode poligon

Ayo, Cermati!
Jumlahkan ketiga vektor berikut dengan metode

poligon.
Gambar 1.28. Tiga vektor dengan arah dan besar

berbeda
Ayo, Berkolaborasi!
Tentukan empat vektor sembarang. Jumlahkan keempat vektor

tersebut dengan menggunakan metode poligon.
Resultan Vektor Nol

Berikut ini merupakan contoh penjumlahan vektor yang menghasilkan vektor
nol.

1. Dua vektor senilai tetapi berlawanan arah.
Gambar 1.29 Penjumlahan dua vektor yang menghasilkan vektor nol

Penjumlahan keduanya menghasilkan vektor nol.
2.
Gambar 1.30 Penjumlahan tiga buah vektor yang menghasilkan vektor nol
Penjumlahan vektor B , vektor D , dan vektor C menghasilkan vektor nol.

Hasil penjumlahan vektor B dan C merupakan vektor negatif dari D .
“Vektor nol adalah vektor yang pangkal dan ujung vektornya berhimpit.
Vektor nol mempunyai panjang nol dan arahnya tidak tentu.”
2. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor dengan

Metode Analitis
Berbeda dengan metode sebelumnya yang memerlukan penggaris dan
busur untuk menentukan resultan vektor maka metode analitis
memerlukan penguasaan trigonometri untuk menyelesaikannya.
Lakukan Aktivitas 1.5 berikut ini untuk memahami hal tersebut.
Aktivitas 1.5
Bapak berjalan 80 m ke timur kemudian 60 m ke utara (perpindahan

pertama) lalu berjalan 120 m ke timur dan 90 m ke utara
(perpindahan kedua). Gambarkan kedua perpindahan pada kertas
berpetak. Tentukan :
Bab 1 | Vektor 17
a. komponen horizontal dan komponen vertikal
dari perpindahan total.
b. besar dan arah perpindahan total.
Penyelesaian penjumlahan vektor secara analitis (dengan penjumlahan

komponen) ditunjukkan dalam gambar berikut ini.
Gambar 1.31 Penjumlahan komponen vektor

Besar setiap komponen vektor pada sumbu x dan pada sumbu y

diberikan oleh
Fx= F cos α dan Fy= F sin α
Besar resultan vektor pada sumbu x dan sumbu y adalah:
FRx = ∑ Fx = F1x +
F2x FRy = ∑ Fy = F1y
+ F2y
Besar dan arah resultan vektor adalah:

FR 
dan tan  
(1.3)
F  FRy Fy
2
Rx
2 Fx
Jika terdapat lebih dari dua vektor maka besar resultan vektor pada
sumbu x dan sumbu y adalah:
FRx = ∑ Fx = F1x + F2x +

(1.4)
F3x+... FRy = ∑ Fy = F1y + F2y
(1.5)
+ F3y+...
3.Penentuan Resultan Vektor dengan Menggunakan
Rumus Kosinus
Perhatikan kembali Gambar 1.26, besar resultan dari dua buah vektor
F1 dan F2 yang membentuk sudut apit α dapat dihitung dengan
persamaan berikut.
FR 
F12  F22  2F1 F2 cos (1.6)
Dengan : FR = besar resultan dari dua vektor,

F1 = besar vektor pertama,
F2 = besar vektor kedua dan
α = sudut apit antara kedua vektor
4.Penentuan Arah Resultan Vektor dengan

Menggunakan Rumus Sinus
Jika dengan rumus kosinus diperoleh besar resultan penjumlahan dua vek-
tor maka untuk menentukan arah dari vektor resultan terhadap salah satu
vektor komponennya dapat digunakan persamaan sinus. Perhatikan Gam-
bar 1.32.
Gambar 1.32 Penentuan arah vektor resultan dengan rumus sinus

Sudut antara vektor F1 dan F2 adalah α. Sudut antara vektor resultan

(R) dengan vektor F2 adalah β, sedangkan sudut antara resultan (R) dan
vektor F1 adalah α - β. Secara matematis persamaan ini dapat ditulis
sebagai berikut.
R F2 F1
 
sin  sin(   ) sin  (1.7)
F
sin   1 sin 
R
Aktivitas 1.6
Ayo, Berteknologi!
Lakukanlah percobaan berikut ini secara berkelompok untuk
menentukan resultan dua vektor gaya sebidang dengan metode
jajargenjang dan penggunaan rumus kosinus.
A. Persiapan Percobaan
1. Siapkan beban, busur derajat, benang kasur, neraca pegas,
pengait, statif, dan kertas berpetak. Susun rangkaian
percobaan seperti pada Gambar 1.33.
Bab 1 | Vektor 19
Aktivitas 1.6
Gambar 1.33 Rangkaian percobaan penjumlahan vektor.

2. Siapkan busur derajat yang dilapisi kertas untuk

mengukur sudut yang terbentuk diantara dua neraca
pegas.
3. Ukur berat beban dengan neraca pegas, dan catat hasilnya
pada tabel pengamatan.
4. Ikatlah beban dengan benang kasur dan buatlah simpul
agar dapat diikatkan pada dua neraca pegas yang tergantung
pada masing-masing statif.
5. Gantungkan beban pada neraca pegas seperti pada Gambar
1.33.
6. Geser dasar statif agar kedua neraca pegas membentuk sudut
apit 60o dengan menggunakan busur derajat. Catat besar
sudut apit pada tabel pengamatan.
7. Baca gaya F1 dan F2 pada masing-masing neraca pegas dan
catat pada tabel pengamatan.
8. Gambarkan kedua vektor gaya F1 dan F2 (panjang garis
sebanding dengan besar masing-masing gaya) dengan sudut
o
apit 60 pada kertas yang sudah disiapkan. Tentukan resultan
gaya dengan menggunakan metode jajargenjang. Ukur
panjang resultan gaya dan tentukan besarnya yang
bersesuaian dengan panjangnya. Isikan pada tabel
pengamatan.
9. Tentukan nilai resultan gaya dengan menggunakan rumus
cosinus dan isikan dalam tabel pengamatan
10. Ulangi langkah 4 sampai dengan 9 untuk sudut apit 90o dan
120o.

Tabel 1.2 Penjumlahan Vektor Gaya dengan Sudut Apit yang Berubah
Resultan Resultan
Gaya Gaya
Berat dengan dengan
Beban Metode Rumus
NO α (o ) F1 (N) F2 (N) Jajargenjang Cosinus
(N) (N) (N)
1.
2.
3.
4.
B. Pertanyaan dan Tugas:

1. Apakah hasil yang sama diperoleh baik dengan cara metode
jajargenjang maupun dengan menggunakan rumus cosinus?
Jika berbeda, menurut kalian, cara mana yang memberikan
hasil lebih akurat?
2. Bagaimana hubungan antara berat beban dengan resultan
gaya?
3. Bagaimana pengaruh bertambahnya sudut apit antara
dua pegas terhadap resultan vektor gaya yang terbentuk?
Mengapa demikian?
4. Diskusikan hasil percobaan dan ambillah kesimpulan dari
percobaan yang telah dilakukan.
Aktivitas 1.7
Ayo, Berteknologi!
Rancanglah suatu percobaan untuk menentukan penjumlahan vektor
gaya dengan mengubah nilai beban, dimulai dari satu beban hingga
tiga beban. Setiap beban bermassa sama. Perhatikan, bahwa sudut
apit dibuat tetap yaitu sebesar 90o. Buatlah tabel pengamatan.
A. Pertanyaan dan Tugas:

1. Berdasarkan percobaan, bagaimana pengaruh jumlah beban
yang bertambah dengan sudut apit tetap terhadap resultan vektor
gaya yang terbentuk?
2. Diskusikan hasil percobaan dalam kelompok dan ambillah
kesimpulan dari percobaan yang telah dilakukan.
Bab 1 | Vektor 21
5. Perkalian Vektor
Kalian akan membedakan dua jenis perkalian vektor dalam Aktivitas 1.8, yaitu
perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product).
Aktivitas 1.8
Sediakan pensil untuk melakukan aktivitas ini.

1. Geserlah pensil dengan mendorong pusat massa pensil ke depan.
2. Doronglah ujung kanan atau kiri pensil dengan jarimu, dapat ke
depan atau belakang. Amati apa yang terjadi dengan pensil.
3. Tempatkan jari beberapa cm sebelum ujung pensil dan
doronglah pensil. Amati apa yang terjadi dengan pensil.
Bandingkan dengan langkah 2.
Ketika kalian mendorong pensil pada pusat massa maka kalian

sedang memberikan usaha pada pensil. Makin besar gaya yang diberikan
dan perpindahan yang dialami oleh pensil maka makin besar usaha yang
diterima oleh pensil. Usaha merupakan perkalian gaya dan perpindahan.
Mendorong ujung pensil menyebabkan pensil berputar. Arah putaran
bergantung pada arah dorongan. Penempatan jari pada pensil
memengaruhi putaran. Makin jauh dari sumbu putar makin mudah
putarannya. Torsi atau momen gaya bekerja pada pensil sehingga pensil
yang diam menjadi berputar.
Apakah perbedaan antara usaha dan momen gaya? Perhatikan Gambar
1.34 berikut ini.
Gambar 1.34 Usaha pada lemari dan momen gaya pada pintu

Usaha melibatkan gaya dan perpindahan, sedangkan momen gaya
melibatkan gaya dan lengan gaya. Usaha dan torsi mempunyai dimensi yang
sama. Usaha memerlukan gaya dan perpindahan yang sejajar sedangkan
momen gaya memerlukan gaya yang tegak lurus terhadap perpindahan.
Usaha melibatkan perkalian dua vektor yang menghasilkan skalar,

disebut sebagai dot product. Bandingkan dengan momen gaya yang
melibatkan perkalian dua vektor yang menghasilkan vektor, disebut sebagai
cross product. Momen gaya adalah vektor karena arahnya dapat searah
jarum jam atau berlawanan dengan arah jarum jam.

Usaha, W  F   Fr cos
(1.8)
 r 
Momen gaya,  r F  Fr sin 
(1.9)
ˆ
Momen gaya akan dibahas lebih mendalam pada Bab

3.
Apakah perkalian skalar dari dua vektor dapat menghasilkan nilai

negatif?
Ayo, Cek Pemahaman!
Empat gaya bekerja pada suatu pesawat sebagaimana yang

ditunjukkan dalam diagram vektor di bawah ini. Gambarkan vektor
resultan gaya dan tentukan arah dan besarnya.
Gambar 1.35 Empat gaya pada pesawat

terbang
Bab 1 | Vektor 23
Intisari
Vektor merupakan suatu besaran yang dilambangkan dengan anak

panah. Vektor yang sama mempunyai arah dan besar yang sama.
Vektor negatif mempunyai besar yang sama dan arah berlawanan
dengan suatu vektor. Vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar
untuk mengubah besar dan arah vektor tersebut. sehingga dapat
searah atau berlawanan arah.
Ada dua cara untuk merepresentasikan vektor, sebagai anak
panah dan dengan menggunakan komponen-komponen. Operasi
vektor terdiri atas penjumlahan, pengurangan dan perkalian vektor.
Refleksi
1. Bagaimanakah kalian dapat mengaplikasikan konsep vektor

dalam kehidupan sehari-hari?
2. Bagaimanakah kalian bisa membedakan operasi vektor dan
operasi skalar?
Asesmen
1. Besaran-besaran mana yang merupakan vektor? Jelaskan.
a. Percepatan merupakan perubahan kecepatan terhadap waktu.

b. Tekanan merupakan perbandingan gaya terhadap luas suatu
luas permukaan.
2. Peta berikut ini menunjukkan pergerakan lempeng tektonik. Pada kerak

bumi terdapat lempeng-lempeng tektonik. Pergerakan lempeng tektonik
menyebabkan dua lempeng dapat bertemu dan bertumbukan. Gempa
bumi terjadi karena tumbukan kedua lempeng. Kedua lempeng dapat
bergerak saling berjauhan, saling mendekati atau bergerak bersisian.
a. Mengapa informasi arah gerak lempeng sangat diperlukan?

Sumber data : NASA Goddard Space Flight Center Scientific Visualization Studio
b. Cari informasi dan tuliskan cara para ahli menentukan besar dan
arah kecepatan lempeng.
c. Apakah kalian menemukan vektor-vektor yang sama?
d. Apakah kalian menemukan pasangan vektor yang merupakan vektor
dan negatifnya?
e. Apakah kalian menemukan vektor dengan arah yang sama
tetapi besar berbeda?
3. Struktur suatu jembatan rangka baja diberikan oleh gambar berikut.

Struktur ini dinamakan Warren truss karena ditemukan oleh James
Warren (1806 - 1908) yang berasal dari Inggris.
Gambarkan vektor resultan gaya dari

a. FDO dan FDA.
b. FAD dan FAC.
Bab 1 | Vektor 25
4. Seorang pendaki melakukan perjalanan dan berjalan sejauh 25
km ke arah tenggara dari arah basecamp, setelah sampai
berjalan sejauh 25 km sang pendaki istirahat dan membuat
o
tenda, hari kedua dia berjalan sejauh 40 km dengan arah 60
dari arah tendanya menuju tempat tujuan, tentukan
perpindahan perjalanan pendaki selama dua hari dari
basecamp sampai ke tujuan!

o
5. Pesawat terbang dengan kecepatan 200 m/s dan arah 30
terhadap timur. Angin bertiup dengan kecepatan 20 m/s dan
o
arah 60 terhadap timur.
Tentukan resultan kecepatan dengan
a. metode segitiga
b. metode analitis
c. menggunakan rumus kosinus

Bahan Ajar Vektor

Diunggah oleh

Hak Cipta:

Format Tersedia

Bahan Ajar Vektor

Diunggah oleh

Informasi Dokumen

Judul Asli

Hak Cipta

Format Tersedia

Bagikan dokumen Ini

Bagikan atau Tanam Dokumen

Opsi Berbagi

Apakah menurut Anda dokumen ini bermanfaat?

Apakah konten ini tidak pantas?

Hak Cipta:

Format Tersedia

Bahan Ajar Vektor

Diunggah oleh

Hak Cipta:

Format Tersedia

VEKTOR

“Hal yang paling penting adalah jangan pernah berhenti bertanya.

Sumber: Ignacio Pales dan Dids/Pexels.com (2019)

Konsep Representasi Operasi

Pengurangan Perkalian Titik

Kalian sering menyaksikan berbagai kegiatan yang berhubungan dengan

Gambar 1.1 Arah medan magnet dan konsep pembuatan game

2 Fisika untuk SMA/MA Kelas XI

Gambar 1.2 Penerjun payung mendarat melenceng

Gambar 1.3 menunjukkan beberapa kabel menopang suatu jembatan.

Gambar 1.3 Beberapa kabel menopang suatu jembatan

Ayo, Berpikir Kritis!

Bagaimana cara menggambar vektor, resultan vektor, komponen

Perhatikan peta yang ditunjukkan oleh Gambar 1.4.

Gambar 1.4 Rute terminal bis ke bandara

Ayah ingin berangkat dari terminal bis ke bandara. Jawablah

Ayo, Berpikir Kritis!

Diskusikan rute dalam Aktivitas 1.1 yang kalian sudah buat

Kalian sepakat bahwa pemilihan rute menentukan arah dan jarak

Gambar 1.5 Penerapan konsep vektor dalam rute

4 Fisika untuk SMA/MA Kelas XI

1. Lambang dan Notasi Vektor

Gambar 1.6 Bagian-bagian dari vektor

Notasi vektor, dituliskan sebagai AB atau AB atau a atau a. Notasi

Gambar 1.7 Vektor dan notasinya

Hal khusus tentang vektor :

Rute pesawat terbang merupakan rangkaian sejumlah vektor

Gambar 1.8 Lintasan pesawat terbang

Gambar 1.9 Tegangan tali pada pendaki gunung

6 Fisika untuk SMA/MA Kelas XI

Gambar 1.10 Tiga arah vektor

Lakukan Aktivitas 1.2 agar kalian terampil dalam menggambar vektor

1. Gambarkan vektor dari Gambar 1.9. Gunakan busur

Kalian dapat menggunakan aplikasi geogebra untuk menggambar

Gambar 1.11 Vektor-vektor medan listrik pada keping sejajar

Gambar 1.12 Dua vektor yang sama

Mengapa kita dapat berjalan? Kaki mendorong lantai yang berakibat

Gambar 1.13 Aksi reaksi antara kaki dan tanah

Gambar 1.14 Vektor dan negatif vektor

Lakukan Aktivitas 1.3 agar kalian berlatih dalam menggambar

8 Fisika untuk SMA/MA Kelas XI

a. Buatlah vektor sembarang yang

Kalian dapat menggunakan aplikasi geogebra untuk

Gambar 1.16 Berbagai vektor dengan arah dan besar

Perkalian vektor dengan suatu skalar

Perhatikan Gambar 1.17. Apa yang kalian yang dapat simpulkan?

Gambar 1.17 Berbagai vektor hasil perkalian dengan skalar

Ayo, Cek Pemahaman!

Mengapa diperlukan konsep vektor dalam kehidupan sehari-hari?

Vektor pada Sistem Koordinat Cartesius

Gambar 1.19 Proyeksi vektor pada sumbu x dan sumbu y

10 Fisika untuk SMA/MA Kelas XI

Notasi i dan j merupakan vektor satuan dalam arah horizontal dan

A =Ax i+Ay j+Az k (1.2)

Gambar 1.20 Vektor satuan dalam sistem koordinat Cartesius

Perhatikan vektor – vektor pada Gambar 1.21.

Gambar 1.21 Vektor-vektor yang sama dalam sistem koordinat Cartesius

Buktikan bahwa setiap vektor dalam Gambar 1.19 adalah d = 3 i + 4 j

2. Penguraian Vektor Berdasarkan Aturan Trigonometri