FMIPA - ITB. MA1101 Matematika 1A.

Tutorial Bab 0 : Pendahuluan

Semester 1, 2021-2022 Halaman: 1

1. Telaah konsep 7. Carilah persamaan lingkaran yang memenuhi kon-

disi yang diberikan berikut:
(a) Jarak dari x ke 8 pada garis bilangan real
adalah 4. Nilai x yang mungkin adalah . (a) Memiliki pusat (2, −3) dan jari-jari 3.
(b) Jarak dari x ke 8 pada garis bilangan real ku- (b) Memiliki pusat (−2, 1) dan melalui (2, −2).
rang dari 0.01. Nilai x yang mungkin adalah (c) Memiliki diameter AB dengan A = (−3, 2)
. dan B = (5, 8).
(c) Solusi pertidaksamaan |x + 3| < 2 adalah 8. Tentukan daerah asal dari fungsi berikut.
.
(a) f (x) = x2 + |x| + 2 1
(d) Penulisan {x ∈ R : −2 < x ≤ 3} dalam notasi (c) f (x) = √
1 − x2
interval adalah . √
1 5 − 2x
(e) Grafik fungsi ganjil yang memuat titik (b) f (x) = (d) f (x) =
x3 − 4x x
(−2, 10) juga akan memuat titik .
(f) Jika f fungsi genap yang memenuhi f (x) = 9. Tentukan daerah hasil dari fungsi berikut.
√
x untuk x ≥ 0, maka nilai f (−1) = . 1
(a) f (x) = x + 5. (d) h(x) = .
(g) Titik potong grafik f (x) = x2 (x + 1)(x − 2x − 3
(b) g(x) = 4x2 + 1.
2) dengan sumbu-sumbu koordinat adalah √ |x|
. (c) k(x) = 4 − x2 . (e) h(x) = .
x
(h) Grafik fungsi f (x + 2) diperoleh dari grafik
10. Suatu segitiga siku-siku memiliki panjang sisi mir-
f (x) yang digeser sejauh ke arah .
ing 10 dan panjang sisi terpendek x. Tentukan luas
(i) Jika θ adalah sudut terkecil yang dibentuk A(x) dari segitiga tersebut (sebagai fungsi dari x).
oleh sumbu-x positif dan grafik f (x) = 2x, dan tentukan daerah asal dari A(x).
maka tan θ = .
11. Misalkan f (x) = x − 1, g(x) = 2x, dan h(x) = x3 .
2. Berikan contoh bilangan real diantara dua bilangan Tentukan fungsi komposisi berikut.
berikut:
1 1 22 (a) (f ◦ g)(x) (c) (g ◦ g)(x).
(a) dan (b) π dan
10 8 7 (b) (g ◦ f )(x) (d) (f ◦ g ◦ h)(x)
3. Selesaikan pertidaksamaan berikut. √
12. Misalkan f (x) = x − 3 dan g(x) = 4x2 + 3.
(a) 4x − 8 ≥ x + 7 x2 − 5
(d) >1 (a) Tentukan daerah asal f dan g.
(b) 2x2 + 7x < 4 x2 − 4x + 3
(b) Tentukan daerah asal f + g, g/f , f ◦ g, dan
3x 1 2
(c) ≤2 (e) ≤ 2 . g ◦ f.
x+1 2x x +4
(c) Gambarkan grafik fungsi f ◦ g dan g ◦ f.
4. Selesaikan pertidaksamaan berikut. 13. Misalkan fungsi f memiliki daerah asal R dan
f (x − 2) = x2 + 3x. Tentukan f (x).
(a) |3x − 5| ≤ 1 (d) |x − 5| ≥ 2|x − 1|
(b) |2x − 1| > 2 14. Diberikan grafik fungsi f sebagai berikut
   
 2 13  5  1  y
(c) x −  <
 (e) 
 + 2 ≤ 1 3
2 2 x−1
2
5. Tulis masing-masing persamaan garis yang
memenuhi kondisi berikut: 1
(a) Melalui (−1, 2) dan (2, 8).
(b) Melalui (3, 2) dan memiliki kemiringan −2. −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 x

(c) Melalui (2, −1) dan sejajar garis 3y = 2x + 1. −1

(d) Melalui (2, 5) dan tegak lurus dengan garis Gunakan grafik tersebut untuk membuat sketsa
5x + 2y = 7. grafik fungsi g berikut.
6. Tentukan suatu persamaan linear yang menun- (a) g(x) = f (x + 2) (d) g(x) = f (−x)
jukkan hubungan antara suhu dalam derajat Cel-
cius C dan derajat Fahrenheit F . Gunakan fakta (b) g(x) = f (x) + 1 (e) g(x) = 2f (x)
bahwa air membeku pada 0◦ C (32◦ F ) dan men- (c) g(x) = −f (x) (f) g(x) = f (2x)
didih pada 100◦ C(212◦ F ). Gunakan persamaan
tersebut untuk mengubah 122◦ F ke dalam derajat 15. Sketsakan grafik fungsi berikut, kemudian tentukan
Celcius. daerah hasilnya.

1
FMIPA - ITB. MA1101 Matematika 1A. Tutorial Bab 0 : Pendahuluan
Semester 1, 2021-2022 Halaman: 2

(
x + 2, x<0 (a) Tentukan persamaan garis l2 .
(a) f (x) =
−2x + 2, x ≥ 0 (b) Tentukan titik potong garis l1 dan l2 .
(√
x + 2, x≤2 (c) Tentukan jarak dari titik P ke garis l1 .
(b) g(x) = 2
2 + (x − 2) , x > 2
24. (a) Buat sketsa grafik fungsi f (x) = |2x − 5| dan
(c) h(x) = [[ 2x + 1 ]]
g(x) = |x| − 1 pada satu bidang koordinat.
16. Lengkapi tabel berikut. Isikan dengan TD jika nilai (b) Dari gambar pada bagian (a), tentukan semua
fungsinya tidak terdefinisi. x yang memenuhi |2x − 5| > |x| − 1.
π π π π 2π 3π 5π
θ 0 6 4 3 2 3 4 6 π (c) Berdasarkan jawaban bagian (b), tentukan se-
sin θ mua x yang memenuhi |2x − 5| ≤ |x| − 1.
cos θ
tan θ 25. Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut
sec θ benar.

17. Periksa kebenaran bahwa yang berikut adalah (a) |x| ≤ 3 =⇒ |x2 + 2x + 5| ≤ 20.
identitas (ketika masing-masing ekspresi terdefin- 1 1
isi). (b) |x| ≤ 3 =⇒ ≤ .
|x + 7| 4
(a) sin2 t cos5 t = sin2 t · (1 − sin2 t)2 cos t
 2 
 x + 2x + 5 
(c) |x| ≤ 3 =⇒ 
  ≤ 5.
3 1 1 x+7 
(b) cos4 x = + cos(2x) + cos(4x)
8 2  6 π
√ 26. Dari hasil pengukuran, diperkirakan rusuk sebuah
(c) sin x + cos x = 2 sin x +
4 kubus adalah sekitar 4 cm. Jika δ adalah toleransi
sin(8x) ketelitian dalam pengukuran tersebut, tentukan ni-
(d) sin(4x) sin(2x) sin(x) =
8 cos x lai δ agar galat dari penghitungan luas permukaan
18. Sketsakan grafik-grafik berikut pada [−π, 2π]. kubus dijamin kurang dari 0, 3 cm2 .

(a) y = 1 + cos(x − π) (c) y = | sin(2x)| 27. Diberikan titik P (2, 4) pada kurva y = x2 . Titik

x−π
 lain Q juga terletak pada kurva tersebut. Nyatakan
(b) y = tan (d) y = sin x + cos x kemiringan garis P Q sebagai fungsi dalam absis
2
titik Q, lalu sketsa grafik dari fungsi kemiringan
19. Periksa yang mana diantara berikut yang meru- tersebut.
pakan fungsi ganjil, genap atau bukan keduanya
28. Misalkan A(1, 0) dan B dua titik pada lingkaran
(a) f (x) = x2 cos x (c) f (t) = |2t| x2 + y 2 = 1, seperti pada gambar berikut.
(b) f (t) = csc t (d) f (x) = x2 − x + 1 y

20. Suatu fungsi f dengan daerah asal (−∞, ∞) adalah

B
fungsi periodik dengan periode 2 dan memenuhi
f (x) = x2 untuk −1 < x ≤ 1. Gambarkan grafik
fungsi tersebut. Tentukan nilai f (100) dan f (111).
O C A x
21. Sebuah kaleng tertutup berbentuk tabung memiliki
luas permukaan 300 cm2 . Nyatakan volume kaleng
tersebut sebagai fungsi dari jari-jari alas dan ten-
tukan daerah asal fungsi tersebut.
22. Suatu wadah berbentuk kerucut terbalik memiliki
jari-jari (bagian atas) 10 cm dan tinggi 20 cm. Titik C adalah proyeksi tegak lurus dari titik B
Jika wadah tersebut berisi air sebanyak V cm3 , ke sumbu-x. Diketahui bahwa panjang busur AB
tentukan tinggi air dalam wadah tersebut (sebagai adalah t.
fungsi dalam V ).
(a) Tentukan panjang segmen BC dan OC.
23. Misalkan l1 garis dengan persamaan 2x − 5y = 1
(b) Tentukan luas juring OAB.
dan l2 garis yang melalui titik P (−1, 11) dan tegak
lurus dengan l1 . (c) Bandingkan panjang segmen AB dengan t.

2
FMIPA - ITB. MA1101 Matematika 1A. Tutorial Bab 1 : Limit
Semester 1, 2021-2022 Halaman: 1

1. Telaah konsep. 4. Tentukan nilai dari lim f (x) (jika ada) untuk fungsi
x→0
f yang grafiknya diberikan pada gambar berikut.
x−4
(a) Fungsi f (x) = tidak terdefinisi di
x2 − 16
x = 4, tapi lim f (x) = .
x→4

(b) Jika lim f (x) = 1 dan lim f (x) = 2, dapat

x→1+ x→1−
disimpulkan bahwa .
(c) Jika |x − 1| < , maka |5x − 5| < .
(d) Menurut definisi limit, arti dari lim x2 = 4
x→2
adalah  > 0, terdapat δ > 0 sehingga
mengakibatkan . 5. Gunakan grafik fungsi f berikut untuk menentukan
1
suatu δ > 0 sehingga kondisi 0 < |x − | < δ
(e) Jika lim f (x) = 2, maka 2
x→0 1
lim (x2 + 2)f (x) = dan menjamin |f (x) − 1| <
x→0 5
x+1
lim = . y
x→0 f (x)

(f) Garis x = 1 bukan asimtot tegak dari fungsi

x−1
f (x) = 2 karena . 6
x −1 5
1
(g) Jika lim f (x) = 2, maka salah satu asimtot 4
x→∞
5
dari f adalah garis .
(h) Jika f (c) = 1 dan lim f (t) = 1, maka f
t→c
di c.
(i) Misalkan f kontinu dimana-mana kecuali di 1 1 3 x
3 2 4
x = 1 dan lim f (x) = 3. Agar f menjadi
x→1
fungsi yang kontinu di x = 1, fungsi f didefin-
isikan ulang di x = 1 dengan f (1) = . 6. Tunjukkan bahwa pernyataan berikut benar.
(j) Diketahui f kontinu pada [a, b]. Jika f (a) < 0
(a) 0 < |x − 4| < 0,033 =⇒ |3x − 12| < 0,1
dan f (b) > 0, maka berdasarkan Teorema √
Nilai Antara, terdapat c ∈ sehingga (b) 0 < |x − 9| < 0,3 =⇒ | x − 3| < 0,1
. (c) 0 < |x − 4| < 0,01 =⇒ |x2 − 16| < 0,1
1 − cos x 7. Misalkan untuk setiap ε > 0 berlaku pernyataan
2. Misalkan f (x) = . Gunakan alat bantu
x2 berikut:
hitung untuk melengkapi tabel berikut. Dari tabel
Kondisi 0 < |x − 1| < 3ε menjamin |f (x) + 2| < ε.
tersebut buatlah dugaan nilai dari lim f (x).
x→0
(a) Limit fungsi apakah yang dideskripsikan oleh
x -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1 pernyataan di atas?
f (x)
(b) Tentukan suatu δ > 0 yang memenuhi:
jika 0 < |x − 1| < δ maka |2f (x) + 4| < 0,001.
3. Hitunglah nilai limit berikut (jika ada) jika
grafik fungsi f seperti terlihat dibawah ini. (c) Tentukan suatu δ > 0 yang memenuhi:
y jika 0 < |x − 1| < δ maka |f (x) + 2x| < 0,001.
3 •
8. Misalkan lim f (x) = 1 dan lim g(x) = −1. Hi-
x→0 x→0
2 ◦ tunglah

(a) lim (2f (x) + g(x)) g(x)

1 • x→0 (c) lim
f (x) − x + 1
x→0
p
◦ (b) lim (x + 2)g(x) (d) lim f (x)2 − 8g(x)
x→0 x→0
−2 −1 0 1 2 3 4 x
−1 9. Hitunglah

(a) lim (x2 − x + 1) u2 − 9

x→−1 (c) lim
(a) lim f (x) (c) lim f (x) u→3 u − 3
x→1 x→2  
p 1 1
(b) lim f (x) (d) lim f (x) (b) lim 2y + 7 (d) lim − .
x→2+ x→∞ y→1 t→0 t t(t + 1)2

1
FMIPA - ITB. MA1101 Matematika 1A. Tutorial Bab 1 : Limit
Semester 1, 2021-2022 Halaman: 2

10. Jelaskan mengapa limit-limit berikut tidak ada. 17. Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x = 2.
1 x2 − x − 2
(a) lim (c) lim x3 − cos x
x→1 x − 1 x→2 |x − 2| (a) f (x) = .
√ x−1
x4 + x2 [[ x ]] + 1  2
(b) lim (d) lim x − 4
x→0 2x x→1 x + 1 , x 6= 2
(b) h(x) = x − 2
5, x = 2.

11. (a) Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan
 real
1
x 6= 0 berlaku −|x| ≤ x sin ≤ |x| dan 18. Tentukan semua bilangan real di mana fungsi f
x
 
1 berikut tidak kontinu. Dapatkah kita mendefin-
−x2 ≤ x2 cos ≤ x2 . isikan nilai fungsi di titik tersebut agar fungsinya
x
menjadi kontinu?
(b) Gunakan ketaksamaan pada bagian (a)
dan Teorema
  Apit untuk  menentukan x2 + x sin 3x
1 1 (a) f (x) = (c) f (x) =
lim x sin dan lim x2 cos . x2
− 4x − 5 x
x→0 x x→0 x  
2 x−1 2 1
(b) f (x) = + 2 (d) f (x) = cos
12. Hitunglah x x −1 x
sin 3x tan(4θ − π)
(a) lim (d) lim 19. Tentukan konstanta a sehingga fungsi
x→0 2x θ→π/4 sin(θ − π/4)
sin3 x 1 − tan t (
(b) lim (e) lim 2x2 + a, x < 3
x→0 2x2 t→π/4 sin t − cos t f (x) =
ax + 4, x ≥ 3
cos(2x) − 1 sec2 x − 1
(c) lim (f) lim .
x→0 2x sin(2x) x→0 3x2 kontinu di setiap bilangan real.
13. Hitung limit berikut. 20. Tentukan konstanta a dan b sehingga fungsi
√
2x + 1 1−2 x
(a) lim 1 − cos t

x→∞ 3x + 5
(d) lim √ , t≤0
x→∞ 2 + x


 t
t2 + 5t √ g(t) = at − t + b, 0 < t ≤ 2
2
(b) lim 3 9x2 + x + 1 
t→−∞ t + 7 (e) lim . 

t + a, x>2
x→∞ 2x + 1
x + 4x2
(c) lim (f) lim 2 sin(3t)
x→−∞ 7 + 5x t→∞ kontinu di setiap bilangan real.

14. Periksa apakah limit berikut menghasilkan +∞ 21. Gunakan Teorema Nilai Antara untuk menun-
atau −∞. jukkan bahwa persamaan x8 + 11x2 − 10 = 0 mem-
x punyai setidaknya satu akar pada interval [0, 1]
(a) lim x2 − x − 3
x→2+ x−2 (d) lim
x→1+ x−1 22. Buktikan bahwa terdapat c ∈ [0, π/2] yang
t2 2
t − 2t − 3 memenuhi cos(c) = 2c
(b) lim 2 (e) lim
t→4− t − 16 t→3+ t2 − 9
θ2 1+θ 23. Hitung limit berikut dengan Teorema Apit.
(c) lim (f) lim
θ→π − 1 + cos θ θ→0− tan θ
1 + 100 sin(x) [[ x ]] + 1
(a) lim . (b) lim .
15. Hitunglah limit-limit berikut x→−∞ x x→∞ x + 1

 
1 1 |x|
(a) lim − (d) lim Petunjuk: Untuk soal (b), gunakan ketaksamaan
x→∞ x x−1 x→0− x x − 1 < [[ x ]] ≤ x
t + |t| sin θ + cos θ
(b) lim . (e) lim √
t→−∞ t − 2|t| θ→∞ θ ax + 1 − b 5
1
24. Tentukan nilai a dan b agar lim = .
3t + 2 Jx + 2 K x→3 x−3 8
(c) lim √ (f) lim .
t→−∞ 2
16t + 4t x→0 x 25. Tentukan suatu interval dengan panjang 1/4 yang
16. Tentukan asimtot datar dan asimtot tegak dari memuat solusi dari persamaan x3 + 2x + 1 = 0.
grafik fungsi berikut.
26. Tunjukkan bahwa pernyataan berikut benar.
x2 3x + sin x √
(a) h(x) = (c) p(x) = (a) 0 < |x − 9| < 3ε =⇒ | x − 3| < ε
4 − x2 2x  
4x n εo  1 1
x−1
(b) k(x) = 2 (d) q(x) = √ (b) 0 < |x − 3| < min 1, =⇒  −  < ε.

x − 5x + 4 16x2 + 1 6 x 3

2
FMIPA - ITB. MA1101 Matematika 1A. Tutorial Bab 2 Bagian I: Turunan
Semester 1, 2021-2022 Halaman: 1

1. Telaah konsep 6. Diberikan sebuah fungsi dengan grafik sebagai

berikut.
(a) Kemiringan garis singgung dari grafik fungsi
f di titik (c, f (c)) diberikan oleh lim .
h→0
(b) Kecepatan sesaat gerak partikel di sepanjang
suatu garis pada waktu c adalah limit dari
pada interval waktu antara c dan c + h
ketika h mendekati nol. Tiga titik A, B, C terletak pada grafik fungsi, dan
(c) Turunan dari f di x = a (jika ada) adalah pembesaran grafik fungsi di sekitar tiga titik terse-
f 0 (a) = . but adalah sebagai berikut.
(d) Jika f mempunyai turunan di c, maka
lim f (x) = , atau dengan kata lain, f
x→c
di c.
(e) Contoh fungsi f (x) yang kontinu di x = 1,
tapi tidak tidak mempunyai turunan di x = 1
adalah f (x) = .
Perkirakan kemiringan garis singgung grafik fungsi
f (x)
(f) Misalkan p(x) = f (x)g(x) dan q(x) = . di titik A, B, C.
g(x)
Dengan menggunakan aturan turunan, kita
peroleh p0 (x) = dan q 0 (x) = . 7. Pasangkan grafik fungsi f (x) berikut (a-f) dengan
d d grafik f 0 (x) (A-F)
(g) sin x = dan cos x = .
dx dx
(h) Banyaknya garis singgung dari f (x) = sin x
yang sejajar dengan sumbu-x adalah .

2. Hitung f 0 (a) dengan menggunakan kedua definisi

turunan:
f (a + h) − f (a)
(i) f 0 (a) = lim dan
h→0 h
f (x) − f (a)
(ii) f 0 (a) = lim
x→a x−a
untuk fungsi-fungsi f dan nilai a berikut.

(a) f (x) = 2x − 5 dan a = −1

(b) f (x) = x2 + x dan a = 2.
3 3
(c) f (x) = dan a = .
x 2
3. Tentukan turunan fungsi berikut dengan menggu-
nakan definisi turunan.
√
(a) f (x) = 4 (c) f (x) = 5x + 2
(b) f (x) = 3x − 7 (d) f (x) = cos(2x).

4. Limit berikut menyatakan turunan dari fungsi f di

titik a. Tentukan f dan a yang sesuai.

x7 − 1 5
(3+h)2
− 5
9
(a) lim (d) lim
x→1 x − 1 h→0 h
√
x−3 sin(7h)
(b) lim (e) lim
x→9 x − 9 h→0 h
8. Periksa apakah fungsi berikut mempunyai turunan
x2 + 2x (1 + h)2 − (1 + h)
(c) lim (f) lim di x = a dengan meninjau limit kiri dan kanan
x→−2 x + 2 h→0 h pada definisi turunan.
5. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 80 meter.
Ketinggian bola (meter) sebagai fungsi waktu t (de- (a) f (x) = |x2 − 1|; a = 1
tik) dinyatakan dengan h(t) = 80 − 5t2 .
(
1 − x3 , x ≤ 0
(b) g(x) = ;a=0
(a) Hitung kecepatan sesaat bola saat t = 1 cos(x), x > 0
(b) Hitung kecepatan sesaat bola saat bola [[2 − x]]
menyentuh tanah. (c) h(x) = ; a = 1.
x

1
FMIPA - ITB. MA1101 Matematika 1A. Tutorial Bab 2 Bagian I: Turunan
Semester 1, 2021-2022 Halaman: 2

9. Diberikan tiga grafik fungsi, salah satu merupakan (b) f (x) = 7 sec x tan x
grafik fungsi f , satunya lagi adalah grafik dari tu- (c) f (x) = x3 cos x − 2x csc x
runan fungsi f, namakan g = f 0 , dan sisanya adalah x + cot x
grafik dari turunan g. Tentukan mana grafik f , f 0 (d) f (x) =
x2 − 1
dan g 0 .
15. Gunakan identitas trigonometri dan aturan tu-
runan untuk menentukan turunan fungsi berikut.
 π
(a) f (t) = cos t +
4
(b) f (θ) = cos(2θ)
(c) f (x) = sec2 x − tan2 x

16. Tentukan semua titik pada grafik fungsi berikut se-

hingga garis singgung pada titik tersebut sejajar
dengan sumbu-x.

(a) f (x) = x3 − 27x

10. Tentukan a dan b sehingga fungsi f yang didefin- x
isikan dengan (b) g(x) = 2
x +1
( (c) k(x) = 2 sin x + cos(2x)
ax2 + b, x ≤ 1
f (x) =
x3 − 5x, x > 1 17. Tentukan persamaan garis singgung kurva y =
f (x) di titik P pada kurva, untuk fungsi f dan
mempunyai turunan di setiap bilangan real. titik P berikut ini.
11. Tentukan semua nilai a di daerah asal f sehingga (a) f (x) = x2 − x; P (1, 0)
f tidak mempunyai turunan di x = a dengan 5
memeriksa grafik fungsi f yang diberikan di bawah (b) f (x) = 2 ; P (2, 1)
x +1
ini. Jelaskan alasan Anda.
(c) f (x) = 1 + 2 tan x; P (π/4, 3).

18. Tentukan semua nilai a yang mungkin agar garis

1
y = 5x − 9 menyinggung kurva y = x2 + ax − 7.
2
19. Suatu partikel bergerak pada sumbu-x dan posisi
partikel terhadap waktu dinyatakan dengan fungsi
x(t) = 1 + 3 cos t + 4 sin t.
dengan t diukur dalam detik.
π π π
12. Jika f (2) = 5, f 0 (2) = 3, g(2) = −4, g 0 (2) = 6, dan (a) Tentukan posisi partikel saat t = 0, , , .
4 3 2
h(x) = (x2 + 1)g(x)/f (x), maka hitung turunan item Tentukan kecepatan gerak partikel saat
berikut. π π π
t = 0, , , .
4 3 2
(a) (f + g)0 (2) (d) (f /g)0 (2). (b) Buktikan bahwa partikel tersebut bergerak di
dalam selang [−4, 6]
(b) (f − g)0 (2) (e) (g 2 /f )0 (2)
(c) (f · g)0 (2) (f) h0 (2) 20. Diketahui bahwa titik P (1, −1) tidak terletak pada
parabola y = x2 − 3x + 2. Tentukan dua titik A dan
13. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut meng- B pada parabola tersebut sehingga garis AP dan
gunakan aturan turunan. garis BP menyinggung parabola.
x · |x|
(a) f (x) = 3 − 4x2 + 2x6 21. Tunjukkan bahwa jika g(x) = , maka berlaku
2
(b) f (x) = (x6 + 1)(x8 − x + 2) 0
g (x) = |x| untuk setiap bilangan real x.
x3 − 4x + 3
(c) f (x) = 22. Tentukan nilai limit berikut apabila f (2) = 4,
x4 + 2
f 0 (2) = 6, g(2) = 3, dan g 0 (2) = 5.
(x + 2)(x3 − 1)
2
(d) f (x) =
x4 + 1 f (x)g(x) − 12 3f (x) − 4g(x)
(a) lim (c) lim
14. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut x→2 x−2 x→2 (x − 2)g(x)

f (x2 + 1) − 4 (g(x))4 − 81
(a) f (x) = 4 cos x − 5 sin x (b) lim (d) lim
x→1 x−1 x→2 x−2

2
FMIPA - ITB. MA1101 Matematika 1A. Tutorial Bab 2 Bagian II: Turunan
Semester 1, 2021-2022 Halaman: 1

23. Telaah Konsep. 30. Misalkan y = C1 cos(3x) + C2 sin(3x) dengan C1

d2 y
(a) Jika y = f (u) dengan u = g(t), maka dan C2 adalah konstanta. Hitung + 9y.
dx2
dy
= .
dt 31. Misalkan f (x) = ax3 + bx2 + cx + d dengan a, b, c
(b) Jika g(x) = sin(f (x)) dan h(x) = f (sin(x)), dan d adalah konstanta. Jika f (0) = −7, f 0 (0) = 5,
maka g 0 (x) = dan h0 (x) = . f 00 (0) = −8, f 000 (0) = 18, tentukan nilai a, b, c, d.
(c) Turunan ke-n dari f (x) = xn adalah
32. Misalkan posisi suatu partikel yang bergerak pada
sedangkan turunan ke-(n+1) dari f (x) adalah
sumbu
√ x saat waktu t dinyatakan dalam x(t) =
. 2
t − t + 4.
(d) Nilai n yang memenuhi f (n) (x) = f (x) dengan
f (x) = sin x adalah . (a) Tentukan kecepatan awal (saat t = 0) partikel.
(e) Misalkan xy 2
+ sin(2x) = 2. Dengan menggu- (b) Tentukan kecepatan dan percepatan gerak
nakan turunan implisit terhadap x, kita per- partikel tersebut saat t = 1.
oleh + 2 cos(2x) = 0.
(c) Tentukan kapan partikel bergerak ke arah kiri.
(f) Jika y = f (x) suatu fungsi yang terdiferen-
(d) Tentukan kapan partikel berhenti sesaat.
sialkan terhadap variabel bebas x, diferensial
dari variabel y adalah dy = . (e) Tentukan apakah percepatan partikel pernah
(g) Jika f terdiferensialkan di sekitar x = a, maka sama dengan 0.
hampiran linear dari f di a adalah fungsi 33. Hitung dy/dx dari persamaan berikut dengan
L(x) = . menggunakan turunan implisit.
24. Diketahui bahwa fungsi f dan g terdiferensialkan
di mana-mana dan data beberapa nilai fungsi f , g (a) y 2 = 3x − 2 (d) y 4 +x2 −2x+1 = y 2
dan turunannya diberikan pada tabel berikut. (b) (x − 2)2 + y 2 = 1 (e) x2 + y(y − 1)2 = 0

x 0 1 −1 (c) x4/5 + y 4/5 = 1 (f) y = x + cos(x + y).

f (x) 2 −1 0
f 0 (x) 4 2 3 34. Tentukan persamaan garis singgung grafik per-
g(x) 1 0 5 samaan berikut di titik yang diberikan.
g 0 (x) 2 4 3 √
(a) y + xy 2 = 5 di (4, 1).
Hitung
(b) sin(xy) = y di (π/2, 1).
(a) (g ◦ f )0 (1) (c) (f ◦ f )0 (−1)
dy dx
(b) (f ◦ g)0 (0) (d) (g ◦ g)0 (1). 35. Hitung dan di setiap titik (a, b) (jika ada)
dx dy
pada kurva dengan persamaan x3 + y 2 = 1. Ten-
25. Tentukan turunan fungsi berikut tukan suatu titik P pada kurva tersebut sehingga
garis singgung kurva di P sejajar sumbu-y.
(a) f (x) = (4x + 5)7 (c) h(x) = sin3 (2x + 3)
  36. Carilah persamaan garis normal (garis yang tegak
πx
(d) h(x) = tan .
p
(b) f (x) = x2 + 5 x2 + 2 lurus dengan garis singgung) pada kurva
(x − 1)3 + y 3 + 4y = 4xy
26. Tentukan dy/dx dari
di titik (3, 2).
x
(a) y = x cos x2 + x


(b) y = 37. Diketahui kurva xy + y 2 = 6. Dengan turunan im-
(3x + 2)4
plisit, diperoleh persamaan
27. Tentukan persamaan garis singgung kurva y =
1 1
 (a) xy 0 + y + 2yy 0 = 0, dan
di titik 1, .
(x2 + 1)3 8 (b) xy 00 + y 0 + y 0 + 2(y 0 )2 + 2yy 00 = 0.
28. Tentukan f 00 (x) dengan fungsi f diberikan sebagai Selesaikan persamaan (a) untuk mendapatkan y 0 ,
berikut: lalu gunakan hasilnya untuk memperoleh y 00 dari
persamaan (b).
(a) f (x) = x4 − 5x3 + 1
x √ 38. Sebuah tangga dengan panjang 3 meter bersandar
(b) f (x) = (d) f (x) = 3x + 5
x2
+1 pada dinding. Ujung bawah tangga didorong men-
(c) f (x) = sin(5x) (e) f (x) = cos(x3 ) datar mendekati dinding dengan laju tetap 0,5 m/s.
Tentukan seberapa cepat ketinggian ujung atas
29. Misalkan f (x) = x4 − 12x2 − 2. Tentukan titik tangga berubah ketika jarak ujung bawah tangga
P (a, b) pada grafik fungsi f sehingga f 00 (a) = 0. ke dinding 2 meter.

1
FMIPA - ITB. MA1101 Matematika 1A. Tutorial Bab 2 Bagian II: Turunan
Semester 1, 2021-2022 Halaman: 2

39. Sebuah drone terbang dengan ketinggian konstan 47. Gunakan diferensial atau hampiran linear untuk
12 m dan bergerak sepanjang jalan yang lurus dan menaksir nilai-nilai berikut.
datar dengan laju 20 m/s. Sebuah mobil berg- √
erak dari arah berlawanan menuju drone tersebut. (a) 63 (c) tan(−0.05)
Jarak antara mobil dengan drone berkurang den- √3
(b) 27.9 (d) (0.998)20
gan laju 15 m/s ketika jarak mereka 37 m. Ten-
tukan kecepatan mobil tersebut.
(e) sin(0.02) + cos(0.01)
40. Sebuah bola besi berjari-jari 5 cm dilapisi es den-
gan ketebalan seragam. Jika es tersebut mencair 48. Hasil pengukuran diameter sebuah bola adalah
dengan laju 10 cm3 per menit, tentukan seberapa 15 ± 0.3 cm. Hitunglah luas permukaan bola serta
cepat ketebalan es berkurang ketika ketebalannya 1 estimasi galat mutlak dan galat relatif dalam pen-
cm. Tentukan juga seberapa cepat luas permukaan gukuran luas permukaan bola.
bagian luar es berkurang. 49. Perioda suatu pendulum T diberikan oleh rumus
√ s
41. Suatu partikel bergerak sepanjang grafik y = x L
pada kuadran pertama sedemikian hingga jaraknya T = 2π
g
ke sumbu-y bertambah sebesar 3 satuan per de-
tik. Misalkan θ adalah sudut yang dibentuk oleh dengan L adalah panjang pendulum dan g adalah
sumbu-x dan ruas garis yang menghubungkan (0, 0) percepatan gravitasi. Jika panjang pendulum
dθ berkurang sebesar 0.5%, taksir persentase peruba-
dengan partikel tersebut. Hitung ketika jarak
dt han perioda pendulum.
partikel tersebut dengan sumbu-x adalah 2 satuan.
50. (a) Misalkan f (x) = x3 dan misalkan L(x) adalah
42. Koordinat dari suatu partikel yang bergerak di
dx hampiran linear terhadap fungsi f (x) di a = 1.
bidang-xy terdiferensialkan dengan = −1 m/s Manakah yang lebih besar di antara L(1.01)
dt
dy dan f (1.01)?
dan = 2 m/s. Seberapa cepat jarak partikel
dt (b) Misalkan g(x) = x1/3 dan misalkan L(x)
dengan titik asal berubah ketika partikel tersebut
adalah hampiran linear terhadap fungsi g(x)
berada di titik (5,12)?
di a = 1. Manakah yang lebih besar di antara
43. Sebuah tangki berbentuk kerucut terpancung L(1.01) dan g(1.01)?
mempunyai ketinggian 2 meter, jari-jari bagian
bawah 0.5 meter, dan jari-jari bagian atas 1 me- 51. Misalkan f adalah fungsi yang mepunyai turunan
ter. Ke dalam tangki dialirkan air dengan laju 0.5 di mana-mana. Tunjukkan bahwa jika f adalah
liter per menit. Hitung laju perubahan tinggi per- fungsi ganjil, maka f 0 adalah fungsi genap.
mukaan air ketika tingginya 1 meter?  
x2 sin 1 , x 6= 0,


44. Tentukan diferensial dy untuk y = f (x) berikut 52. Misalkan f (x) = x

0, x = 0.

(a) y = x4 − 3x2 + 2 (c) y = (cos x − sin x)2
4 (a) Tentukan turunan dari f .
(b) y = p
(2x − 1)3 (d) y = sec x + cot x (b) Periksa apakah f 0 kontinu di 0.
(c) Tentukan semua c sedemikian hingga f 0 kon-
45. Untuk setiap situasi berikut, hitunglah ∆y dan dy tinu di c.
(a) y = x3 + 2x; x = 1, dx = 0.2
53. Misalkan f (x) = x2 dan g(x) = |x|.
1
(b) y = ; x = −2, dx = 0.5
x (a) Periksa apakah f , g, f ◦g dan g◦f mempunyai
(c) y = sin2 (x); x = π/4, dx = −0.1 (gunakan turunan di x = 0.
kalkulator untuk menghitung ∆y)
(b) Apakah hasil pada bagian (a) bertentangan
46. Tentukan hampiran linear dari fungsi berikut di dengan Aturan Rantai?
titik yang diberikan.
54. Diketahui fungsi f terdiferensial di sekitar x = 8
3 2
(a) f (x) = x + 6x + 1, di a = −2 dengan f (8) = 1 dan f 0 (8) = 3. Jika g(x) = f (2x2 )
1 dan h(x) = (f (3x + 2))2 , tentukan g 0 (2) dan h0 (2)
(b) f (x) = x − , di a = 2
√ x 55. Misalkan f (x) = x2 + xg(x), f (1) = 5, dan
(c) g(x) = x + 3, di a = 1
π g 0 (1) = −2. Taksir nilai f (1.02) dengan menggu-
(d) h(x) = sin(x) + cos(x), di a = nakan hampiran linear.
3

2
FMIPA - ITB. MA1101 Matematika 1A. Tutorial Bab 3 Bagian I: Aplikasi Turunan
Semester 1, 2021-2022 Halaman: 1

1. Telaah konsep. (d) h(x) = x|x − 4|; [1, 9/2]

(a) Jika c ∈ (a, b) merupakan titik ekstrem fungsi 4. Tentukan interval kemonotonan (interval dimana
f dan f kontinu pada [a, b] dan memiliki tu- fungsi naik atau turun) dari fungsi-fungsi berikut
runan pada (a, b) maka f 0 (c) = di daerah asalnya.
(b) Nilai maksimum dari f (x) = −|x| dicapai di (a) f (x) = x2 (2x − 3)
x= yang merupakan titik . x2
(b) f (x) = 2
(c) Jika f kontinu pada [a, b] dan f 0 (c) < 0 untuk x −1
setiap c pada (a, b), maka f mencapai nilai 1 3 √
(c) g(x) = x − 3 x + 1
maksimum pada [a, b] di x = . 2
1 π 
(d) Jika f 0 (x) = x(x−1)2 (x−2), maka f monoton (d) g(x) = x2 + cos x2
π 2
naik pada , dan monoton turun pada
. 5. Tentukan interval dimana fungsi-fungsi berikut
cekung atas atau bawah dan tentukan semua titik
(e) Jika f 0 naik pada interval (a, c) dan turun beloknya (jika ada).
pada interval (c, b), maka f cekung
pada (a, c) dan cekung pada (c, b). 2 4
(a) f (x) = x5 − x3
5 3
(f) Jika f 00 (x) = x2 (x − 2) maka titik belok dari 4x
f adalah . (b) f (x) = 2
x +1
(g) Jika f 0 (x) = x(x−2), maka f (0) adalah (c) g(x) = 9x4/3 − 2x2 + 1
lokal dan f (2) adalah lokal dari f . (d) h(x) = 2x − tan x untuk −π/2 < x < π/2
(h) Jika x = c adalah titik dari f pada
6. Tentukan semua titik kritis dari f kemudian gu-
(a, b) dan f cekung pada (a, b), maka
nakan uji turunan pertama atau kedua untuk
f (c) adalah nilai maksimum lokal dari f.
menentukan titik-titik yang memberikan nilai mak-
(i) Luas persegi panjang dengan panjang x dan simum lokal dan minimum lokal.
keliling 4 adalah L(x) = dengan daerah
asal DL = . Luas maksimum persegi (a) f (x) = x3 − 6x2 + 9x − 1
panjang tersebut adalah . (b) g(x) = 10x13/5 − 13x2 + 4
4x − 3
(j) Jika fungsi f pada [a, b] dan (c) h(x) = 2
pada (a, b), maka terdapat c ∈ (a, b) sehingga x +1
f (b) − f (a) (d) f (t) = 8 sin t − tan t + 1, −π/2 < t < π/2
f 0 (c) = (e) g(θ) = sin(2θ) − 2 cos θ − 1, −π < θ < π.
b−a
(k) Jika F (x) = G0 (x) untuk setiap x di (a, b),
0
7. Tentukan, jika ada, nilai maksimum dan nilai
maka terdapat konstanta C sehingga . minimum (global) dari fungsi-fungsi berikut pada
2. Diberikan grafik fungsi dengan daerah asal berupa daerah asalnya.
interval tertutup di bawah ini. Tentukan titik kri- (a) f (x) = 6x4 − 8x3 − 24x2 + 1
tis, nilai minimum, dan nilai maksimum dari fungsi √
(b) g(x) = 8 x − 2x2
yang digambarkan pada grafik berikut. 9
(c) h(x) = 2
x +1
(d) f (t) = cos(2t) + 10 sin t

(c) 8. Tentukan interval kemonotonan, interval kecekun-

(a)
gan, titik ekstrem lokal dan titik belok dari fungsi-
fungsi dengan turunan berikut.
(a) f 0 (x) = x3 (x − 1)(x − 2)
x2
(b) g 0 (x) =
x−1
(b) (d)
9. Misalkan f suatu fungsi yang memiliki turunan di
mana-mana dengan grafik turunan sebagai berikut.
y
3. Tentukan semua titik kritis, nilai maksimum, dan ( 54 , 1)
nilai minimum dari fungsi berikut dalam interval • y = f 0 (x)
tertutup yang diberikan.

(a) f (x) = x3 − 6x2 + 10; [−2, 1]

x
x2 + 1 −1 0 1 2
(b) g(x) = ; [0, 4]
x+1
(− 35 , − 45 ) •
(c) g(x) = x + cos(2x); [0, π/2]

1
FMIPA - ITB. MA1101 Matematika 1A. Tutorial Bab 3 Bagian I: Aplikasi Turunan
Semester 1, 2021-2022 Halaman: 2

(a) Tentukan interval kemonotonan dan kecekun- 16. Sisi-sisi suatu persegi panjang yang terletak di
gan dari fungsi f . x2 y2
dalam elips + = 1 sejajar dengan sumbu-
(b) Tentukan titik ekstrem lokal dari f dan jenis- 9 4
sumbu koordinat. Tentukan keliling minimum
nya. persegi panjang tersebut.
(c) Tentukan semua nilai c sehingga (c, f (c))
17. Jarak titik dengan kurva adalah jarak minimum
adalah titik belok f.
titik tersebut ke suatu titik di kurva. Tentukan
jarak titik (1, 0) dengan kurva y 2 = x3 − 3x2 + 5.
10. Buatlah sketsa kurva berikut.
x 18. Suatu topi berbentuk selimut kerucut dibuat dan-
(a) y = 6x5 − 10x3 + 2 (c) y = 2
. gan menempelkan dua sisi lurus dari suatu juring
x −9
√ lingkaran dengan sudut α. Tentukan nilai α yang
x2 + 1 memaksimumkan volume topi.
(b) y = 24x5/3 −30x4/3 (d) y = .
x
19. Seorang peternak ingin memagari padang gem-
11. Buatlah sketsa kurva berikut pada [0, 2π]. bala yang terletak di tepi sebuah sungai. Padang
gembala ini harus mempunyai luas 20.000 meter
(a) y = x − sin(2x) persegi untuk menyediakan rumput yang cukup
(b) y = 2 + cos(2x) + 2 sin(x) bagi domba-domba piaraannya. Jika daerah sep-
anjang sungai tidak perlu dipagari, berapa ukuran
12. Sketsa sebuah grafik fungsi yang memenuhi semua padang gembala tersebut agar kawat pagar yang
informasi yang diberikan: dipergunakan paling kecil?

(i) f kontinu pada interval [1, 5]

(ii) f (1) = f (5) = 3, f (2) = 0, f (3) = 1, f (4) = 2
(iii) f 0 (x) > 0 pada (2, 4) dan (4, 5); f 0 (x) < 0
pada (1, 2).
(iv) f 0 (2) = f 0 (4) = 0;
(v) f 00 (x) < 0 pada (3, 4); f 00 (x) > 0 pada (1, 2)
dan (4, 5)
20. Seorang penjaga pantai berdiri di pinggir pantai
13. Berdasarkan grafik y = f 0 (x)
yang diberikan, (di titik A) dan melihat seorang anak tenggelam di
sketsa grafik y = f (x) jika grafik fungsi f melalui laut sejauh 14 meter (di titik B). Jarak terdekat
titik P, Q, R. anak yang√ tenggelam itu dari bibir pantai adalah
BP = 4 6 meter seperti pada sketsa di bawah.

(a)

Jika penjaga pantai sanggup berlari dengan ke-

cepatan 5 meter per detik dan berenang dengan
(b) kecepatan 1 meter per detik. Tentukan waktu mini-
mum yang dibutuhkan untuk menyelamatkan anak
tersebut.

21. Tentukan apakah Teorema Nilai Rata-Rata untuk

14. (a) Tentukan nilai maksimum dari perkalian dua turunan berlaku pada fungsi dan interval berikut.
bilangan real yang jumlahnya 6. Jika ya, carilah semua nilai c yang memenuhi teo-
rema tersebut; jika tidak sebutkan alasannya.
(b) Tentukan nilai minimum dari penjumlahan
dua bilangan real positif yang hasil kalinya 4. (a) f (x) = x2 − x + 1, [−1, 3]
(b) g(x) = |x − 1|, [−1, 2]
15. Suatu persegi panjang berada di atas sumbu-x dan
dibawah kurva y = 12 − x2 . Jika salah satu sisi (c) h(x) = 16 − x4/3 , [−1, 8]
persegi panjang tersebut terletak pada sumbu-x, (d) f (t) = t + sin(2t), [0, π]
maka tentukan luas maksimum persegi panjang 4t − 9
tersebut. (e) g(t) = , [0, 2]
t−3

2
FMIPA - ITB. MA1101 Matematika 1A. Tutorial Bab 3 Bagian I: Aplikasi Turunan
Semester 1, 2021-2022 Halaman: 3

22. Tentukan semua nilai c yang memenuhi kesimpu- 23. Asep melakukan perjalanan sejauh 120 km dalam
lan Teorema Nilai Rata-Rata untuk turunan untuk dua jam dan mengklaim bahwa laju kendaraan-
fungsi dengan grafik pada gambar berikut di inter- nya tidak pernah melebihi 55 km/jam. Gunakan
val [−1, 3]. Teorema Nilai Rata-Rata untuk turunan untuk
menyangkal pernyataan Asep tersebut.

24. Budi melakukan perjalanan dengan mobil sejauh

(a) 80 km dalam satu jam dengan kecepatan awal 0
km/jam. Tunjukkan bahwa pada suatu saat, ke-
cepatan mobil Budi melebihi 80 km/jam.

25. Misalkan a dan b bilangan real. Dengan meng-

gunakan Teorema Rata-Rata untuk turunan, buk-
tikan bahwa | sin2 b − sin2 a| ≤ |b − a|.

(b)