33

BAB 5
INTEGRAL TERTENTU

5.1 INTEGRAL TERTENTU

Jika f(x) adalah fungsi kontinu pada interval [a, b] dan F(x) adalah integral tak

 f ( x)dx  F ( x)
b
tentu dari f(x), maka a
 F (b)  F ( a ) .
a

a disebut batas bawah (limit bawah) integrasi, dan b disebut batas atas (limit atas)
integrasi.

Sifat-sifat:
b a

a. 
a
f ( x ) dx    f ( x )dx
b

b. Jika f(x) kontinu pada interval [a, c], dan a ≤ b ≤ c, maka

c b c


a
f ( x) dx   f ( x)dx   f ( x)dx
a b

Contoh 1
b b

 f ( x)dx   kdx  kx
b
(a) Misalkan f(x) = k, k konstan, maka a
 k (b  a )
a a

3
2 3
(b) Misalkan f(x) = 2x, maka  2 xdx  x
1
1
 (3) 2  (1) 2  9  1  8

(c) Misalkan, f(x) = cos 2x, maka

 /4  /4
1 1  1  1 1

0
cos 2 xdx  sin 2 x
2

2
(sin 2.  sin 2.0)  (sin  sin 0)  (1  0) 
4 2 2 2 2
0

Contoh 2
1

  3x  2 x  1 dx  .....
2
(a)
1

(b) 
1
x dx  .....

Matematika Terapan – Teknik Listrik – Polinema

 34

(c) 
1
1  3 x dx  .....

3
dx
(d) 
0 x 1
 .....

e
x / 2
(e) dx  .....
2

0
1
(f)  3x  1 dx  .....
5

0  / 12

(g) i.  sin 3xdx  .....

 / 6
ii.  cos(2 x   / 6)  .....
 / 12

5.2 MENENTUKAN LUAS BIDANG DENGAN INTEGRAL

Jika f(x) non negative atau [f(x)  0], pada interval [a, b], maka integral tertentu

b n

 f ( x ) dx  lim  f ( x k )  k x
a k 1

n
Luas bidang yang dibatasi oleh grafik sumbu-x, kurva y = f(x), sumbu x = a, dan sumbu x

= b adalah  f ( x)dx .
a
(lihat gambar 5.a)

Matematika Terapan – Teknik Listrik – Polinema

 35

Y
y=f(x)

∆x

f(x)
X
a x b

Gambar 5. a

Contoh 1 Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh

(a) sumbu-x, kurva f(x) = 5, pada interval 2  x  6,

(b) sumbu-x, fungsi y = x, pada interval 3  x  4,

(c) sumbu-x, dan kurva f(x) = x2 4, pada interval [4, 5]

3
(d) kurva f(x) = 3 sin 2x, dan kurva f(x) = 3 cos 2x pada 0 ≤ x ≤
4

5.3 HARGA RATA-RATA

Harga rata-rata (mean value/average value) fungsi y = f(x) pada interval [a, b]
didefinisikan sebagai luas daerah yang dibatasi oleh fungi tersebut dibagi lebar

b
1
intervalnya. Jadi yav 
ba  f ( x)dx
a

Harga Rata-rata Fungsi Periodik

Harga rata-rata (mean value/average value) fungsi y = f(t) dengan periode T

didefinisikan sebagai luas daerah yang dibatasi oleh fungi tersebut dibagi periodenya.

T
1
Jadi y av 
T  f (t ) dt
0

Matematika Terapan – Teknik Listrik – Polinema

 36

5.4 HARGA EFEKTIF

Harga efektif (root mean square value) fungsi y = f(x) pada interval [a, b]
didefinisikan sebagai
b
1
b  a a
y ef  y rms  [ f ( x)] 2 dx

Harga Efektif Fungsi Periodik

Harga efektif (root mean square value) fungsi periodik y = f(t) dengan dengan
periode T didefinisikan sebagai
T
1
y ef  y rmsv  
T 0
[ f (t )]2 dt

Contoh soal:
Tentukan harga rata-rata dan harga efektif dari fungsi
(a) y = 5 pada interval [2, 3],
(b) y = x pada interval [2, 6],
(c) v = 10 sin 2t, pada

(i) 0≤t≤ ,
4
 3
(ii) ≤t≤ ,
4 4

(iii) ≤ t ≤  , dan
4
(iv) 0≤t≤ 

Latihan 2
I Pada soal 1 s/d. 6, tentukan harga rata-rata dan harga efektifnya!
1. y = 2x pada interval (i) [−3, 3] (ii) [−3, 1] (iii) [1, 5] (iv) [0, 4]
1
2. y  x pada interval (i) [−3, 3] (ii) [−3, 1] (iii) [1, 5] (iv) [0, 4]
3
3. y = 20 sin t, pada interval (i) (0, π/2), (ii) (0, π), (iii) [π/2, 3π/2], dan (iv) [0, 2π];
4. y = 15 sin 2t, pada interval (i) (0, π/4), (ii) (0, π/2), (iii) (π/4, 3π/4), dan (iv) (0, π);
5. y = 30 cos t, pada (i) ¼ putaran pertama, (ii) (0, π), (iii) [π/2, 3π/2], dan (iv) [0, 2π]

Matematika Terapan – Teknik Listrik – Polinema

 37

6. y = 40 cos 4t, pada (i) ¼ putaran pertama, (ii) (0, π/4), (iii) (π/8, 3π/8), dan (iv) (0, π/2)
7. v = 20. 0 cos 50 t volt pada interval (i) [0, 0.01]; (ii) [0, 0.02]; (iii) [0.01, 0.03];
dan (iv) [0, 0.04];
8. v = 75 sin 40 t volt. pada interval (i) [0, 0.0125]; (ii) [0, 0.0250]; (iii) [0.0125, 0.0375];
dan (iv) [0.0125, 0.050];
9. Sebuah tegangan sinusoida mempunyai harga maksimum (i) 250 volt, (ii) 350 volt, (iii) 450
volt, (iv) 550 volt. Tentukan harga rata-rata dan harga efektifnya.
10. Sebuah tegangan cosinus mempunyai harga maksimum (i) 250 volt, (ii) 300 volt, (iii) 350
volt, (iv) 400 volt. Tentukan harga rata-rata dan harga efektifnya.

II. Tentukan harga rata-rata dan harga efektif pada fungsi periodik berikut ini

Matematika Terapan – Teknik Listrik – Polinema