Pert.7 Faktorisasi Tunggal
Pert.7 Faktorisasi Tunggal
Pert.7 Faktorisasi Tunggal
32 Teori Bilangan
Kegiatan Belajar 3
Faktorisasi Tunggal
Teorema 3.6
Jika p suatu bilangan prima dan p ab maka p a atau p b.
Bukti
Karena p suatu bilangan prima, untuk sebarang bilangan bulat a berlaku
(a, p) = 1 atau (a, p) = p. Jika (a, p) = 1 dan p ab maka p b. Jika (a, p) = p
maka p a. Jadi, terbukti bahwa p a atau p b.
Teorema 3.6 ini dapat diperluas untuk bilangan-bilangan bulat a1, a2,
a3, ..., an sebagai berikut.
Bukti
Kita akan membuktikan dengan induksi matematika pada n, yaitu
banyaknya faktor.
Untuk n = 1, yaitu p a1, jelas benar.
Untuk n = 2, yaitu p a1 a2, karena p suatu bilangan prima, menurut Teorema
3.6 p a1 atau p a2.
Diambil sebagai hipotesis induksi untuk t dengan 2 < t < n, yaitu p prima
dan p a1a2a3... at maka pak untuk 2 < k < t.
Pandang p a1a2a3...an, atau dapat ditulis sebagai p (a1a2a3...an-1)(an)
maka menurut Teorema 3.6 diperoleh p a1a2a3 ... an-1 atau p an.
PEMA4312/MODUL 3 3.33
Jika p, q1, q2, q3, ... , qn, semuanya bilangan prima dan p q1q2q3 ... qn
maka p = qk untuk suatu k dengan 1 ≤ k ≤ n.
Teorema 3.7
Pemfaktoran suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 atas
faktor-faktor prima adalah tunggal, kecuali urutan dari faktor-faktornya.
Bukti
Pada Teorema 3.3, kita telah membuktikan bahwa setiap bilangan bulat
positif yang lebih besar dari 1 adalah suatu bilangan prima atau bilangan itu
dapat dinyatakan sebagai perkalian dari bilangan-bilangan prima tertentu.
Sekarang kita akan membuktikan bahwa faktor-faktor prima tersebut adalah
tunggal.
Ambil sebarang bilangan bulat positif n > 1. Jika n suatu bilangan prima,
n adalah faktornya sendiri.
Jika n suatu bilangan komposit dan diandaikan bahwa pemfaktoran n
atas faktor-faktor prima adalah tidak tunggal, misalnya
N = p1p2 ...pn + 1
Karena N > 1, menurut Teorema 3.2, N dapat dibagi oleh suatu bilangan
prima sehingga N dapat dibagi oleh sekurang-kurangnya satu bilangan prima
dari p1 , p2 , p3 ..., pn. Misalnya, bilangan prima pk dengan 1 ≤ k ≤ n yang
membagi N, yaitu pk N.
Hal ini tidak mungkin karena pk adalah suatu bilangan prima. Oleh
karena itu, pengandaian bahwa ada bilangan prima terbesar adalah tidak
benar sehingga pengandaian tersebut harus diingkar. Hal ini diperoleh bahwa
tak ada bilangan prima terbesar. Dengan kata lain, banyaknya bilangan prima
adalah tak berhingga.
Hal tersebut terkenal sebagai teorema Euclides yang dinyatakan sebagai
berikut.
Coba tunjukkan bahwa N1, N2, N3, N4, dan N5 tersebut masing-masing
adalah bilangan prima. Selanjutnya, tentukanlah N6, N7 dan N8. Tunjukkan
bahwa bilangan-bilangan ini bukan bilangan prima.
N6 = 59509
N7 = 1997277
N8 = 34727953
7 p4 p33 1 53 1 126
Teorema 3.9
Dalam suatu barisan bilangan prima, jika pn menyatakan bilangan prima
n 1
ke n maka pn 22 .
Bukti
Pembuktian menggunakan induksi matematika pada n. Untuk n = 1
0
diperoleh p1 22 , yaitu p1 2 . Hal ini memang benar sebab bilangan
prima pertama adalah 2.
Selanjutnya, sebagai hipotesis, teorema diasumsikan benar untuk n = k,
k 1
yaitu pk 22 . Harus dibuktikan bahwa teorema benar untuk n = k + 1,
k
yaitu pk 1 22 .
PEMA4312/MODUL 3 3.37
k 1
pk 1 22 1 .
k 1
Karena 22 1 untuk setiap bilangan asli k maka ketidaksamaan itu
menjadi berikut.
2 1 k 1
pk 1 22 22
k
pk 1 22
LAT IH A N
3) Jika n suatu bilangan ganjil, tunjukkan bahwa ada suatu bilangan kuadrat
yang jika ditambahkan pada n menghasilkan suatu bilangan kuadrat pula!