MAKALAH SEJARAH MATEMATIKA

“SEJARAH GEOMETRI NON-EUCLIDES DAN GEOMETRI

MODERN”

Dibuat untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Sejarah Matematika

Dosen Pengampu : Dr. Hj. Rini Setianingsih, M. Kes.

Nama Kelompok 10 (Kelas 2018C) :

Deby Mega Puspita (16030174039)

Aghnia Mey Azahra (18030174026)

Endri Puji Lestari (18030174057)

Fransisca Nur Zuraidha (17030174090)

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

JURUSAN MATEMATIKA

2019
 KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur Kami panjatkan kepada Tuhan yang Maha Esa,
karena atas berkat dan limpahan rahmatnyalah maka Kami dapat menyelesaikan
sebuah makalah dengan tepat waktu.

Berikut ini Kami mempersembahkan sebuah makalah dengan judul

”Sejarah Geometri Non-Euclides dan Geometri Modern”. Dalam rangka untuk
memenuhi tugas mata kuliah Sejarah Matematika di prodi Pendidikan Matematika
dengan Dosen pengampu mata kuliah adalah Ibu Dr. Hj. Rini Setianingsih,
M.Kes. Kami berharap dapat memberikan manfaat yang besar bagi kita untuk
mempelajarinya.

Melalui kata pengantar ini Kami lebih dahulu meminta maaf dan
memohon memaklumi bila mana isi makalah ini ada kekurangan dan ada tulisan
yang Kami buat kurang tepat atau menyinggung perasaan pembaca.

Dengan ini Kami mempersembahkan makalah ini dengan penuh rasa

terima kasih dan semoga Allah SWT memberkahi makalah ini sehingga dapat
memberikan manfaat.

Surabaya, 22 September 2019

Penulis

2
 DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .................................................................................. 2

DAFTAR ISI ................................................................................................. 3

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................. 4

1.1.Latar Belakang ................................................................................... 4

1.2.Rumusan masalah............................................................................... 6
1.3.Tujuan ................................................................................................ 6

BAB II PEMBAHASAN .............................................................................. 7

2.1.Geometri Riemann ............................................................................ 7

2.2.Geometri Lobachevsky. ................................................................... 10
2.3. Tabel perbandingan antara Geometri Euclide dan Non- Euclide.... 18
2.4. Geometri modern ............................................................................ 20

BAB III PENUTUP .................................................................................... 21

A. Kesimpulan ...................................................................................... 21
B. Saran ................................................................................................. 21
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 22

3
 BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Euclides dari Aleksandria ini hidup kira-kira 300 tahun sebelum Masehi. Ia
menulis buku-bukunya sebanyak 13 buah dengan mengumpulkan materinya dari
beberapa sumber dan dari tokoh sebelumnya. Jadi, Euclides dapat dipandang
sebagai penyusun dan penulis buku yang luar biasa. Bukunya disebut “The
Elements” atau “Euclid’s Elements” yang dapat diterjemahkan sebagai “Unsur-
unsur Euclides”.

Kelemahan Geometri Euclid Menurut Beberapa Ahli dan Pembahasannya :

1) Kelemahan ke-1
Euclides berusaha untuk mendefinisikan semuanya dalam geometri, sampai titik
dan garis.
Kita tinjau sedikit tentang definisi yang dikemukakan Euclides dalam bukunya
yang pertama.
Definisi 1: Titik adalah sesuatu yang tidak mempunyai bagian.
Definisi 2: Garis ialah panjang tanpa lebar.
Permasalahannya, apakah tidak perlu untuk
mendefinisikan tentang “bagian” dan juga
tentang “lebar”? Para ahli berpendapat,
tampaknya memang harus ada pengertian-
pengertian pangkal (undefined terms).
2) Kelemahan ke-2
Postulat kelima dari Euclides yang terkenal dengan nama Postulat Kesejajaran,
terlalu panjang sehingga dianggap membingungkan oleh para matematikawan.
Postulat 5 Euclides berbunyi: Jika dua garis dipotong oleh sebuah garis lain
(disebut dengan garis transversal) sedemikian hingga membuat jumlah sudut
dalam sepihak kurang dari 180 , maka kedua garis itu berpotongan pada pihak
yang jumlah sudut dalam sepihaknya kurang dari 180 .
Oleh John Playfair (1795), postulat tersebut di atas dimodifikasi sebagai berikut.
Melalui sebuah titik di luar sebuah garis yang diketahui, hanya dapat dibuat
sebuah garis yang sejajar dengan garis yang diketahui.
Titik P di luar garis m.
Hanya ada 1 garis n, yang melalui P dan sejajar m.

4
Aksioma pengganti postulat ke-5 Euclides tersebut dikenal sebagai “Aksioma
Play-fair”. Aksioma Playfair ekuivalen dengan Postulat ke-5 Euclides.
Beberapa matematikawan menganggap bahwa postulat ke-5 itu bukan postulat,
melainkan teorema/dalil yang harus dapat dibuktikan dengan keempat postulat
sebelumnya. Usaha untuk membuktikan postulat ke-5 berlangsung sejak Euclides
masih hidup sampai kira-kira sekitar tahun 1820. Tokoh-tokoh yang berusaha
untuk membuktikan ini antara lain: Proclus dari Aleksandria (410 – 485),
Gerolamo Saccheri dari Italia (1607 – 1733), Karl Friedrich Gauss dari Jerman
(1777 – 1855), Wolfgang (Farkas) Bolyai dari Hongaria (1775 – 1856) dan
anaknya Yanos Bolyai (1802 – 1860), dan juga Nicolai Ivanovitch Lobachevsky
(1793 – 1856).
Usaha-usaha ini tidak ada yang berhasil dan hal ini menunjukkan keunggulan
Euclides. Tetapi, usaha ini mengakibatkan ditemukannya geometri jenis lain, yang
sekarang disebut dengan geometri non Euclid.

3) Kelemahan ke-3
Terdapat dalil dalam geometri Euclid yang berbunyi: Melalui suatu ruas garis
dapat dilukis suatu segitiga samasisi.
Perhatikan bukti dari Euclides berikut.
Misalkan AB adalah ruas garis yang diketahui. Harus dilukis segitiga samasisi
dengan AB sebagai salah satu sisinya.
Lukisan:
Dengan A sebagai titik pusat dan AB sebagai jari-jari maka dapat dilukis
lingkaran BCD. (postulat 3). Demikian pula dengan B sebagai titik pusat dan BA
sebagai jari-jari, dapat dilukis lingkaran ACE (postulat 3).
Dari titik C, yaitu titik potong kedua lingkaran itu, dapat ditarik garis AC dan BC.
Bukti:
Karena titik A adalah titik pusat lingkaran BCD maka AC = AB (Def 15).
Demikian juga, karena titik B adalah titik pusat lingkaran ACE maka BC = BA
(Def. 15).

Maka Δ ABC sama sisi terlukis.

Kelemahan dalil ini adalah, Euclides menganggap begitu saja bahwa

kedua lingkaran itu berpotongan, tanpa menggunakan atau mendasarkan pada

5
suatu postulat. Matematikawan berpendapat bahwa untuk mendapatkan titik
potong ini masih diperlukan pertolongan prinsip kekontinuan.
Demikianlah sepintas beberapa kelemahan Geometri Euclid. Dengan
kelemahan tersebut maka Geometri Euclid tidak dapat lagi dipandang sebagai
suatu sistem deduktif yang ketat. Walaupun demikian, Geometri Euclid tetap
merupakan suatu karya besar yang telah bertahan selama 2000 tahun, dan
sekarang memang perlu diperbaiki. Kenyataannya, ruang Euclid memang mudah
diterima menurut pengamatan awam/umum. Hal ini yang menjadi dasar adanya
geometri non-Euclid dan geometri modern.

1.2 Rumusan Masalah

1.2.1 Apa yang dimaksud dengan geometri Riemann?
1.2.2 Apa yang dimaksud dengan geometri Lobachevsky?
1.2.3 Apa perbedaan antara geometri Euclid dengan geometri Non-Euclid?
1.2.4 Apa yang dimaksud dengan geometri modern?

1.3 Tujuan

1.3.1 Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan geometri Riemann.

1.3.2 Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan geometri Lobachevsky.

1.3.3 Untuk mengetahui perbedaan antara geometri Euclid dengan geometri

Non-Euclid.

1.3.4 Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan geometri modern.

6
 BAB II

PEMBAHASAN

Geometri non-Euclid dibagi menjadi dua bagian yaitu geometri Riemann

dan geometri Lobachevsky.

2.1 Geometri Riemann

Ketika Bolyai dan Lobachevsky berhasil menantang postulat kesejajaran

Euclid, matematikawan terdorong membangun teori geometri non-Euclide lain.
Yang pertama dan yang sangat terkenal dirancang oleh Riemann pada tahun 1854.
Teori Riemann bertentangan dengan postulat kesejajaran Euclid dengan
mengasumsikan prinsip-prinsip berikut: Postulat Kesejajaran Riemann. Tidak
terdapat garis sejajar
Teori Riemann tidak hanya meninggalkan postulat kesejajaran Euclid
tetapi juga meninggalkan postulat lain. Sebagaimana yang telah kita lihat bahwa
garis sejajar itu ada, tanpa mengasumsikan sebarang postulat kesejajaran.
Selanjutnya keberadaan garis sejajar itu merupakan teorema pada geometri netral
(bagian dari geometri Euclid). Dengan kata lain postulat Riemann, yang
menyatakan tidak terdapat garis sejajar, tidak konsisten dengan postulat geometri
netral. Akibatnya, kita harus menemukan postulat-postulat geometri netral yang
mana yang berkenaan dengan adanya garis sejajar, lalu menghapusnya dari daftar
kita. Prosedur utama untuk melaksanakannya adalah menganalisa bukti
keberadaan garis sejajar untuk melihat pada sifat-sifat mana bukti tersebut
bergantung. Dengan meninjau sekilas pada pembuktian, kita lihat bahwa bukti
tersebut mengikuti secara langsung sifat berikut:
(A) Dua garis saling tegak lurus pada garis yang sama adalah sejajar
Sifat (A) merupakan konsekuensi langsung dari teorema sudut eksterior,
jadi kita harus menentukan teorema sudut eksterior bergantung pada postulat
mana. Tetapi pembuktian teorema sudut eksterior kompleks dan melibatkan
penerimaan secara tersirat akan sifat-sifat grafik dari suatu diagram. Akibatnya
sangat sulit menentukan sifat-sifat penting mana yang dimaksud. Akan tetapi,
terdapat alternatif pembuktian sifat (A) yang sederhana dan tidak memerlukan
teorema sudut eksterior. Kita menyajikannya dan menganalisanya untuk
memperoleh sifat-sifat yang penting tersebut. Teorema 8.1 Dua garis yang saling
tegak lurus pada garis yang sama adalah sejajar.

7
Diberikan. Dua garis berbeda L dan M yang saling tegak lurus pada garis N.
Buktikan: L sejajar dengan M.
Bukti:
Andaikan L sejajar dengan M merupakan pernyataan yang salah. Maka L dan M
akan berpotongan pada titik C Misalkan L, M memotong N masing-masing di
A,B.
Pernyataan Alasan
Panjang ruas garis dapat digandakan

Perpanjang CA melalui A
hingga C‟dengan CA =
AC‟
Tarik garis C‟B Dua titik menentukan
suatu garis
ABC ABC' s, sd, s
ABC ABC' Bagian-bagian yang ber-
sesuaian
Dengan demikian ABC' merupakan sudut siku-siku karena ABC merupakan
sudut siku-siku; dan BC dan BC‟ saling tegak lurus
dengan AB

BC dan BC‟ garis yang sama Hanya terdapat satu garis tegak lurus terhadap
suatu garis
yang diberikan melalui

titik
pada garis yang
diberikan tersebut
Dengan demikian C dan C‟adalah titik
persekutuan AC dan BC atau L dan M.
Karena itu L dan Dua titik menentukan
M yang sama suatu garis

Hal ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa L dan M merupakan garis

yang berbeda. Dengan demikian pengandaian kita salah dan teorema berlaku.
Jika postulat kesejajaran Riemann dipertahankan, teorema ini harus
diabaikan begitu saja. Dengan demikian kita harus membuang (selain postulat
kesejajaran Euclid) satu dari prinsip yang digunakan dalam pembuktian. Tentu
saja kita ingin mempertahankan sifat-sifat yang berkenaan dengan segitiga yang
konruen dan garis tegak lurus – kita akan bermain-main dengan sifat ini. Kita
akan menganalisis pembuktian dengan sifat-sifat ini dalam benak kita. Titik

8
kritisnya kelihatan ada pada langkah 6, yakni L dan M adalah garis yang sama
karena memiliki dua titik persekutuan yang berbeda. Langkah ini (juga
pembuktian) akan gagal jika C dan C‟dua titik yang sama (berimpit). Bagaimana
mungkin kedua titik itu berimpit? Sama saja dengan menanyakan bagaimana kita
tahu kalau kedua titik itu berbeda. Titik kritis dalam pembuktian ini tidak
dibuktikan secara formal, tetapi kelihatannya ditentukan melalui gambar.
Euclid secara tersirat mengasumsikan bahwa setiap garis membagi bidang
menjadi dua bagian yang berbeda. Lebih tepat dinyatakan sebagai berikut: Jika
diberikan garis L, titik- titik pada bidang yang tidak terletak pada garis L
membentuk dua bangun atau himpunan titik, disebut tepi/sisi garis. Sisi-sisi ini
tidak mempunyai titik persekutuan, dan memiliki sifat bahwa setiap garis yang
suatu titik pada satu sisi dengan titik pada sisi yang lain memotong L. Dengan
memandang sifat “membagi” ini, konstruksi pada
langkah 1 dari pembuktian (memperpanjang CA melalui A hingga C‟, dengan CA
= AC”) menjaminbahwa Cdan C‟berada pada sisi yang berlainandari N, dan
dengan demikian merupakan titik yang berbeda. Tanpa sifat membagi ini tidak
ada yang membenarkan bahwa C berbeda dengan C‟, dan pembuktian gagal. Ini
menunjukkan bahwa kita dapat menyusun teori geometri Riemann dengan
menghilangkan postulat yang berbunyi setiap garis membagibidang.
Jika anda merasa bahwa membuang prinsip membagi itu terlalu berat, kita
dapat atur untuk mempertahankannya asal saja kita membayarnya dengan
mengorbankan sesuatu yang lain. Jika prinsip membagi diterima, C dan C‟haruslah
titik-titik yang berbeda. Tetapi kita masih dapat menghindari kontradiksi pada
langkah 6, jika kita membuang prinsip yang menyatakan bahwa dua titik
menntukan sebuah garis, dan mengijinkan dua garis berpotongan di dua titik. Pada
pandangan awal ini mungkin terlihat sebagai bayaran yang berlebihan, tetapi
mengarahkan kepada teori geometri yang menarik dan lebih sederhana.

Ringkasan :
Ada dua teori geometri yang mengasumsikan postulat kesejajaran
Riemann. Yang pertama, setiap garis berpotongan tepat di satu titik, tetapi tidak
ada garis yang membagi bidang. Yang kedua, dua garis berpotongan tepat di dua
titik, dan setiap garis membagi bidang. Teori-teori ini masing-masing disebut,
geometri eliptik tunggal dan geometri eliptik ganda.
Tidak berarti bahwa Riemann memperkenalkan teori geometri yang benar-
benar berbeda yang membangun sifat-sifat ruang secara luas dengan meneliti sifat
jarak antara titik yang berdekatan. Teori ini disebut geometri Riemann, berguna
dalam matematika terapan dan fisika, dan merupakan dasar matematis dari teori
umum relativitasEinstein.

9
2.2 Geometri Lobachevsky

Nicolai Ivanovitch Lobachevsky (1793 – 1856) adalah seorang profesor

matematika yang mengajar di Universitas Kazan. Lobachevsky bersama dengan
Gauss dan Bolyai merupakan tokoh-tokoh yang mengenalkan Geometri Non
Euclid. Untuk menghormatinya, maka geometri yang dikenalkannya disebut
dengan Geometri Lobachevsky atau Geometri Hiperbolik. Selain Lobachevsky,
ada tokoh lain yang menemukan Geometri Non Euclid yang berbeda dengan
Lobachevsky, yakni Riemann dan geometri temuan Riemann disebut juga dengan
Geometri Eliptik.
Geometri Lobachevsky dapat dikarakteristikkan sebagai salah satu tipe
Geometri Netral, yang dalam hal ini, setiap segitiga mempunyai jumlah sudut
yang kurang dari 180 . Jadi, teorema-teorema Geometri Netral berlaku untuk
Geometri Lobachevsky dan mungkin saja akan digunakan dalam pembuktian
teorema-teoremanya. Oleh karena itu, penguasaan terhadap materi Geometri
Netral merupakan prasyarat dalam mempelajari Geometri Lobachevsky. 0
Untuk mengkarasteristikkan Geometri Lobachevsky, digunakan pula
postulat-postulat Geometri Euclidus, dengan mengganti postulat kesejajaran
dengan postulat berikut ini.

Postulat Kesejajaran Lobachevskian :

Ada sedikitnya dua garis dapat ditentukan melalui titik yang diketahui dan tidak
terletak pada garis
Teorema Nonmetrical
Teorema 1
Sembarang garis keseluruhan termuat didalam interior dari beberapa sudut
Bukti :
Misal l suatu garis dan titik P tidak pada l Melalui Postulat Kesejajaran
Lobachevskian:
Pasti ada garis yang berbeda m, n yang melalui P
dan sejajar l.
Garis m dan n membagi bidang menjadi 4
daerah. Masing-masing merupakan sudut interior.
Daerah-daerah ini ditandai sebagai interior dari
APB, APB’, A’PB, A’PB’ dimana P
diantara A dan A’ pada m, dan P diantara B dan B’ pada n. Misal Q sebarang titik
pada l. Ketika l tidak bertemu m atau n, Q juga tidak pada m atau n
Jadi, Q berada di interior pada salah satu keempat sudut tersebut, anggaplah
A’PB
Ketika Q berada di interior A’PB, dan ketika l tidak bertemu sisi PA’, PB.
Jelaslah, l berada didalam A’PB.Dengan demikian l dimuat secara

10
keseluruhan didalam interior A’PB.

Corollary
Ada tak berhingga banyak garis sejajar yang dapat ditentukan melalui suatu titik
yang diketahui tidak terletak pada garis.

Bukti :
Misal diketahui garis l, dan titik P tidak pada l. Gunakan teorema 1; Misal R
sebarang titik didalam interior APB,
makagarisPR(termasuktitikP)secarakeseluruhantermuatdidalaminterior APB
dan A’PB’. Dan PR tidak memotong l ,karena l termuat didalaminterior
A’PB. Dengan demikian, PR sejajar l. Akibatnya, ada
banyak garis tak berhingga seperti garis PR.

Jumlah Sudut Suatu Segitiga didalam Geometri

Lobachevskian Lemma 1
Penjumlahan dua sudut suatu segitiga kurang dari atau sama
dengan sudut luarterjauhnya.

Bukti.
Perhatikan ∆ ABC. Dengan Teorema Saccheri-Legendre.
A + B + C = 180o
kedua ruas dikurangi dengan sudut C , kita dapatkan
A + B = 180o - C
Lemma sudut luar pada C = 180o - C

Lemma 2
Misal l suatu garis, titik P tidak berada di garis l, dan titik Q berada di garis l.
Misal diberikan garis PQ sebagai sisinya.
Kemudian di sana ada titik R di l, pada sisi PQ yang diketahui, sedemikian
hingga PRQ adalah sudut kecil seperti yang kitalihat.

Bukti.
Buat sudut-sudut yang lain (
berapapun ukuran sudutnya). Kita
harus memperhatikan di sana terdapat
titik R pada garis l, yang terbentuk
dari sisi PQ, sedemikian hingga
PRQ <a
Pertama kita harus membuat langkah-langkah untuk mendapatkan berapa besar
sudut-sudut tersebut.

11
PR1Q1,PR2Q2 …
Setiap sudut yang dibuat tidak lebih besar dari setengahnya dari hasil yang telah
didapat.
Misalkan R1 adalah titik l pada sisi PQ sehingga QR1=PQ
Gambar PR1 Maka ∆ PQR1 sama kaki,dan QPR1= PR1Q = b1
Misal b adalah sudut luar ∆PQR1 pada Q.
Denganlemma1 b1 + b1 = 2b1 ≤ b, sehingga b1 ≤½b (1)

Sekarang bentuklah sudut baru dengan langkah yang sama. Perpanjangan QR 1

melalui R1 dan R2 sehingga R1R2 = PR1. Gambarkan PR2, maka ∆PR1R2 sama
kakidan
R1PR2 = PR2R1 = PR2Q = b2
Dengan Lemma 1 b2 + b2 = 2b2 ≤b1
Sehingga b2 ≤ ½b1
Dari persamaan (1) didapat: b2 ≤ ½2b

Ulangi proses “pembagian dua“ n, sehingga di dapat titik Rn di l, pada sisi

PQ,sehingga
bn = PRnQ ≤ ½n b.
Hasilnya. Nilai n sangat besar ½n b < a. Kemudian PRnQ < a. Sehingga teorema
berlaku dengan R = Rn.

Teorema 2
Ada sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut kurang dari 180o
Bukti :
Buat garis l dan titik P tidak pada di l. Kita memperoleh garis m melalui P
sejajar l .
PQ tegak lurus ke l pada Q dan m tegak lurus ke PQ pada P. Dengan postulat
kesejajaran Lobachevskian, ada garis lain n melalui
P sejajar l.
Salah satu sudut yang terbentuk oleh garis n dengan
PQ harus lancip. Ambil X titik di n sedemikian
hingga QPX lancip. Y titik di garis m pada sisi
yang sama seperti titikX.
Andai a = XPY. Maka QPX = 90o - a
Sekarang gunakan Lemma 2. Ambil R titik pada l, pada bagian PQ yang memuat
X, sedemikian hingga PRQ < a. Perhatikan ∆PQR. Kita dapatkan
PQR =90o
QRP = a
RPQ + XPQ = 90o - a
Ditambahkan, kita peroleh

12
PQR + QRP + RPQ < 90o + a + 90 o - a
PQR + QRP + RPQ < 180 o
Jadi ∆PQR mempunyai jumlah sudut kurang dari 180O,terbukti.

Teorema 3
Jumlah sudut dari setiap segitiga tidak lebih dari 180o.
Bukti :
Dengan teorema 2, dimana ada sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut kurang
dari 180o. Oleh karena sama adalah benar untuk setiap segitiga ( Ch. 3, Th. 6,
Cor. 2)
Corollary 1 : Jumlah sudut dari setiap segi empat kurang dari dari 360o.
Corollary 2 : Tidak ada persegipanjang.

Teorema 4
Dua segitiga kongruen, jika sudut-sudut yang bersesuaian sama

Bukti :
Anggap teorema ini salah.

13
Teori Daerah (Area) Lobachevskian
Bidang (area) segitiga didefinisikan mengikuti sifat-sifat (property)
(a) Positivity. Untuk masing-masing segitiga mempunyai hubungan unik
yang ditentukan oleh bilangan real positif disebut daerah (area).
(b) Invariance Under Congruence. Segitiga-segitiga kongruen mempunyai
daerah (area) yang sama.
(c) Additivity. Jika segitiga T dibagi menjadi 2 segitiga T1 dan T2 oleh
garis yang ditarik melalui titik puncak dari sisi yang dihadapannya
,maka daerah T adalah jumlah dari daerah T1 danT2.

Akibatnya setiap proses untuk pengukuran bidang yang ditentukan oleh sebuah
nilai real fungsi didefinisikan untuk semua segitiga yang memenuhi sifat
(property) (a), (b), dan (c). Ini menganjurkan agar kita menemukan konsep
pengukuran daerah atau daerah fungsi segitiga dengan mengartikan property-
property tersebut.

Definisi :
Suatu fungsi yang ditentukan untuk setiap segi tiga khusus bilangan real dengan
menggunakan property (a), (b), (c) yang memenuhi. Maka fungsi itu disebut
sebagai daerah fungsi atau daerah pengukuran untuk segitiga. Jika µ adalah suatu
fungsi seperti itu dan ABC sebuah segitiga,µ(ABC) merupakan nilai dari ∆ ABC
,dan disebut daerah atau ukuran dari ∆ABC yang ditentukan olehµ.Definisi ini,
tentunya tidak terikat oleh geometri Lobachevskian , definisi ini menerapkan
geometri netral . Kenyataannya dalam geometri Euclidean, rumus yang dikenal
(luas daerah = ½ bh) untuk daerah segitiga juga telah meliputi daerah fungsi :
Kita menunjukkan setiap segitiga sebagai ukuran setengah hasil kali alas dan
tinggi . Kita lanjutkan dengan mengamati kelengkapan Addivity (c), derah fungsi
bisa diperluas sampai bilangan bulat terbatas

Teorema 5 (Finite additivity):

Jika suatu segitiga ∆ gabungan dari himpunan terbatas yang tidak beririsan (non
overlapping) ∆1,∆2,, ...,∆n. Maka untuk setiap daerah fungsi µ ,
µ (∆) = µ(∆1)+ + µ(∆n)
Hasilnya sama pentingnya dalam geometri Euclidean dan Lobachevskian,
sebenarnya ini adalah teorema geometri netral.
Kita memperkenalkan daerah fungsi dalam geometri Lobachevskian secara
abstrak tanpa menujukkan contoh khusus. Ada satu contoh bahwa hal itu
sepenting rumus daerah segitiga yang kita kenal dari geometri Euclidean , tapi
paling natural ditunjukan dalam bentuk sudut-sudut suatu segitiga. Kita
nyatakan ini secara formal dalam definisi berikut:

14
Definisi
Kekurangan (the defect) dari ∆ABC adalah 180 - (A + B + C ).
Disini A, B, dan C diambil sebagai sudut pengukuran dari sudut yang
diindikasi , oleh karena itu kekurangan dari suatu segitiga adalah bilangan real
yang sederhana, bukan sebuah bilangan derajat (degrees). Catatan bahwa
kekurangan dari suatu segitiga terindikasi pada jumlah yang mana jumlah
sudutnya tak mencapai 180°.

Teorema 6
Kekurangan (the defect) adalah suatu daerah fungsi untuk segitiga.
Bukti:
Property (a) mengikuti teorema 3. Property (b) segitiga-segitiga yang kongruen
mempunyai sudut-sudut yang bersesuain sama,oleh karena
itu jumlah sudutnya sama dan kekurangannya (defects)
sama.
Untuk menetapkan property (c) , Diketahui ∆ABC dan D
titik pada BC, AD membagi ∆ ABC menjadi ∆ABD dan
∆ADC.
Jumlah kekurangan dari 2 segitiga sembarang adalah :
180o – (BAD + B + BDA ) + 1800 – (CAD + C + CDA )
Dengan memperhatikan BDA + CAD = 180o
Kita mempunyai jumlah dari kekurangan ∆ ABD dan ∆ ADC adalah
180o – (BAD + CAD + B + C ) = 180o – (BAC + B + C )
yang mana kekurangan dari ∆ ABC.
Teorema ini memberi tahu bahwa ada satu daerah fungsi . Kita secara alami
menyadari jika ada daerah fungsi lain, dan betapa banyak jenisnya. Suatu metode
trivial ini membentuk (constructing) daerah fungsi baru yang ditentukan dengan
mengikuti teorema, yang mana konsekuensinya langsung dari definisi daerah
fungsi.

Teorema 7
Setiaphasilkali sebuah daerah fungsi dengan bilangan konstan positif adalah
sebuah daerah fungsi juga.
Perkalian dari daerah fungsi oleh suatu bilangan positif konstan dapat
mengubah bagian pengukuran (yaitu setiap segitiga yang pengukurannya adalah
1),tetapi bukan pembanding dari pengukuran segitiga. Dalam kekurangan ini
,memiliki suatu pengukuran berarti (geometrical significance) yang
sederhana,untuk bentuk khusus dari definisi mengenai kekurangan tergantung
dari kesepakatan dasar untuk pengukuran sudut –sudut dalam bentuk derajat.
Jika kita ambil unit yang berbeda untuk ukuran sudut-sudut dan mendefinisikan
kekurangan dalam cara yang alami,kita mendapatkan perkalian yang konstan dari
kekurangan itu,sebagai yang didefinisikan. Sebagai contoh, andai kata kita

15
mengganti unit mengukur sudut dari derajat ke menit Hal-hal ini menjadi bahan
untuk didiskusikan : (1) setiap ukuran sudut akan dikalikan dengan 60 : (2)
bilangan pokok (key number) 180 akan digantikan dengan 60 kali 180 atau
10,800. Jadi itu definisi pendekatan dari defect akan menjadi 60 kali defect
sama dengan definisiasli.
Teori terakhir, sayangnya, tidak ada penyelesaian dari pertanyaan kita
yang menyangkut macam-macam kemungkinan dari daerah fungsi . Kita lebih
memperhatikan kemungkinan sebuah daerah fungsi yang dikalikan dengan
tidak konstan dari defect. Kita mungkin merasa bahwa defect dikeluarkan dari
sebuah tak tentu ujung pangkalnya dan tidak mungkin menjadi sebuah daerah
fungsi yang khas bahwa daerah fungsi lain mungkin berubah menjadi yang tidak
proposional . Jika ini terjadi mungkin ada dua segitiga yang mempunyai daerah
yang sama sebagai ketentuan satu daerah fungsi. Pada prakteknya, urusan ini
akan sungguh sukar, harga sebuah rumah mungkin bergantung pada sistem yang
digunakan untuk mengukur itu. Untungnya, tidak ada hal yang dapat terjadi di
geometriLobachevskian.

Teorema 8
Dua daerah fungsi adalah proposional.
Ini menarik untuk di catat bahwa dalam geometri dimensi tiga Euclidean ,
jumlah sudut segitiga berbentuk bola besar dari 180˚, dan bidang dari sebuah
segitiga bola didefinisikan menjadi kelebihan, jadi jumlah dari ukuran derajat
adalah sudut kurang 180.
Kita menyimpulkan Teorema 8 juga benar dalam geometri Euclidean dan
membutuhkan validasi yang dikenal teori bidang (area) Euclidean .

Kesejajaran dan jarak yang sama dari garis-garis:

Dalam geometri Euclidean, satu ciri penting dari garis sejajar adalah bahwa
mereka senantiasa mempunyai jarak yang sama . Hal tersebut tidak sama dengan
kasus dalam geometriLobachevskian.

Teorema 9
Dua garis sejajar tidak senantiasa mempunyai jarak yang sama.

16
Bukti :
Kita akan menunjukan bahwa untuk dua garis sejajar l ,l’ tidak ada tiga titik
seperti pada garis l yang mana jaraknya sama dari garisl’.
Ambil A,B,C pada l, dengan B diantara A dan C. Dari A ,B,C tarik garis tegak
lurus ke l’, memotong l’ di A’,B’, dan C’.
Diduga AA’ = BB’ = CC’. Dari AA’ = BB’, AA’B’ = BB’A’, dan A’B’ =
B’A’.
Maka ∆AA’B’≈∆ BB’A. Oleh karena AB’ = BA, maka BB’ = AA’ dan BA
= AB kitadapatkan∆ AB’B≈∆ BA’A. Akibatnya A’AB = B’BA ; Karena
itu “Sudut-sudut puncak” dari segiempat AA’B’B adalah sama. Alasan yang
sama digunakan pada segiempat CC’B’B menghasilkanC’CB = B’BC.
Jumlahkan dua persamaan terakhir
A’AB + C’CB = B’BA + B’BC = 180o
Jadi jumlah sudut segi empat AA’C’C adalah 360o, kontradiksi dengan Cor 1
dari Teo 3.

Kita menyimpulkan bagian ini dengan diskusi macam-macam pasangan garis

sejajar. Melihat pembuktian teorema ,jika dua garis sejajar hanya dua kasus yang
dapat timbul : (a) ada dua titik pada satu garis yang sama jaraknya dari garis lain
; (b) tidak ada dua titik di satu garis yang jaraknya sama dari garislain.
Kasus pertama timbul jika dan hanya jika mempunyai sebuah garis persekutuan
yang tegak lurus. Pada kasus kedua dapat menunjukkan bahwa garis – garis
tersebut adalah asimtot.

Bila titik P tidak pada garis l

PQ ┴ l di Q, dan m ┴ PQ di P. Andaikan garis

PR ll l dan QPR adalah sudut lancip. Garis-
garis tersebut melalui P dan memotong l atau
sejajar ke l. X pada l sedemikian hingga
jaraknya ke PQ sama jaraknya ke R ;
kemudian garis PX melalui P memotong l
.Sekarang X bergerak mendekati Q pada l .
Sehingga QPX <QPR.Karena itu QPX mendekati sekecil-kecilnya .
Kemudian PX akan mendekati PS seperti X . Dapat ditunjukan bahwa PS tidak
memotong l ,tetapi batas dari garis PX yang memotong l . Dikatakan sebagai batas
sejajar ke l. Simetris dengan garis PS ,yang juga batas sejajar ke l ,sehingga
QPS’ = QPS dan S’ berlawanan dengan S. Kesimpulan : PS dan PS’ adalah
sejajar terhadap garis l dan garis – garis lain yang melalui titik P memotong l dari
garis – garis l melalui P, beda dengan PS dan PS’ yang tidak memotongl.

Kesimpulan ini bagian dari penjelasan kita mengenai geometri Lobachevskian.

17
2.3 Tabel perbandingan antara Geometri Euclide dan Non- Euclide

PEMBEDA EUCLIDEAN LOBACHEVSKIAN RIEMANN

Dua garis yang
Satu titik
berbeda akan Paling banyak Paling banyak satu (Elliptik
berpotongan satu titik titik tunggal), dua
pada
titik (Elliptik
ganda)
Diberikan Satu dan hanya Sekurang-kurang nya
Tidak ada garis
garis L dan satu garis dua garis mela lui P
mela lui P
titik P di luar melalui P sejajar sejajar dengan
sejajar dengan L
L, maka dengan L
ada L
Jaraknya sama Jaraknya tidak pernah
Garis sejajar dimana-mana sama Tidak ada
dimana-mana
Dibagi menjadi Dibagi menjadi dua Tidak dibagi
Sebuah garis dua bagian oleh bagian oleh sebuah menjadi dua
sebuah titik titik bagian oleh
sebuah titik
Jika sebuah garis
memotong satu Harus memotong Boleh ya, boleh tidak
dari dua garis yang lain memotong yang lain
sejajar, maka
Hipotesis
Sacherri yang Sudut siku-siku Sudut lancip Sudut tumpul
valid adalah
Dua garis yang
berbea dan tegak
lurus pada garis Sejajar Sejajar Berpotongan
yang sama
Jumlah sudut
suatu segitiga = 1800 <1800 > 1800
adalah

Luas suatu
segitiga adalah Tidak bergantung Proposional terhadap Proporsional
pada jumlah defect terhadap excess
sudut

18
2.4 Geometri Modern

 ABAD KE-17

Ada dua perkembangan utama di awal abad ke-17. Pertama, penciptaan

geometri analitik, geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh Rene Descartes
dan Pierre de Fermat. Kedua, Girard Desargues mulai mempelajari suatu tipe
geometri yang disebut geometri proyektif, studi bagaimana titik sejajar dengan
titik lain tanpa pengukuran. Di akhir abad ke-17, Isaac Newton dan Gottfried
Wilhelm von Leibniz secara mandiri dan hampir bersamaan mengembangkan
kalkulus ke dalam apa yang sekarang disebut analisis. Hal ini tidak dianggap
cabang dari geometri tetapi berlaku di geometri

 ABAD KE-18 DAN KE-19

Selama periode ini, banyak ahli geometri berusaha membuktikan Dalil

Kelima Euclid, Dalil Kesejajaran. Namun, semua dianggap gagal. Pada Mereka
melanjutkan pekerjaan yang dimulai oleh Omar Khayyam yang telah mengkritik
teori kesejajaran Euclid dan membuktikan properti dari angka-angka
menggunakan geometri non-Euclid. Bukti-bukti ini mengarah pada
pengembangan geometri non-Euclid.

Pada tahun 1733, pertama kali dicetak hasil penelitian dari Girolamo
Saccheri (1667 – 1733), seorang pendeta dan guru besar Matematika di
Universitas Pavia di Italia. Ia membuktikan bahwa postulat kesejajaran Euclid
merupakan suatu dalil bukan postulat lagi. Saccheri-lah ahli pertama dianggap
penyusun geometri non-Euclides.

Matematikawan Janos Bolyai dan Lobachevsky mulanya mempersoalkan

aksioma ke-5 dari lima aksioma geometri euclid, yaitu aksioma kesejajaran. Para
matematikawan mencoba untuk membuktikan bahwa aksioma kelima Euclid
bukanlah aksioma , dengan menggunakan aksioma ke-1 hingga ke-4, namun
usaha mereka tidaklah berhasil. Berangkat dari percobaan untuk membuktikan
bahwa aksioma kesejajaran bukanlah sebagai suatu aksioma melainkan teorema,
munculah inspirasi pengetahuan baru mengenai geometri hiperbolik.

19
Berikut salah satu aksioma geometri hiperbolik dan perbedaannya dengan
geometri Euclid.

Aksioma Euclide

Untuk sembarang titik A dan suatu garis r yang tidak melalui A ada tidak lebih
dari satu garis melalui A dalam bidang A r , yang tidak memotong r.

Aksioma Hiperbolik

Untuk sembarang titik A dan suatu garis r yang tidak melalui A ada lebih dari satu
garis melalui A dalam bidang A r , yang tidak memotong r

Pada tahun 1854, Bernhard Riemann, menciptakan suatu geometri yang

disebut geometri Riemann. Ia memberi postulat, bahwa tidak ada garis lurus yang
sejajar. Ia memberi penafsiran pada garis lurus sebagai lingkaran-lingkaran besar
pada bola. Geometri Riemann ini pulalah yang digunakan untuk pengembangan
teori relativitas dari Einstein. Geometri Riemann disebut pula geometri eliptik.

 ABAD KE-20

Dalam periode ini, ada perkembangan dalam geometri aljabar. Studi

tentang kurva dan permukaan lainnya atas bidang terbatas ditunjukkan dalam
karya-karya antara lain André Weil, Alexander Grothendieck dan Jean-Pierre
Serre.

20
 BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan
Dengan adanya geometri non-Euclid dan geometri modern, bukan berarti
geometri Euclid dianggap salah. Namun geometri Euclid adalah dasar dari
semuanya tetapi ada beberapa bagian yang dianggap kurang tepat. Geometri
selanjutnya adalah yang melengkapinya. Sehingga semuanya saling melengkapi
dan menjadi satu kesatuan yang utuh.
Geometri non-Euclid terdiri dari geometri Riemann dan geometri
Lobachevsky. Jika diperhatikan, Mereka memiliki perbedaan yang mirip atau bahkan
sama yang sifatnya sama-sama menentang geometri Euclid yang dirasa kurang sesuai.

B. Saran
Materi ini benar-benar menambah wawasan penulis. Semoga materi ini
juga menambah wawasan pembaca. Itulah yang menjadi harapan kami sebagai
penulis.

21
 DAFTAR PUSTAKA

Amin Suyitno. 2017. Bahan Ajar/DiktatGeometri Non Euclid. Semarang

Mujiasih. (2015). Adakah Segitigayang Jumlah Sudutnya Kurang Dari 180o?.
Jurnal Pendidikan MIPA, vol 5.
Nurbaiti, Farahdiba. 2006/2007. Geometri Lobachevsky. Makalah.

https://docplayer.info/32251241-Bab-9-teori-geometri-non-euclidean-
riemann.html. Diakses tanggal 22 September 2019 pukul 11.51.
Supu, supratman. 2012. Perkembangan geometri dari masa ke masa.
https://supratmansupuppsmatematika.wordpress.com/2013/12/31/perkemb
angan-geometri-dari-masa-ke-masa/. Diakses pada tanggal 22 September
2019.

22