Modul Ajar Mekanika Teknik Rev3 PDF
Modul Ajar Mekanika Teknik Rev3 PDF
Modul Ajar Mekanika Teknik Rev3 PDF
MEKANIKA TEKNIK
MEKANIKA TEKNIK
Tim Penyusun
Adi Wirawan Husodo, ST., MT. NIP. 197502201999031001
Muhamad Ari, ST., MT. NIP. 197408282003121001
Fitri Hardiyanti, S.T., M.T. NIP. 199004192015042001
i
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirobbil ‘alamiin, puji syukur kehadirat Alloh SWT, Tuhan Yang Maha Esa atas
terselesianya Modul Ajar dan Perangkat Asesmen mata kuliah Mekanika Teknik, Program
Studi D3 Teknik Permesinan Kapal.
Modul Ajar dan Perangkat Asesmen ini disusun dengan harapan agar mahasiswa lebih mudah
memahami aplikasi konsep-konsep mekanika dalam perancangan suatu konstruksi atau
struktur sederhana sebagaimana dimaksud dalam silabus mata kuliah. Materi-materi yang
disajikan dinilai cukup dan mampu membantu mahasiswa dalam mencapai Capaian
Pembelajaran mata kuliah dan salah satu bagian Capaian Pembelajaran Program Studi D3
Teknik Permesinan Kapal. Disamping itu Modul Ajar dan Perangkat Asesmen Mekanika
Teknik ini juga bisa dimanfaatkan oleh mahasiswa atau pihak lain dalam mempersiapkan diri
dalam rangka mengikuti Uji Komtensi Unit C.301110.020.01 tentang Melakukan
Perhitungan Sistem Gaya Konstruksi Balok Sederhana, yang terdapat dalam dokumen
SKKNI No. 437 Tahun 2015 tentang Industri Golongan Pokok Industri Angkutan Lainnya
Kelompok Industri Kapal dan Perahu. Modul Ajar dan Perangkat Asesmen Mekanika
Teknik juga bisa digunakan sebagai bahan untuk mengikuti uji kompetensi unit MARL016
Apply Intermediate Principles Of Marine Mechanics yang terdapat di dalam dokumen
AQF (Australian Qualification Framework).
Di sisi lain, dengan penuh kesadaran bahwa Modul Ajar dan Perangkat Asesmen ini masih
terdapat kekurangan di dalamnya. Sehingga penulis sangat terbuka dengan masukan dan
review untuk perbaikan isi modul di kemudian hari. Pada akhirnya, Modul Ajar dan Perangkat
Asesment Mekanika Teknik ini dapat digunakan di semua program studi yang ada di
lingkungan Politeknik Perkapalan Negeri Surabaya (PPNS).
ii
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN ...................................................................................................... i
KATA PENGANTAR ..............................................................................................................ii
Daftar Isi ............................................................................................................................... iii
Daftar Gambar ......................................................................................................................vi
I. IDENTITAS MATA KULIAH............................................................................................ 1
1.1. Tujuan Instruksional Umum .................................................................................................... 1
1.2. Capaian Pembelajaran Mata Kuliah ........................................................................................ 1
1.3. Evaluasi Capaian Pembelajaran .............................................................................................. 1
1.4. Rencana Pembelajaran Semester ........................................................................................... 2
1.5. Peta Hubungan Mata Kuliah, Capaian Pembelajaran Lulusan dan Unit Kompetensi ............. 5
II. DASAR DAN APLIKASI MEKANIKA .............................................................................. 6
2.1. Capaian Pembelajaran Khusus ................................................................................................ 6
2.2. Prinsip Dasar Mekanika........................................................................................................... 6
2.3. Empat Besaran Dasar .............................................................................................................. 7
2.4. Idealisasi .................................................................................................................................. 7
2.5. Hukum Newton ....................................................................................................................... 9
2.6. Berat (W) ............................................................................................................................... 11
2.7. Satuan ................................................................................................................................... 11
2.8. Rangkuman ........................................................................................................................... 14
2.9. Latihan Soal ........................................................................................................................... 14
2.10. Referensi ........................................................................................................................... 15
III. OPERASI VEKTOR DAN VEKTOR GAYA ............................................................... 16
3.1. Capaian Pembelajaran Khusus .............................................................................................. 16
3.2. Konsep Vektor dan Skalar ..................................................................................................... 16
3.3. Operasi Vektor ...................................................................................................................... 17
3.4. Resultan Gaya dan Komponen Gaya ..................................................................................... 21
3.5. Penjumlahan Beberapa Gaya ................................................................................................ 22
3.6. Coplanar Forces .................................................................................................................... 25
3.7. Cartesian Vektor ................................................................................................................... 31
3.8. Penjumlahan Vektor Cartesian ............................................................................................. 34
3.9. Rangkuman ........................................................................................................................... 36
3.10. Latihan Soal ....................................................................................................................... 36
3.11. Referensi ........................................................................................................................... 38
IV. KESETIMBANGAN BENDA TEGAR ........................................................................ 39
iii
4.1. Capaian Pembelajaran Khusus .............................................................................................. 39
4.2. Kondisi Setimbang................................................................................................................. 39
4.3. Diagram Benda Bebas ........................................................................................................... 40
4.4. Sistem Gaya Koplanar (Coplanar) ......................................................................................... 41
4.5. Sistem Gaya 3 Dimensi.......................................................................................................... 46
4.6. Rangkuman ........................................................................................................................... 47
4.7. Latihan Soal ........................................................................................................................... 48
4.8. Referensi ............................................................................................................................... 49
V. MOMEN DAN KESETIMBANGAN MOMEN ................................................................. 50
5.1. Capaian Pembelajaran Khusus .............................................................................................. 50
5.2. Momen Gaya......................................................................................................................... 50
5.3. Besar dan Arah Momen Gaya ............................................................................................... 51
5.4. Kopel (Couple) ....................................................................................................................... 59
5.4.1. Besar Momen Kopel ...................................................................................................... 60
5.4.2. Kopel Ekivalen ............................................................................................................... 60
5.4.3. Resultan Momen Kopel ................................................................................................. 61
5.5. Rangkuman ........................................................................................................................... 63
5.6. Latihan Soal ........................................................................................................................... 63
5.7. Referensi ............................................................................................................................... 64
VI. TEORI BATANG....................................................................................................... 65
6.1. Capaian Pembelajaran Khusus .............................................................................................. 65
6.2. Definisi Batang (Beam).......................................................................................................... 65
6.3. Jenis-Jenis Batang ................................................................................................................. 67
6.4. Penumpu Batang (Beam Supports) ....................................................................................... 68
6.5. Kesetimbangan Benda Tegar ................................................................................................ 69
6.6. Gaya dan Momen Reaksi ...................................................................................................... 69
6.7. Rangkuman ........................................................................................................................... 72
6.8. Latihan Soal ........................................................................................................................... 73
6.9. Referensi ............................................................................................................................... 74
VII. GAYA DALAM DAN MOMEN DALAM ...................................................................... 75
7.1. Capaian Pembelajaran Khusus .............................................................................................. 75
7.2. Gaya Dalam ........................................................................................................................... 75
7.3. Momen Dalam ...................................................................................................................... 76
7.4. Metode Potongan ................................................................................................................. 76
7.5. Diagram Gaya Geser dan Diagram Bending Momen ............................................................ 77
7.6. Rangkuman ........................................................................................................................... 86
iv
7.7. Latihan Soal ........................................................................................................................... 87
7.8. Referensi ............................................................................................................................... 87
VIII. TEGANGAN PADA BATANG ................................................................................... 88
8.1. Capaian Pembelajaran Khusus .............................................................................................. 88
8.2. Definisi Tegangan dan Klasifikasi Tegangan.......................................................................... 88
8.3. Hukum Hook ......................................................................................................................... 89
8.4. Tegangan akibat Momen Bending (Flexure Formula) ........................................................... 90
8.5. Centroid ................................................................................................................................ 93
8.6. Momen Inersia ...................................................................................................................... 94
8.7. Rangkuman ......................................................................................................................... 100
8.8. Latihan Soal ......................................................................................................................... 101
8.9. Referensi ............................................................................................................................. 102
LAMPIRAN A - IDENTITAS UNIT KOMPETENSI ............................................................ 103
LAMPIRAN B - ASESMEN MANDIRI ............................................................................... 106
LAMPIRAN C - DAFTAR PERTANYAAN TERTULIS ....................................................... 107
v
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1. Peta Hubungan Mata Kuliah, CP Lulusan dan Unit Kompetensi ....................... 5
Gambar 2.1. Cabang-Cabang Mekanika ............................................................................... 6
Gambar 2.2. Contoh Pemodelan ........................................................................................... 8
Gambar 2.3. Gaya Terpusat.................................................................................................. 9
Gambar 2.4. Kesetimbangan ................................................................................................ 9
Gambar 2.5. Gerak dipercepat ............................................................................................ 10
Gambar 2.6. Aksi-reaksi antara 2 (dua) benda .................................................................... 10
Gambar 3.1. Definisi Vektor ................................................................................................ 16
Gambar 3.2. Ilustrasi Perkalian dan Pembagian Vektor ...................................................... 17
Gambar 3.3. Operasi Penjumlahan Prinsip Parallelogram .................................................. 18
Gambar 3.4. Prinsip Triangle .............................................................................................. 19
Gambar 3.5. Hukum Sinus dan Cosinus ............................................................................. 19
Gambar 3.6. Penjumlahan 2 (dua) Vektor yang Collinier ..................................................... 20
Gambar 3.7. Prinsip Pengurangan 2 (dua) Vektor............................................................... 20
Gambar 3.8. Resultan Gaya................................................................................................ 21
Gambar 3.9. Komponen Gaya ............................................................................................ 21
Gambar 3.10. Penjumlahan 3 (tiga) Gaya. .......................................................................... 22
Gambar 3.11. Gambar Latihan 3.1 ...................................................................................... 22
Gambar 3.12. Parallelogram dan Segitiga untuk Latihan 3.1............................................... 23
Gambar 3.13. Latihan 3.2 ................................................................................................... 24
Gambar 3.14. (a) Parallelogram, (b) Prinsip Segitiga Latihan 3.2 ........................................ 24
Gambar 3.15. Parallelogram untuk Notasi Skalar................................................................ 25
Gambar 3.16. Unit Vektor Cartesian ................................................................................... 26
Gambar 3.17. Latihan 3.3 ................................................................................................... 26
Gambar 3.18. Uraian Gaya Sumbu-x dan Sumbu-y ............................................................ 27
Gambar 3.19. Resultan Gaya Coplanar .............................................................................. 28
Gambar 3.20. Gambar Latihan 3.4 ...................................................................................... 28
Gambar 3.21. Prinsip Parallelogram vs Proporsionalitas Segitiga ....................................... 29
Gambar 3.22. Latihan 3.5 ................................................................................................... 30
Gambar 3.23. Vektor A dalam Koordinat x, y, z................................................................... 31
Gambar 3.24. Vektor A dalam Representasi Vektor Cartesian ............................................ 31
Gambar 3.25. Besar Vektor A ............................................................................................. 32
Gambar 3.26. Arah Vektor A ............................................................................................... 33
Gambar 3.27. Arah Vektor 3D ............................................................................................. 33
Gambar 3.28. Latihan 3.6 ................................................................................................... 34
vi
Gambar 3.29. Latihan 3.7 ................................................................................................... 35
Gambar 4.1. Aplikasi Diagram Benda Bebas ...................................................................... 40
Gambar 4.2. Sistem Gaya Koplanar.................................................................................... 41
Gambar 4.3. (a) Prinsip Kesetimbangan, (b) Diagram Benda Bebas................................... 43
Gambar 4.4. (a) Latihan 4.2, (b) Diagram Benda Bebas ..................................................... 44
Gambar 4.5. (a) Latihan 4.3, (b) Diagram Benda Bebas ..................................................... 45
Gambar 4.6. (a) Soal Latihan 4.4, (b) Diagram Benda Bebas ............................................. 46
Gambar 5.1. Gaya Tegak Lurus Sumbu Benda (a), ............................................................ 50
Gaya Tidak Tegak Lurus Sumbu Benda, (c) Gaya Sejajar Sumbu Benda. .......................... 50
Gambar 5.2. Besar dan Arah Momen Gaya ........................................................................ 51
Gambar 5.3. Definisi Arah Momen Ranah 2 (dua) Dimensi ................................................. 52
Gambar 5.4. Resultan Momen Gaya ................................................................................... 52
Gambar 5.5. Contoh Menentukan Momen Gaya ................................................................. 53
Gambar 5.7. Definisi Momen Gaya dengan Formulasi Vektor ............................................. 54
Gambar 5.8. Prinsip Transmisibilitas ................................................................................... 55
Gambar 5.9. Bentuk Vektor Cartesian ................................................................................. 56
Gambar 5.10. Latihan 5.2 (a), Momen akibat gaya F (b) ..................................................... 57
Gambar 5.11. Latihan 5.3 ................................................................................................... 58
Gambar 5.12. Vektor Posisi (a), Arah Momen (b)................................................................ 58
Gambar 5.13. Kopel ............................................................................................................ 59
Gambar 5.15. Kopel Ekivalen.............................................................................................. 61
Gambar 5.15. Latihan 5.4 ................................................................................................... 61
Gambar 6.1. Jenis Beban Terhadap Arah Memanjang Sumbu Batang ............................... 65
Gambar 6.2. Jenis Beban yang Bekerja pada Batang ......................................................... 66
Gambar 6.3. Contoh Penggambaran Beban Terpusat dalam Mekanika Teknik .................. 66
Gambar 6.4. Contoh Penggambaran Beban Merata, .......................................................... 67
(a) Sekumpulan anak berbaris di atas jembatan, (b) Pemodelan dalam Mekanika Teknik .. 67
Gambar 6.5. Jenis-jenis Batang .......................................................................................... 68
Gambar 6.6. Macam Reaksi Tumpuan................................................................................ 69
Gambar 6.7. Latihan 6.1, (a) Soal, (b) Free Body Diagram ................................................. 70
Gambar 6.8. Gambar Latihan 6.2 (a) Soal, (b) Diagram Benda Bebas................................ 71
Gambar 6.9. Gambar Latihan 6.3, (a) Soal, (b) Diagram Benda Bebas............................... 72
Gambar 7.1. Gaya dan Momen Dalam ................................................................................ 75
Gambar 7.2. Momen Lentur pada Batang ........................................................................... 76
Gambar 7.3. Kesepakatan Arah Positif dan Negatif ............................................................ 78
Gambar 7.4. Latihan 7.1 ..................................................................................................... 78
Gambar 7.5 Diagram Gaya Aksial (Kiri Atas), Diagram Gaya Geser (Kanan Atas), Diagram
Momen Bending (Bawah) .................................................................................................... 80
vii
Gambar 7.6. Latihan 7.2 ..................................................................................................... 81
Gambar 7.7. Latihan 7.3 ..................................................................................................... 83
Gambar 7.8. Latihan 7.4 ..................................................................................................... 84
Gambar 8.1. Klasifikasi Tegangan ...................................................................................... 89
Gambar 8.2. Diagram Tegangan-Regangan pada Mild Steel .............................................. 90
Gambar 8.3. Beban pada Batang ........................................................................................ 91
Gambar 8.4. Sumbu Netral ................................................................................................. 92
Gambar 8.5. Titik pusat (centroid) dari suatu segi empat .................................................... 93
Gambar 8.7. (a) Momen inersia Segi Empat b x h , (b) Momen Inersia Segi Empat h x b ... 96
Gambar 8.8. Jenis-jenis penampang profil batang menurut AISC ....................................... 96
Gambar 8.10. (a) Sumbu netral, (b) jarak d ......................................................................... 98
Gambar 8.11. Latihan 8.2 ................................................................................................... 99
viii
I. IDENTITAS MATA KULIAH
1
1.4. Rencana Pembelajaran Semester
CAPAIAN BOBOT
MINGGU POKOK SUB POKOK METODE INDIKATOR/KRITERIA
WAKTU PEMBELAJARAN PENILAIAN
KE BAHASAN BAHASAN PEMBELAJARAN PENILAIAN
KHUSUS (%)
1 2x50 Mahasiswa Dasar dan Dasar Ceramah Dasar dan aplikasi 5%
menit memahami konsep aplikasi mekanika Bimbingan tugas mekanika dipahami
kesetimbangan mekanika Aplikasi terstruktur dengan baik.
gaya dan mekanika
2 2x50 kesetimbangan Vektor dan Vektor Ceramah Konsep dasar vektor 5%
menit momen skalar Skalar Bimbingan tugas dan scalar dipahami.
terstruktur
3,4 4x50 Operasi vektor Penjumlahan Ceramah Operasi vektor dapat 10%
menit vektor Bimbingan tugas dilakukan dengan
Pengurangan terstruktur benar.
vektor Tugas-1
Perkalian
vektor
5 2x50 Gaya luar dan Penguraian Ceramah Operasi vektor dapat 5%
menit vektor gaya Gaya Bimbingan tugas digunakan untuk
Gaya koplanar terstruktur menguraikan gaya.
6,7 4x50 Kesetimbangan Kesetimbangan Ceramah Konsep 10%
menit benda tegar gaya arah x Bimbingan tugas kesetimbangan gaya
Kesetimbangan terstruktur arah-x dana rah-y dan
gaya arah y Tugas-2 kesetimbangan
Kesetimbangan momen dapat
momen dipahami.
Diagram benda Gaya/komponen gaya
bebas dan momen dapat
digambar pada
diagram benda bebas.
8 2x50 Konsep Momen Gaya Ceramah Konsep momen aksi, 5%
menit momen Momen Kopel reaksi dan kopel dapat
dipahami.
2
CAPAIAN BOBOT
MINGGU POKOK SUB POKOK METODE INDIKATOR/KRITERIA
WAKTU PEMBELAJARAN PENILAIAN
KE BAHASAN BAHASAN PEMBELAJARAN PENILAIAN
KHUSUS (%)
Bimbingan tugas
terstruktur
9 UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS)
10 2x50 Mahasiswa Teori batang Prinsip batang Ceramah Konsep teori batang 10%
menit memahami konsep dan Reaksi Jenis-jenis Bimbingan tugas dipahami dan
teori batang; pada tumpuan pembebanan terstruktur besarnya reaksi pada
dan dapat Jenis-jenis tumpuan dapat
menghitung tumpuan dihitung.
besarnya reaksi Reaksi gaya
gaya dan reaksi dan reaksi
momen sebagai momen
fungsi jenis tumpuan
tumpuan;
11,12 4x50 Mahasiswa dapat Gaya dalam Prinsip Ceramah Gaya geser dan 15%
menit menghitung dan momen potongan Bimbingan tugas bending momen dapat
besarnya gaya dalam Gaya geser terstruktur dihitung dengan
geser dan bending Bending prinsip potongan
momen dengan momen
metode potongan;
13,14 4x50 Mahasiswa dapat Diagram gaya Diagram gaya Ceramah Diagram gaya geser 15%
menit menggambarkan geser dan geser Bimbingan tugas dan bending momen
diagram gaya bending Diagram terstruktur dapat Digambar
geser dan bending momen bending Tugas-3 dengan prinsip
momen berbasis momen potongan
metode potongan;
15,16 4x50 Mahasiswa Tegangan Sumbu netral Ceramah Tegangan bending 15%
menit memahami konsep pada batang Momen inersia Bimbingan tugas dapat dihitung
tegangan ijin, penampang terstruktur menggunakan flexure
tegangan Flexure formula Tugas-4 formula;
maksimal, Tegangan ijin Ukuran profil optimal
tegangan tarik dan Tegangan dapat ditentukan
tagangan tekan; maksimal menggunakan
3
CAPAIAN BOBOT
MINGGU POKOK SUB POKOK METODE INDIKATOR/KRITERIA
WAKTU PEMBELAJARAN PENILAIAN
KE BAHASAN BAHASAN PEMBELAJARAN PENILAIAN
KHUSUS (%)
Tegangan tarik ketentuan tegangan
Tegangan ijin.
tekan
17 2x50 Mahasiswa Puntiran Puntiran Ceramah Konsep puntiran dapat 5%
menit memahami konsep Bimbingan tugas dipahami dengan
puntiran terstruktur benar.
18 UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS)
4
1.5. Peta Hubungan Mata Kuliah, Capaian Pembelajaran Lulusan dan
Unit Kompetensi
Grafik pada Gambar 1.1 berikut menggambarkan hubungan Capaian Pembelajaran Lulusan
D3 Teknik Permesinan Kapal, Unit Kompetensi dan ruang lingkup materi yang ada di dalam
Modul Ajar dan Perangkat Asesmen Mekanika Teknik.
SKKNI C.30110.020.01
(EK1: KUK 1.1, KUK 1.2) Mahasiswa memahami konsep SKKNI C.30110.020.01
kesetimbangan gaya dan (EK1: KUK 1.1, KUK 1.2)
Mahasiswa memahami konsep
kesetimbangan momen
puntiran
Mahasiswa memahami konsep
Mahasiswa memahami teori batang dan dapat
konsep tegangan ijin, menghitung besarnya reaksi
tegangan maksimal, tegangan CP KETERAMPILAN KHUSUS: gaya dan reaksi momen
tarik dan tagangan tekan MAMPU MENERAPKAN KONSEP SAINS sebagai fungsi jenis tumpuan
SKKNI C.30110.020.01 DASAR, MATEMATIKA, FISIKA, SKKNI
(EK2: KUK 2.4, 2.5, 2.6) C.30110.020.01
MEKANIKA FLUIDA, MEKANIKA TEKNIK,
UNTUK MENYELESAIKAN (EK2: KUK 2.1)
MARL016 PERMASALAHAN PADA SISTEM MARL016
(EL 10: PC 10.4, 10.5) Mahasiswa dapat
PERKAPALAN (EL 10: PC 10.1)
menghitung besarnya gaya
Mahasiswa dapat menghitung geser dan bending momen
besarnya momen inersia suatu dengan metode potongan
penampang profil SKKNI
C.30110.020.01
Mahasiswa dapat (EK2: KUK 2.3)
CP mata kuliah menggambarkan diagram gaya
SKKNI C.30110.020.01
(EK2: KUK 2.4, 2.5, 2.6) geser dan bending momen MARL016
berbasis metode potongan (EL 10: PC 10.2, 10.3)
MARL016
(EL 10: PC 10.4, 10.5) MARL016 SKKNI
(EL 10: PC 10.2, 10.3) C.30110.020.01
(EK2: KUK 2.3)
Gambar 1.1. Peta Hubungan Mata Kuliah, CP Lulusan dan Unit Kompetensi
5
II. DASAR DAN APLIKASI MEKANIKA
Mahasiswa dapat memahami prinsip dasar mekanika dan kontribusi bidang mekanika
dalam kehidupan sehari-hari.
Mekanika sendiri mempunyai 3 (tiga) cabang, seperti yang dapat dilihat pada diagram pada
Gambar 2.1. Rigid body mechanics (RBM) merupakan ilmu mekanika yang mempelajari
6
perilaku benda tegar (rigid body). RBM sendiri dibagi menjadi statika (static) dan dinamika
(dynamic). Statika mempelajari perilaku benda tegar pada keadaaan diam atau bergerak
secara konstan, sedangkan dinamika mempelajari perilaku benda tegar yang bergerak
dipercepat atau mengalami percepatan. RBM digunakan sebagai dasar mendesain dan
menganalisa berbagai macam struktur/bagian struktur, komponen mekanik dan elektrik, dan
lain-lain. Sedangkan deformable body mechanics (DBM) mempelajari perilaku benda yang
terdeformasi dan fluid mechanic (FM) merupakan bagian ilmu mekanika yang mempelajari
perilaku zat cair.
Langkah awal yang harus dilalui dalam mempelajari Mekanika Teknik adalah dengan
memahami konsep-konsep dasar mekanika. Konsep-konsep dasar tersebut meliputi :
2.4. Idealisasi
Idealisasi (idealization) atau biasa disebut pula dengan pemodelan (modelling). Fungsi dari
idealisasi atau pemodelan ini adalah untuk menyederhanakan aplikasi suatu teori. Terdapat
3 (tiga) macam pemodelan yang digunakan dalam mempelajari Mekanika Teknik, yaitu :
7
• Partikel (particles).
Partikel mempunyai massa, tetapi ukuran massanya bisa diabaikan. Contoh ketika kita
mempelajari gerakan suatu orbit. Karena ukuran bumi sangat kecil dibanding dengan
ukuran orbit, maka ukuran bumi menjadi tidak siknifikan. Sehingga bumi bisa
DIMODELKAN sebagai suatu PARTIKEL. Jika suatu benda dimodelkan sebagai suatu
partikel, maka analisa mekanik menjadi lebih sederhana.
Pada Gambar 2.2 di atas dapat dilihat bagaimana suatu sistem mekanis
disederhanakan (dimodelkan) menjadi suatu partikel. Pada sistem tersebut bekerja 3
(tiga) buah gaya; berat mobil, gaya tarik pada tali AB, dan gaya tarik pada tali AC. Ke-
tiga gaya tersebut bertemu pada satu titik (A), yang berupa hook. Sehingga hook (titik
A) tersebut bisa direpresentasikan sebagai sebuah partikel.
Merupakan kombinasi banyak partikel dimana posisi satu partikel dengan partikel lain
tetap (tidak berubah) baik sebelum atau sesudah terkena beban. Pada benda yang
tegar (rigid) sifat material tidak akan diperhitungkan dalam mempelajari pengaruh gaya
yang bekerja pada benda tersebut.
8
Gambar 2.3. Gaya Terpusat
Sebuah partikel yang diam (atau bergerak lurus dengan kecepatan konstan), akan
tetap pada kondisi demikian sampai terdapat gaya (unbalanced force) yang
menyebabkan partikel tersebut bergerak atau berubah kecepatannya. Jadi karena
besarnya resultan gaya menurut hukum Newton ke-1 ini sama dengan 0 (nol), maka
menyebabkan besarnya kecepatan yang dihasilkan adalah konstan. Gambaran dari
kondisi kesetimbangan (equilibrium) ini dapat dilihat pada Gambar 2.4.
(2.1)
=0
9
(2.2)
=0
Jika pada suatu partikel (benda) bekerja gaya (unbalanced force = F), maka benda
tersebut mengalami percepatan a; dengan arah yang sama dengan arah F, dan
besarnya berbanding lurus dengan F (Gambar 2.5).
Secara matematis, hubungan antara gaya F, percepatan dan benda dapat dilihat pada
Persamaan 2.3.
= (2.3)
Gaya aksi dan reaksi antara dua benda (partikel) besarnya sama, berlawanan arah
dan segaris (collinear). Gambaran gaya aksi dan reaksi tersebut dapat dilihat pada
Gambar 2.6.
10
(2.4)
=
Dimana :
G = konstanta gravitasi;
= 66.73(10-12) m3/(kg.s2);
= (2.5)
Dari Persamaan 2.5 di atas, maka perlu dipahami adanya perbedaaan antara berat (weight)
dan massa (mass). Massa (mass) – m adalah ukuran kuantitas materi yang tidak berubah dari
satu lokasi ke lokasi lain. Sedangkan berat (weight) – W mengacu pada besarnya gaya tarik
bumi (gravitasi) pada suatu benda atau sejumlah massa. Besarnya tergantung pada elevasi
benda/massa.
2.7. Satuan
Ke-empat besaran dasar seperti panjang, waktu, masa dan gaya tersebut di atas tidaklah
berdiri sendiri antara satu dengan yang lain. Kenyataannya saling dihubungkan oleh hukum
Newton ke-2 tentang gerak (Tabel 2.1).
Pada Tabel 2.1 di atas dapat dilihat bahwa satuan terdiri atas satuan dasar (base units) dan
satuan yang diperoleh dari turunan satuan dasar (derived unit). Pada Tabel 2.1 juga bisa
dilihat adanya sistem SI dan FPS. Konversi dari besaran dasar dari FPS ke SI dapat dilihat
pada Tabel 2.2.
11
Tabel 2.1. Sistem satuan
Besaran FPS SI
Gaya lb 4.448 N
Masa slug 14.59 kg
Panjang ft 0.3048 m
Latihan 2.1
Jawab:
2 1000 1ℎ
2 /ℎ =
ℎ 3600
2000
2 /ℎ =
3600
2 /ℎ = 0.556 /
0.556 1
0.556 / =
0.3048
0.556 / = 1.82 /
Latihan 2.2
Jawab:
12
4.448
300 ∙ = 300 ∙
1
300 ∙ = 1334.5 ∙ = 1.33 ∙
52 14.59 1
52 / =
1 0.3048
52 / = 26.8 (10 ) /
Latihan 2.3
Evaluasi masing-masing persamaan berikut dan nyatakan dengan satuan SI yang sesuai.
c) 45 MN3/900 Gg.
Jawab:
Langkah pertama adalah mengkonversikan setiap bilangan ke satuan dasar, lakukan operasi
yang diperlukan dan pilih satuan yang paling sesuai.
13
1 1
144(10 ) ∙ = 144(10 ) ∙
10 10
144(10 ) ∙ = 0.144 ∙
c) 45 /900 = ( )
45 /900 = 50(10 ) /
1 1
45 /900 = 50(10 )
10
45 /900 = 50 /
2.8. Rangkuman
Rangkuman isi modul ini adalah :
a) Mekanika adalah cabang ilmu Fisika yang mempelajari perilaku benda diam atau
bergerak akibat terkena suatu gaya. Mekanika dibagi menjadi :
b) Mekanika benda tegar dibagi lagi menjadi statika (static) dan dinamika (dynamic).
d) Mahasiswa harus memahami Hukum Newton tentang gerak (hukum Newton 1, 2 dan
3), dan Hukum Newton tentang gaya tarik menarik antara 2 (dua) benda/partikel.
e) Mahasiswa harus memahami konsep idealisasi atau pemodelan, berat, satuan dan
konversi satuan.
2. Sajikan masing-masing bilangan berikut ke dalam bentuk tiga angka siknifikan dan
nyatakan pula dalam bentuk satuan SI yang paling sesuai: (a) 45.320 kN, (b) 568
(105) mm, dan (c) 0.00563 mg.
14
3. Pascal (Pa) merupakan satuan terkecil dari tekanan. Untuk membuktikannya,
konversikan 1 Pa (= 1 N/m2) ke dalam lb/ft2. Berapa pula tekanan atmosphere
pada permukaan air laut (14.7 lb/in2) jika dikonversikan ke dalam Pascal?
2.10. Referensi
Hibbeler, (2010). Engineering Mechanics: Static, 12th. ed.
15
III. OPERASI VEKTOR DAN VEKTOR GAYA
Skalar (scalar) merupakan suatu nilai fisik yang mempunyai besar (magnitude); dimana
besaran tersebut bisa bernilai positif (+) atau negatif (-). Sedangkan vektor (vector)
merupakan suatu nilai fisik yang tidak hanya mempunyai besar (magnitude), tetapi juga arah
(direction). Contoh skalar adalah panjang, massa dan waktu, sedangkan contoh dari vektor
adalah gaya, posisi dan momen.
Gambar 3.1 merupakan gambar grafis suatu vektor yang ditunjukkan dengan adanya anak
panah. Dimana panjang panah merupakan besar vektor, sudut () antara vektor dan suatu
aksis tetap merupakan arah dari garis aksi gaya, dan ujung (tip) dari panah mengindikasikan
arah vektor.
16
PADA MODUL INI, A (TEBAL) MERUPAKAN VEKTOR, DAN
A (MIRING) MERUPAKAN BESAR VEKTOR
A. Operasi perkalian/pembagian
Beberapa hal terkait antara perkalian atau pembagian suatu vektor dengan skalar
adalah sebagai berikut :
Suatu vektor jika dilakukan operasi perkalian dengan skalar yang bernilai positif,
maka besar vektor akan meningkat sebesar hasil perkaliannya. Tetapi arah vektor
tidak berubah.
Namun jika dikalikan dengan skalar yang bernilai negatif, maka besar vektor akan
sama dengan hasil perkaliannya dengan arah vektor menjadi berubah.
Pada Gambar 3.2 dapat dilihat suatu ilustrasi sederhana dari operasi perkalian
dan pembagian. Suatu vektor A dikalikan dengan 2 (skalar positif) menghasilkan
vektor 2A yang arahnya tetap sama. Sedangkan jika dikalikan dengan 1 (skalar
17
negatif), maka akan menghasilkan vektor –A dengan arah yang berubah
(berlawanan).
Ada 2 (dua) cara yang bisa digunakan untuk operasi penjumlahan atau pengurangan
vektor, yaitu: prinsip parallelogram dan prinsip segitiga (triangle).
Prinsip Parallelogram
Pada Gambar 3.3 terdapat 2 (dua) vektor (A dan B) yang akan dijumlahkan.
Langkah-langkah penjumlahan adalah sebagai berikut:
2. Dari ujung depan (head) vektor B buatlah garis sejajar dengan vektor A;
Demikian juga dari ujung depan vektor A buatlah garis sejajar dengan vektor
B. Akibatnya terjadi perpotongan di titik P;
Pada Gambar 3.4 dapat dilihat gambaran bagaimana operasi penjumlahan vektor
dengan cara triangle. Mekanismenya adalah sebagai berikut :
2. Tarik garis dari ujung belakang vektor A sampai ujung depan vektor B;
18
Gambar 3.4. Prinsip Triangle
A c
B
b a
Hukum Cosinus
(3.1)
= + −2 cos
Hukum Sinus
(3.2)
= =
sin sin sin
Namun ada pula penjumlahan antara 2 (dua) vektor yang collinier. 2 (dua) vektor
dikatakan collinier adalah jika 2 (dua) vektor tersebut mempunyai arah gaya yang
sama. Sehingga prinsip penjumlahan antara 2 (dua) vektor yang collinier
menggunakan prinisp penjumlahan skalar, bukan parallelogram ataupun triangle.
Gambar 3.6 menggambarkan prinsip penjumlahan 2 (dua) vektor yang collinier.
19
Gambar 3.6. Penjumlahan 2 (dua) Vektor yang Collinier
Mengacu pada Gambar 3.6 di atas, maka persamaan untuk penjumlahan 2 (dua)
vektor yang collinier adalah sebagai berikut :
= + (3.3)
C. Operasi pengurangan
Pada Gambar 3.7 dapat dilihat mekanisme pengurangan antara 2 (dua) vektor. Vektor
A dikurangi dengan vektor B. Vektor B dibalik arahnya menjadi -B. Kemudian vektor
A di ”jumlahkan” dengan vektor -B, bisa dengan prinsip parallelogram ataupun
segitiga.
= − = + (− ) (3.4)
20
3.4. Resultan Gaya dan Komponen Gaya
Prinsip yang digunakan untuk mencari besarnya resultan gaya adalah menggunakan prinsip
penjumlahan vektor sebagaimana dijelaskan pada Sub Bab 3.3, yaitu dengan prinsip
parallelogram atau segitiga.
Gambar 3.8 menggambarkan bagaimana menentukan besarnya resultan gaya. Vektor gaya
F1 akan dijumlahkan dengan vektor gaya F2 (Gambar 3.8 (a)). Gambar 3.8 (b)
menggambarkan prinsip parallelogram, dan Gambar 2.8 (c) menggambarkan prinsip segitiga.
Kedua cara tersebut sama-sama menghasilkan resultan vektor gaya (FR).
Prinsip parallelogram dan segitiga tersebut juga bisa digunakan untuk mengetahui besarnya
komponen gaya (uraian gaya) yang bekerja pada arah sumbu tertentu. Gambar 3.9
menunjukkan bagaimana cara mengetahui komponen gaya dari suatu gaya F pada arah
sumbu u dan v. Gambar 3.9. (a) menunjukkan cara parallelogram dan Gambar 3.9. (b)
menunjukkan cara segitiga. Pada prinsip parallelogram, untuk mengetahui besarnya
komponen gaya arah sumbu-u (Fu), maka dari ujung gaya F ditarik garis sejajar terhadap
sumbu-v sampai memotong sumbu-u. Begitu juga jika ingin mengetahui komponen gaya arah
sumbu-v (Fv), maka dari ujung gaya F ditarik garis sejajar sumbu-u sampai memotong sumbu-
v.
21
3.5. Penjumlahan Beberapa Gaya
Realita jumlah gaya atau komponen gaya yang bekerja pada suatu sistem (partikel) bisa lebih
dari dua (banyak). Untuk mencari besarnya resultan gaya, maka langkah yang harus
dilakukan adalah mencari resultan setiap 2 (dua) komponen gaya. Pada Gambar 3.10
ditunjukkan suatu sistem yang terdiri atas 3 (tiga) komponen gaya, yaitu F1, F2 dan F3, dengan
posisi seperti gambar. Untuk mencari FR, maka dicari terlebih dulu resultan gaya antara F1
dan F2, yaitu FR1 = F1 + F2. Kemudian FR merupakan penjumlahan antara F3 dengan FR1 (FR =
FR1 + F3 = F1 + F2 + F3).
Latihan 3.1.
Pada sebuah sekrup (screw eye) bekerja gaya F1 dan F2 (Gambar 3.11). Tentukan besar dan
arah dari resultan gayanya.
Jawab:
Buat parallelogram dan model segitiga dari soal di atas (Gambar 3.12).
22
(a) (b)
= 213
150 212.6
=
sin sin 115°
150
sin = (sin 115°)
212.6
sin = 39.8°
Latihan 3.2.
Uraikan gaya horizontal 600 lb menjadi komponen-komponen gaya yang bekerja sepanjang
sumbu u dan sumbu v. Tentukan pula besar dari masing-masing komponen gaya tersebut.
23
Gambar 3.13. Latihan 3.2
Jawab:
Dengan prinsip parallelogram (Gambar 3.14-a) buat garis dari gaya 600 lb sejajar sb-v sampai
berpotongan dengan sb-u (titik B). Dan dari 600 lb sejajar sb-u sampai berpotongan dg sb-v
(titik C). Sehingga dari titik A ke titik B = Fu, dan dari titik A ke titik C = Fv. Kemudian dengan
menggunakan prinsip segitiga, besarnya Fu dan Fv dapat diketahui (Gambar 3.14-b).
(a) (b)
600
=
sin 120° sin 30°
= 1039
600
=
sin 30° sin 30°
= 600
24
3.6. Coplanar Forces
Jika gaya diuraikan menjadi komponen gaya sepanjang sumbu-x dan sumbu-y, maka
komponen-komponen gaya tersebut disebut dengan Rectangular Components.
Panyelesaian permasalahan rectangular component tersebut menggunakan notasi skalar
(scalar notation) atau notasi vektor Cartesian (Cartesian vector notation).
(a) (b)
= + (3.5)
= cos (3.6)
= sin (3.7)
= (3.8)
(3.9)
=−
Untuk notasi vektor Cartesian, komponen gaya pada arah x dan y diuraikan dalam bentuk
vektor Cartesian i dan j seperti pada Gambar 3.16.
25
Gambar 3.16. Unit Vektor Cartesian
= + (3.10)
Untuk mencari besarnya resultan dari gaya coplanar (Coplanar force) adalah dengan
menguraikan setiap gaya menjadi komponen-komponen gaya arah sumbu-x dan arah sumbu-
y (Fx dan Fy). Kemudian resultant gaya diperoleh dengan menjumlahkan masing-masing
resultan komponen gaya dengan prinsip parallelogram.
Latihan 3.3.
Jawab:
Gaya-gaya di atas diuraikan ke dalam sumbu-x dan sumbu-y sebagai berikut (Gambar 3.18).
Dari Gambar 3.18 diperoleh uraian masing-masing gaya sebagai berikut :
F1 = F1x i + F1y j
F2 = -F2x i + F2y j
F3 = F3x i – F3y j
26
Gambar 3.18. Uraian Gaya Sumbu-x dan Sumbu-y
FR = F1 + F2 + F3
= F1x i + F1y j - F2x i + F2y j + F3x i – F3y j
= (F1x - F2x + F3x) i + (F1y + F2y - F3y) j
= (FRx) i + (FRy) j
Jika diselesaikan dengan menggunakan notasi skalar, maka besarnya resultan gaya adalah
sebagai berikut.
Secara simbolis, gaya-gaya coplanar merupakan penjumlahan aljabar dari semua komponen
gaya pada arah-x dan arah-y.
Mengacu pada Gambar 3.19, besarnya rasultan gaya arah sumbu-x, resultan gaya arah
sumbu-y dan resultan gaya total dapat diperoleh dengan Persamaan 3.11 sampai Persamaan
3.13.
=Σ (3.11)
=Σ (3.12)
(3.13)
= +
27
Gambar 3.19. Resultan Gaya Coplanar
Sedangkan arah resultan gaya coplanar () dapat ditentukan dengan menggunakan prinsip
trigonometri pada Persamaan 3.14.
(3.14)
= tan
Latihan 3.4.
Hitung besarnya komponen x dan y dari F1 dan F2 yang bekerja pada boom berikut (Gambar
3.20). Nyatakan setiap gaya tersebut dalam bentuk vektor cartesian
Jawab:
Cara sederhana untuk menguraikan gaya F1 dan F2 adalah dengan notasi skalar. Komponen
gaya F1 diperoleh dengan prinsip parallelogram (Gambar 3.21-a) dan komponen gaya F2
diperoleh dengan prinsip proporsionalitas segitiga (Gambar 3.21-b).
28
(a) (b)
12
=
260 N 13
12
= 260 N = 240 N →
13
5
= 260 N = 100 N ↓
13
Sehingga besarnya gaya F1 dan F2 jika ditulis dalam bentuk vektor Cartesian adalah sebagai
berikut:
F1 = {-100 i + 173 j} N
F2 = {240 i - 100 j} N
Latihan 3.5.
Suatu tautan (link) terkena dua buah gaya F1 dan F2. Tentukan besar dan arah dari resultan
gayanya.
29
Gambar 3.22. Latihan 3.5
Jawab:
=Σ (→ +)
= 600 cos 30° N − 400 sin 45° N
= 236.8 N →
=Σ (↑ +)
= 600 sin 30° N + 400 cos 45° N
= 582.8 N ↑
582.8 N
= tan = 67.9°
236.8 N
F1 = {600cos30 i + 600sin30 j} N
F2 = {-400sin45 i + 400cos45 j} N
FR = F1 + F2
= (600cos30 N - 400sin45 N) i + (600sin30 N + 400cos45) j
= {236.8 i + 582.8 j} N
30
3.7. Cartesian Vektor
Pada sub-bab sebelumnya, semua gaya ataupun komponen gaya bekerja pada bidang 2
dimensi (2D). Untuk gaya-gaya ataupun komponen gaya yang bekerja pada bidang 3 dimensi
(3D), vektor-vektor gaya direpresentasikan ke dalam bentuk vektor-vektor Cartesian
(Cartesian vectors).
Pada Gambar 3.23 di atas vektor A bisa mempunyai satu, dua atau tiga komponen rectangular
sepanjang koordinat x, y dan z. Untuk mencari berapa besarnya vektor A tersebut digunakan
prinsip parallelogram. Dimana vektor A diuraikan menjadi beberapa komponen yaitu: A = A’
+ Az, dan A’ = Ax + Ay. Dalam ranah 3D sekumpulan unit vektor Cartesian i, j dan k digunakan
untuk menggambarkan arah sumbu x, y dan z. Sehingga representasi vektor A pada Gambar
3.23 di atas dalam bentuk unit vektor Cartesian dapat dilihat pada Gambar 3.24.
31
= + + (3.15)
Untuk menentukan besarnya vektor A di atas dapat dilihat pada Gambar 3.25, dimana
terdapat segitiga berwarna biru dan abu-abu.
= ′ + (3.16)
′= + (3.17)
= + + (3.18)
Setelah mengetahui besarnya vektor A, maka arah vektor A ditentukan dengan menggunakan
Gambar 3.26. Mengacu Gambar 3.26, arah vektor A dalam koordinat 3D adalah : (alpha),
(beta), dan (gamma). Diperoleh dengan cara mengukur dari ujung belakang (tail) vektor
ke arah sumbu x, y dan z positif. Untuk menentukan besarnya (alpha), (beta), dan
(gamma) dapat melihat Gambar 3.27. Dari Gambar 2.27 diperoleh :
32
Gambar 3.26. Arah Vektor A
Terdapat cara lain untuk menentukan arah vektor A, yaitu dengan mengunakan unit vektor uA
pada arah vektor A.
= = + + (3.20)
Sehingga :
INGAT...... + + =
Jika besar dan koordinat vektor A sudah diketahui, maka besarnya vektor A jika ditulis dalam
bentuk vektor Cartesian adalah :
33
= = cos + cos + cos
(3.22)
= + +
= + +
= + +
= + =( + ) + + +( + )
Sehingga bisa disimpulkan bahwa besarnya resultan gaya merupakan penjumlahan vektor
dari semua gaya-gaya yang berkerja. Jika ditulis dalam bentuk persamaan, dapat dilihat pada
Persamaan 3.23.
=Σ =Σ +Σ +Σ (3.23)
Latihan 3.6.
Jawab:
34
cos = 1 − (0.5) − (0.707) = ±0.5
Karena arah Fx adalah pada sumbu-x positif, maka nilai yang memenuhi adalah 60. Dengan
menggunakan Persamaan 3.22, dan memasukkan F = 200 N, maka diperoleh:
Latihan 3.7.
Tentukan besar dan sudut arah koordinat dari resulatan gaya yang bekerja pada ring berikut.
(a) (b)
Jawab:
Kedua gaya pada Gambar 3.29 (a) ditulis dalam bentuk vektor Cartesian. Sehingga besarnya
resultan gaya pada Gambar 3.29 (b) adalah:
Besarnya FR adalah :
35
Sudut arah koordinat ditentukan dengan menggunakan unit vektor.
50 40 180
= = − +
191.0 191.0 191.0
= 0.2617 − 0.2094 + 0.9422
Sehingga:
3.9. Rangkuman
Rangkuman isi modul ini adalah :
a) Vektor mempunyai besar dan arah. Contoh vektor adalah gaya, momen dan posisi.
c) Resultan vektor diperoleh dengan menggunakan hukum cosinus, dan arah resultan
diperoleh dengan menggunakan hukum sinus.
d) Untuk menjumlahkan beberapa gaya atau komponen gaya dilakukan per-dua gaya
atau komponen gaya.
e) Gaya koplanar adalah gaya yang diuraikan menjadi komponen-komponen gaya arah
sumbu-x dan sumbu-y, atau disebut juga dengan Rectangular components.
f) Penyelesaian gaya koplanar menggunakan cara notasi skalar atau notasi vektor
Cartesian.
1. Tentukan besarnya resultan gaya dan arahnya jika diukur berlawanan jarum jam
dari sumbu-x positif.
36
2. Tentukan besarnya resultan gaya dan arahnya () jika diukur berlawanan jarum
jam dari sumbu-x positif.
4. Jika besarnya resultan gaya yang bekerja pada bracket adalah FR = {-300i + 650j
+ 250k} N, tentukan besar dan sudut arah koordinat dari F.
37
3.11. Referensi
Hibbeler, (2010). Engineering Mechanics: Static, 12th. ed.
38
IV.KESETIMBANGAN BENDA TEGAR
Mahasiswa memahami konsep kesetimbangan gaya arah 2 (dua) dimensi dan 3 (tiga)
dimensi;
Mahasiswa dapat mengambarkan semua gaya dan komponen gaya arah 2 (dua)
dimensi dan 3 (tiga) dimensi pada suatu diagram benda bebas.
Kesetimbangan disebut juga dengan istilah equilibrium atau static equilibrium. Suatu partikel
dikatakan dalam kondisi setimbang (in equilibrium) jika:
Untuk menjaga agar suatu benda atau partikel senantiasa dalam kesetimbangan, maka harus
memenuhi 2 kriteria berikut :
a) Jika melihat Hukum Newton-1, maka resultan gaya yang bekerja pada partikel sama
dengan 0 (nol).
Σ =0 (4.1)
b) Jika melihat Hukum Newton-2, karena benda dalam keadaan bergerak dengan
kecepatan konstan (a=0), maka resultan gaya yang bekerja juga sama dengan 0 (nol).
Σ = =0 (4.2)
39
4.3. Diagram Benda Bebas
Disebut juga dengan istilah Free Body Diagram atau FBD. Untuk bisa menggunakan
persamaan kesetimbangan dengan benar, maka perlu digambarkan semua gaya-gaya, baik
yang sudah diketahui ataupun belum, yang bekerja pada partikel atau benda tersebut.
Gambar atau diagram yang digunakan untuk menunjukkan gaya-gaya (diketahui atau belum)
yang bekerja pada partikel tersebut disebut dengan diagram benda bebas. Tanpa adanya
diagram benda bebas (FBD), maka sangatlah tidak mungkin kita bisa menyelesaikan
persamaan kesetimbangan, atau paling tidak akan mengalami kesulitan.
Tahapan-tahapan menggambar diagram benda bebas (FBD) secara garis besar adalah
sebagai berikut:
– Untuk gaya yang sudah diketahui: diberi tanda (besar dan arahnya);
d)
Gambar 4.1. Aplikasi Diagram Benda Bebas
40
Pada Gambar 4.1 dapat dilihat suatu contoh bagaimana membuat diagram benda bebas
(FBD). Suatu pesawat angkat sedang mengangkat beban berupa drum dengan berat W.
Sistem pengangkat seperti yang terlihat pada Gambar 4.1 berupa crane dengan konfigurasi
wire rope sedemikian rupa. Diagram benda bebas untuk menggambarkan kesetimbangan
sistem pengangkat tersebut ditinjau pada titik A. Artinya titik A tersebut merupakan suatu
“partikel” yang akan dilihat kesetimbangannya. Maka pada titik A tersebut akan diaplikasikan
persamaan kesetimbangan (Persamaan 4.1).
Besarnya resultan gaya pada sistem gaya koplanar di atas harus sama dengan nol
(Persamaan 4.1). Jika diuraikan lebih rinci menurut sumbu-x dan sumbu-y, maka persamaan
kesetimbangannya sebagai berikut.
Σ =0 (4.3)
Σ =0 (4.4)
Σ + Σ =0 (4.5)
Untuk membuat diagram benda bebas (FBD) pada sistem gaya koplanar dapat mengikuti
langkah-langkah berikut:
Tandai semua gaya (besar & arah) baik yang diketahui ataupun yang belum diketahui;
41
Arah gaya yang belum diketahui pada tahap ini bisa diasumsikan dahulu.
Komponen akan positif JIKA diarahkan sepanjang sumbu positif. Dan akan negatif
JIKA diarahkan sepanjang sumbu negatif;
Jika terdapat 2 (dua) gaya yang tidak diketahui dan ada unsur pegas (spring) di
dalamnya, maka terapkan Persamaan 4.6.
= (4.6)
Dimana k adalah koefisien kekakuan (stiffness) dan s adalah deformasi; selisih antara
panjang pegas setelah mengalami tarikan dengan panjang pegas semula. Jika selisih
tersebut bernilai positif maka akan terjadi elongasi (elongation), dan sebaliknya jika
selisih bernilai negatif maka akan terjadi deformasi.
Karena asumsi gaya bernilai positif, TETAPI jika dari hasil perhitungan bernilai negatif
(-), maka arah gaya pada diagram benda bebas seharusnya bernilai kebalikannya atau
negatif (-).
Latihan 4.1
Tentukan besarnya tension pada kabel BA dan BC yang diperlukan untuk menahan beban
silinder sebesar 60 kg.
Jawab:
42
Dengan menggunakan prinsip kesetimbangan, maka dapat diketahui besarnya tegangan tarik
(tension) pada tali BD (Gambar 4.4.a). Pada Gambar 4.4.b dapat dilihat diagram benda bebas
dari soal tersebut.
(a) (b)
= 0.8839
= 475.66 N = 476 N
Sehingga dengan mensubstitusi nilai TC ke Persamaan (1) atau Persamaan (2) diperoleh TA
sebesar 420 N.
Latihan 4.2
Peti 200 kg ditahan dengan menggunakan 2 buah tali AB dan AC. Setiap tali mampu menahan
gaya maksimal 10 kN sebelum putus. Jika AB harus tetap pada posisi horisontal, berapa besar
sudut () terkecil dimana peti bisa ditahan?
Jawab:
43
Pada diagram benda bebas di atas terdapat 3 gaya yang bekerja, dimana FD merupakan
berat peti, yang besarnya :
= 200 (9.81)
(a) (b)
(→ +) ∑ = 0; − cos + = 0; = (1)
(↑ +) ∑ = 0; sin − 1962 = 0 (2)
Dari Persamaan (1) FC > FB untuk cos < 1. Sehingga tali AC akan mencapai gaya tarik
maksimal 10 kN lebih dahulu dibanding tali AB. Oleh sebab itu substitusi FC 10 kN ke
Persamaan 2 diperoleh:
[10(10 )] =
. °
= 9.81 kN
44
Latihan 4.3
Tentukan panjang kawat AC yang dibutuhkan untuk menahan lampu (8 kg) pada posisi seperti
Gambar 4.5.a. Panjang pegas AB 0.4 m (l’ AB) dan kekakuan pegas kAB 300 N/m.
(a) (b)
Jawab:
Berat lampu:
W = 8 × 9.81 = 78.5 N
Persamaan Kesetimbangan:
(→ +) ∑ = 0; − cos 30° = 0
(↑ +) ∑ = 0; sin 30° − 78.5 = 0
= 157.0 N; = 135.9 N
=
135.9 N = 300 N/m( )
= 0.453 m
= ′ +
= 0.4 + 0.453 = 0.853 m
45
Jadi jarak horizontal dari C ke A adalah:
(4.7)
+ + =0
Untuk bisa memenuhi Persamanan (4.7) di atas, maka ke-tiga persamaan kesetimbangan
berikut harus dipenuhi, yaitu:
(4.8)
= 0; = 0; = 0;
Penentuan bagaiaman bentuk diagram benda bebas sistem gaya 3 (tiga) dimensi sama
caranya dengan sistem gaya 2 (dua) dimensi, hanya ditambah sumbu-z.
Latihan 4.4
Sebuah beban sebesar 90-lb digantungkan pada sebuah kait (Gambar 4.6.a). Jika beban
tersebut ditumpu oleh 2 (dua) buah tali dan sebuah pegas yang mempunyai konstanta pegas
k = 500 lb/ft, tentukan besarnya gaya pada masing-masing tali dan regangan pada pegas agar
system tetap setimbang. Tali AD terletak pada bidang x-y dan tali AC pada bidang x-z.
(a) (b)
Gambar 4.6. (a) Soal Latihan 4.4, (b) Diagram Benda Bebas
46
Jawab:
Diagram benda bebas dapat dilihat pada Gambar 4.6.b. Dari diagram benda bebas tersebut,
maka susunan persamaan kesetimbangan adalah sebagai berikut:
∑ = 0; − 90 = 0 (3)
Dengan menyelesaikan Persamaan (3) bisa diketahui besarnya FC. Nilai FC dimasukkan ke
Persamaan (1) bisa diketahui FD. Kemudian dengan menyelesaikan Persamaan (2) bisa
diketahui besarnya FB.
= 150
= 240
= 207.8
=
207.8 = (500)( )
= 0.416 ft
4.6. Rangkuman
Rangkuman isi modul ini adalah :
a) Ilmu statika adalah ilmu yang mempelajari kesetimbangan suatu benda atau partikel.
b) Suatu partikel dikatakan dalam kondisi setimbang (in equilibrium) jika tetap diam (jika
sebelumnya diam), atau mempunyai kecepatan konstan (jika sebelumnya bergerak).
c) Secara matematis kondisi setimbang diartikan dengan resultan gaya yang bekerja
pada benda atau partikel sama dengan 0 (nol), atau ΣF = 0.
e) Prinsip kesetimbangan dari suatu gaya koplanar diuraikan ke dalam sumbu-x dan
sumbu-y, dimana besarnya resultan gaya dari masing-masing komponen sumbu
harus sama dengan 0 (nol); ΣFx = 0, ΣFy = 0.
47
f) Untuk sistem gaya 3 (tiga) dimensi, prinsipnya sama dengan gaya koplanar. Hanya
saja komponen gayanya menjadi 3 (tiga), yaitu komponen gaya yang bekerja pada
sumbu-x, sumbu-y dan sumbu-z. Sehingga besarnya resultan gaya pada masing-
masing komponen juga harus sama dengan 0 (nol); ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣFz = 0.
1. Sebuah kotak dengan berat 550 lb seperti pada gambar. Tentukan besarnya gaya-
gaya yang bekerja pada masing-masing tali.
Soal - 1 Soal - 2
2. Jika massa silinder C adalah 40 kg, tentukan besarnya massa silinder A yang
digunakan untuk menahan sistem seperti ditunjukkan pada gambar.
3. Sebuah kapal ditarik oleh tugboat dengan gaya sebesar 50 kN (tali AB). Tentukan
besarnya gaya pada masing-masing tali kekang (BC dan BD), jika kapal bergerak
dengan kecepatan konstan.
Soal - 3 Soal - 4
4. Tentukan besarnya regangan pada pegas AC dan AB agar sistem dalam keadaan
tetap setimbang. Diketahui massa balok adalah 2 kg.
5. Tentukan besarnya gaya pada masing-masing tali yang dibutuhkan untuk menyangga
platform dengan berat 3500 lb. Besarnya jarak d = 4 ft.
48
6. Tentukan besarnya gaya pada masing-masing tali yang digunakan untuk mengangkat
traktor yang mempunyai massa 8 Mg.
Soal - 5 Soal - 6
4.8. Referensi
Hibbeler, (2010). Engineering Mechanics: Static, 12th. ed.
49
V. MOMEN DAN KESETIMBANGAN MOMEN
Mahasiswa dapat mengambarkan diagram benda bebas dari momen gaya dan
momen kopel.
Gaya Tidak Tegak Lurus Sumbu Benda, (c) Gaya Sejajar Sumbu Benda.
Pada Gambar 5.1 di atas merupakan contoh sederhana untuk menggambarkan konsep
momen, yaitu ketika kita akan membuka suatu baut dengan menggunakan sebuah kunci pas.
Jika suatu gaya dikenakan pada pegangan dari kunci pas tersebut maka akan memutar baut
terhadap titik O (atau terhadap sumbu-z). Besarnya momen secara langsung sebanding
dengan besarnya F dan jarak tegak lurus atau yang disebut dengan lengan momen (d).
Semakin besar gaya atau semakin besar lengan momen, maka besarnya momen atau efek
50
putar juga akan semakin besar. Jika gaya F yang bekerja tidak tegak lurus (atau 90),
maka akan lebih sulit untuk bisa memutar baut. Karena jarak tegak lurusnya menjadi d’ (bukan
d lagi). Dan besarnya d’ lebih kecil dari d (d’ = dsin). Tetapi jika F bekerja searah atau
sepanjang kunci pas, maka besarnya lengan momen sama dengan 0 (nol) dan momen gaya
F terhadap titik O juga akan sama dengan 0 (nol). Dengan kata lain tidak akan terjadi putaran.
Momen gaya (momen) merupakan besaran vektor. Maka untuk menentukan besarnya
momen gaya dapat dilakukan dengan 2 (dua) cara, yaitu formulasi skalar dan formulasi
vektor.
Pada Gambar 5.2 dapat dilihat bahwa F (gaya) dan titik O terletak pada satu bidang. MO
adalah momen terhadap titik O atau momen terhadap garis sumbu yang melalui titik O dan
tegak lurus terhadap bidang. Oleh sebab itu MO merupakan besaran vektor karena
mempunyai besar dan arah. Besarnya momen dengan cara formulasi skalar adalah sebagai
berikut:
= (5.1)
Dimana d merupakan lengan momen (moment arm) atau jarak tegak lurus dari sumbu pada
titik O terhadap garis aksi gaya. Satuan momen adalah N.m atau lb.ft.
51
Arah MO didefinisikan menurut sumbu momennya; yaitu tegak lurus terhadap bidang dimana
F bekerja dan lengan momennya d. Untuk memudahkan menentukan arah momen yang
bekerja bisa digunakan aturan tangan kanan. Seperti pada Gambar 5.2 bahwa ibu jari
merupakan arah sumbu. Arah momen mengikuti arah putar jari-jari tangan kanan. Cara yang
lebih mudah adalah mengambarkannya dalam 2 (dua) dimensi seperti pada Gambar 5.3.
Pada Gambar 5.3 dapat diketahui jika arah momen MO mengikuti arah putar yang cenderung
dihasilkan oleh gaya F terhadap titik O. Sehingga tampak jelas pada Gambar 5.3 bahwa arah
momen adalah berlawanan jarum jam.
ARAH MOMEN :
SEARAH JARUM JAM ATAU BERLAWANAN JARUM JAM
Jika pada suatu sistem terdapat banyak gaya yang bekerja, maka juga akan mungkin timbul
banyak momen (Gambar 5.4). Oleh sebab itu besarnya resultan momen terhadap suatu titik
tertentu (misal titik O) merupakan penjumlahan aljabar dari semua momen yang bekerja
terhadap titik tertentu tersebut.
Secara matematis besarnya resultan momen terhadap titik O (Gambar 5.4) adalah :
52
↺ +( ) = (5.2)
( ) = − +
Dari persamaan matematis tersebut jika hasilnya bernilai positif (+) maka arah reslutan
momen sesuai dengan arah asumsi pada Persaman (5.2), yaitu BERLAWANAN JARUM
JAM. Namun jika bernilai negatif (-), maka arahnya menjadi SEARAH JARUM JAM. Pada
Gambar 5.5 berikut dapat dilihat contoh-contoh bagaimana menentukan besarnya suatu
momen gaya.
(d) (e)
Latihan 5.1
53
Tentukan besarnya resultan momen dari ke-empat gaya yang bekerja terhadap titik O.
Jawab:
= ; (↺ +)
(a) (b)
= × (5.3)
54
Dimana r merupakan vektor posisi yang diperoleh dengan cara menarik garis dari titik
O ke sembarang titik yang terletak pada garis gaya F (Gambar 5.7.a).
INGAT !!!
Perkalian Silang antara 2 vektor A dan B menghasilkan vektor C
C=AxB
Besarnya C merupakan fungsi dari A dan B serta sinus sudut antar kedua
ujung belakang vektor (0180). Jadi……..C = ABsin
Dengan melihat Gambar 5.7.b dan melihat “box” di atas, maka besarnya momen gaya
dari model perkalian silang pada Persamaan (4.3) adalah:
Dengan adalah sudut yang diukur antara ujung-ujung belakang dari r dan F, dan d
= rsin merupakan lengan momennya. Penentuan arah MO mengikuti kaidah tangan
kanan.
Model perkalian silang sering digunakan pada kasus 3 (tiga) dimensi, dimana jarak
tegak lurus atau lengan momen terhadap titik O tidak diperlukan lagi. Karena kita bisa
menggunakan sembarang vektor posisi r yang diukur dari titik O ke garis aksi gaya F
(Gambar 5.8).
= × = × = × (5.5)
55
Karena F dapat diaplikasikan pada setiap titik di sepanjang garis aksi gaya dan tetap
menghasilkan momen yang sama terhadap titik O, maka F bisa dikatakan sebagai
vektor yang bergeser (sliding vector). Inilah yang disebut dengan istilah PRINSIP
TRANSMISIBILITAS.
Jika dihadapkan pada permasalahan 3 (tiga) dimensi atau sumbu-x, y dan z, maka
vektor posisi r dan vector gaya F dapat direpresentasikan dalam bentuk vektor
Cartesian (Gambar 5.9).
= × = (5.6)
Dimana rx, ry, rz merupakan representasi dari vektor posisi yang diukur dari titik O ke
sembarang titik pada garis aksi gaya. Sedangkan Fx, Fy dan Fz merupakan vektor gaya
pada masing-masing komponen sumbu. Persamaan (5.6) di atas jika dijabarkan dalam
bentuk determinan adalah sebagai berikut:
= − −( − ) + − (5.7)
Latihan 5.2
Tentukan besarnya momen yang dihasilkan oleh gaya F terhadap titik O (Gambar 5.10.a).
Nyatakan dalam bentuk vektor Cartesian.
56
(a) (b)
Jawab:
Jika melihat Gambar di atas, maka baik rA ataupun rB dapat digunakan untuk menentukan
besarnya momen terhadap titik O. Vektor posisi titik A (rA) dan titik B (rB) adalah:
= {12 } m; = {4 + 12 } m
{4 + 12 − 12 } m
= = 2 kN
(4 m) + (12 m) + (−12 m)
= {0.4588 + 1.376 − 1.376 } kN
= × = 0 0 12
0.4588 1.376 −1.376
= [0(−1.376) − 12(1.376)] − [0(−1.376) − 12(0.4588)]
+ [0(1.376) − 0(0.4588)]
= {−16.5 + 5.51 } kN. m
Atau
= × = 4 12 0
0.4588 1.376 −1.376
= [12(−1.376) − 0(1.376)] − [4(−1.376) − 0(0.4588)]
+ [4(1.376) − 12(0.4588)]
= {−16.5 + 5.51 } kN. m
57
Latihan 5.3
2 (dua) buah gaya bekerja pada suatu batang seperti pada Gambar 5.11. Tentukan besarnya
resultan momen yang terjadi terhadap flens di titik O. Nyatakan dalam bentuk vektor
Cartesian.
Jawab:
Vektor posisi titik A (rA) dan titik B (rB) terhadap titik O adalah (Gambar 5.12.a):
(a) (b)
= {5 } ft;
= {4 + 5 − 2 } ft
= ( × )= × + ×
= 0 5 0 + 4 5 −2
−60 40 20 80 40 −30
58
= [5(20) − 0(40)] − [0] + [0(40) − 5(−60)] + [5(−30) − (−2)(40)]
− [4(−30) − (−2)(80)] + [4(40) − 5(80)]
= {30 − 40 + 60 } lb. ft
KESIMPULAN:
UNTUK 3D CROSS-PRODUCT
UNTUK 2D BAWA KE MODEL RECTANGULAR DAN FUNGSI SKALAR
Momen yang dihasilkan oleh gaya kopel disebut dengan Momen Kopel (Couple Moment),
dimana besar dari momen kopel tersebut sama dengan jumlah momen pada kedua kopel
terhadap sembarang titik. Gambar 5.14. menjelaskan bagaimana memformulasikan suatu
momen kopel. Vektor rA dan rB adalah vektor posisi titik A dan titik B terhadap titik O, dimana
titik A dan B terletak pada garis aksi gaya F dan –F.
59
Gambar 4.14. Momen Kopel
= × + ×− =( − )× (5.8)
= × (5.9)
= (5.10)
Dengan F adalah besar dari salah satu gaya dan d adalah jarak tegak lurus antara gaya kopel
yang bekerja atau biasa disebut dengan lengan momen.
60
(a) (b)
= + (5.11)
= ( × ) (5.12)
Latihan 5.4.
Tentukan besarnya resultan momen kopel dari kopel gaya yang bekeja pada pelat berikut.
61
Jawab:
d1 = 4 ft
d2 = 3 ft
d3 = 5 ft
Asumsi arah momen yang digunakan adalah berlawanan jarum jam positif. Sehingga:
= Σ (↺ +)
=− + −
= (−200 lb)(4 ft) + (450 lb)(3 ft) + (300 lb)(5 ft)
= −950 lb. ft ↺
= 950 lb. ft ↻
Latihan 5.5.
Tentukan besar dan arah momen kopel yang bekerja pada roda gigi berikut.
Jawab:
• Momen kopel = penjumlahan semua momen dari setiap komponen gaya terhadap
suatu titik tertentu (misal titik O dan A).
62
Atau
5.5. Rangkuman
Rangkuman isi modul ini adalah :
a) Konsep momen adalah adanya kecenderungan suatu benda akan berputar terhadap
suatu titik jika benda terkena suatu gaya yang tidak segaris dengan titik tersebut.
b) Besarnya suatu momen gaya dapat dihitung dengan menggunakan formulasi skalar
dan formulasi vektor. Sedangkan arah momen gaya ditentukan dengan
menggunakan kaidah tangan kanan.
c) Kopel adalah 2 (dua) gaya yang sejajar dan mempunyai besar sama namun memiliki
arah yang berbeda. Antar 2 (dua) gaya tersebut dipisahkan oleh jarak tegak lurus d.
d) Secara matematis kondisi setimbang diartikan dengan resultan gaya yang bekerja
pada benda atau partikel sama dengan 0 (nol), atau ΣF = 0.
e) Sama halnya dengan momen gaya bahwa besarnya momen kopel bisa ditentukan
dengan menggunakan formulasi skalar dan formulasi vektor.
1. Tentukan besarnya resultan momen yang dihasilkan oleh gaya-gaya yang bekerja
terhadap titik O.
2. Jika F1 = {100i - 120j + 75k} lb dan F2 = {-200i + 250j + 100k} lb, tentukan besarnya
resultan momen yang dihasilkan kedua gaya tersebut terhadap titik O. Nyatakan
hasilnya dalam bentuk vektor Cartesian.
3. Suatu tali (towline) menarik sebuah beban P = 4 kN pada ujung dari suatu crane
boom yang mempunyai panjang 20 m. Jika diketahui x = 25 m, tentukan besarnya
sudut (sudut kemiringan boom) sehingga momen yang dihasilkan oleh beban 4
kN tersebut menjadi maksimum. Dan sebutkan momen apa yang terjadi.
4. Tentukan besarnya resultan momen kopel dari 2 (dua) buah kopel yang bekerja
pada sistem perpipaan. Jarak A ke B adalah d = 400 mm. Nyatakan dalam bentuk
vektor Cartesian.
63
5. Tentukan besarnya jarak d antara A dan B sehingga besarnya resultan momen
kopel MR = 20 N.m.
Soal - 1 Soal - 2
Soal – 3
Soal – 4 dan 5
5.7. Referensi
Hibbeler, (2010). Engineering Mechanics: Static, 12th. ed.
64
VI.TEORI BATANG
Jika kembali ke topik pembahasan tentang batang atau beam, maka bahasan kita adalah
fokus pada beban yang arahnya tegak lurus terhadap sumbu memanjang batang. Gambar
6.2 menggambarkan jenis-jenis beban (load). Jenis beban (load) yang bekerja pada batang
bisa terpusat (concentrated) ataupun terdistribusi dengan panjang tertentu (distributed).
65
Beban terdistribusipun masih dikelompokkan menjadi terdistribusi merata (uniform distributed
load) dan terdistribusi bervariasi (varying distributed load).
Beban terpusat (concentrated load) merupakan beban yang terkonsentrasi di suatu tempat.
Pada Gambar 6.3 dapat dilihat berbagai jenis beban terpusat dalam aplikasinya di kehidupan
nyata dan bagaimana pemodelan yang digunakan untuk menggambarkan beban terspusat
tersebut dalam ilmu Mekanika Teknik. Satuan beban terpusat : Newton (N), Kilonewton (kN),
ton, kg, lb, kips, dengan notasi P.
(a) Manusia yang berdiri di atas jembatan (b) Kendaraan berhenti di atas jembatan
Gambar 6.3. Contoh Penggambaran Beban Terpusat dalam Mekanika Teknik
Beban merata (distributed load) adalah beban yang tersebar secara merata baik kearah
memanjang maupun kearah luas. Satuan beban merata adalah beban per satuan panjang :
N/m, kN/m, ton/m, lb/ft, kips/ft dengan notasi q atau w. Gambar 6.4 menunjukkan bagaiaman
pemodelan beban merata dalam ilmu Mekanika Teknik.
66
(a)
(b)
Gambar 6.4. Contoh Penggambaran Beban Merata,
(a) Sekumpulan anak berbaris di atas jembatan, (b) Pemodelan dalam Mekanika Teknik
- Simply supported (simple); yaitu jenis batang yang ditumpu pada kedua ujungnya
(Gambar 6.5.a).
- Overhanging; yaitu jenis batang yang letak satu atau kedua penumpunya tidak
terletak pada ujung batang (Gambar 6.5.b).
- Cantilever; yaitu jenis batang yang salah satu ujungnya ditumpu (fixed type)
namun ujung lainnya dibiarkan menggantung atau tidak ditumpu (Gambar 6.5.c).
67
b) Statically Indeterminate Beam, yang meliputi:
- Continuous; yaitu jenis batang yang ditumpu oleh lebih dari 2 (dua) tumpuan
(Gambar 6.5.d).
- Fixed; yaitu jenis batang yang kedua ujungnya ditumpu dengan jenis tumpuan
fixed (Gambar 6.5.e).
- Beam fixed at one end & supported at the other end, atau disebut juga dengan
istilah restrained beam, yaitu jenis batang dari jenis cantilever beam namun
ujungnya ditumpu (Gambar 6.5.f).
c) Combination Beam.
68
Gambar 6.6. Macam Reaksi Tumpuan
Pada Gambar 6.6.a dapat dilihat jika pada tumpuan jenis rol hanya terdapat satu reaksi gaya
yang bekerja (1 DOF = Degree of Freedom), yaitu reaksi gaya arah vertikal (sumbu-y).
Gambar 6.6.b menggambarkan reaksi pada tumpuan jepit, yaitu berupa 2 (dua) reaksi gaya;
arah sumbu-x dan sumbu-y (2 DOF). Dan Gambar 6.6.c menggambarkan reaksi pada
tumpuan fixed, yaitu berupa 2 (dua) reaksi gaya dan 1 (satu) reaksi berupa momen (3 DOF).
(6.1)
= 0; = 0; =0
69
benda bebas dan selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan persamaan
kesetimbangan.
Perhatian khusus perlu diberikan jika beban yang bekerja pada batang dari jenis beban
terdistribusi. Terdapat 2 (dua) langkah yang HARUS dilakukan jika pada batang bekerja
beban terdistribusi, yaitu:
1) Beban terdistribusi adalah beban per satuan panjang. Oleh sebab itu perlu dicari
berapa besarnya beban terpusat dari beban terdistribusi tersebut. Besarnya beban
terpusat sama dengan luas area dari beban terdistribusi yang bekerja.
2) Menentukan lokasi dimana beban terpusat yang diperoleh pada langkah-1; yaitu
dengan mencari dimana titik pusat beban tersebut bekerja.
Latihan 6.1
Tentukan reaksi yang terjadi pada batang berikut yang ditumpu secara sederhana.
(a) (b)
Gambar 6.7. Latihan 6.1, (a) Soal, (b) Free Body Diagram
Jawab:
Pada Gambar 6.7(a) dapat dilihat jika pada batang bekerja 2 (dua) buah gaya terpusat dan 1
(satu) momen eksternal. Batang ditumpu secara sederhana, yaitu dengan menggunakan
tumpuan jepit dan tumpuan rol pada kedua ujungnya. Diagram benada bebasnya dapat dilihat
pada Gambar 6.7(b).
Σ = 0 (→ +) =0
Σ = 0 (↻ +) 200 + 100(0.2) + 160(0.3) − (0.4) = 0
= +670 ↑
Σ = 0 (↻ +) (0.4) + 200 − 100(0.2) − 160(0.1) = 0
= −410 ↓
70
Untuk memastikan apakah sudah dalam kondisi setimbang, maka bisa dicek dengan cara
sebagai berikut:
Latihan 6.2
Tentukan reaksi pada batang yang terkena beban bervariasi uniform (uniformly varying load)
yang ditunjukkan pada Gambar 6.8.a.
(a) (b)
Gambar 6.8. Gambar Latihan 6.2 (a) Soal, (b) Diagram Benda Bebas
Jawab:
Dari diagram benda bebas (Gambar 6.8.b), maka diperoleh persamaan kesetimbangan
sebagai berikut:
= 0 (→ +) =0
= 0 (↺ +) +15(2) − (0.5) = 0
=6 ↓
= 0 (↻ +) − (5) + 15(3) = 0
=9 ↓
Cek:
= 0 (↑ +) −9 + 15 − 6 = 0
Latihan 6.3
71
(a) (b)
Gambar 6.9. Gambar Latihan 6.3, (a) Soal, (b) Diagram Benda Bebas
Jawab:
= 0 (↻ +) 4(3) − (12) = 0
=1 ↑
Karena RB bekerja pada kemiringan 45, atau perbandingan x dan y adalah 1 dibanding 1,
maka bisa dipastikan besarnya RBX dan RBY sama. Sehingga besarnya RBx = 1 k dengan arah
KE-KIRI.
= 0 (↻ +) (12) − 4(9) = 0
=3 ↑
= 0 (→ +) −3−1=0
=4 →
= 0 (↑ +) +3 − 4 + 1 = 0
6.7. Rangkuman
Rangkuman isi modul ini adalah :
a) Batang (beam) merupakan bagian struktur yang mempunyai panjang lebih besar dari
dimensi penampangnya. Batang menerima beban yang tegak lurus terhadap sumbu
memanjangnya.
b) Beban yang bekerja pada batang disebut dengan lateral load atau transversal load;
dimana arah beban tegak lurus terhadap sumbu memanjang batang.
72
c) Jenis beban yang lain (tidak termasuk kelompok batang) adalah Axial load (beban
yang bekerja searah dengan sumbu memanjang batang) dan Torsional load (beban
yang arahnya berputar terhadap sumbu memanjang batang).
d) Beban (load) yang bekerja pada batang bisa berupa beban terpusat (concentrated)
ataupun beban terdistribusi dengan panjang tertentu (distributed). Beban
terdistribusi dikelompokkan menjadi terdistribusi merata (uniform distributed load)
dan terdistribusi bervariasi (varying distributed load).
f) Jenis penumpu (support) adalah : pinned (jepit), roll (rol) dan fixed (tetap). Masing-
masing jenis penumpu mempunyai dampak terhadap jenis-jenis reaksi yang
berbeda-beda.
h) Jika menjumpai permasalahan yang terkait beban terdistribusi, maka terdapat 2 (dua)
langkah yang harus dilakukan, yaitu menentukan besarnya beban terpusat dan
menentukan lokasi dimana beban terpusat tersebut bekerja pada batang.
Tentukan besarnya reaksi-reaksi yang terjadi pada tumpuan dari masing-masing soal berikut.
Soal – 1 Soal - 2
73
Soal - 3 Soal - 4
6.9. Referensi
a) Popov, E.P., (1990). Engineering Mechanics of Solids, Prentice-Hall, Inc.
74
VII. GAYA DALAM DAN MOMEN DALAM
Mahasiswa dapat menggambarkan diagram gaya geser dan bending momen berbasis
metode potongan.
Sebenarnya gaya dalam juga ada yang arahnya horizontal atau searah sumbu-x. Hal ini bisa
terjadi karena disebabkan adanya beban aksial. Pada Gambar 7.1 di atas bisa dilihat bahwa
P2 merupakan beban aksial. Sehingga gaya dalam yang timbul akibat beban aksial tersebut
adalah P, atau bisa disebut dengan reaksi aksial. Namun karena yang menjadi topik bahasan
adalah batang, dimana beban yang bekerja adalah tegak lurus dengan sumbu memanjang
batang, maka gaya-gaya dalam yang dianalisa hanyalah gaya dalam arah vertikal saja atau
yang disebut dengan gaya geser.
75
7.3. Momen Dalam
Pada Gambar 7.1 juga bisa dilihat adanya momen dalam yang bekerja di dalam batang.
Momen ini bisa muncul karena beban luar yang bekerja pada batang bisa menghasilkan
momen terhadap batang. Disamping itu karena bisa terjadinya momen reaksi pada tumpuan
(akibat tumpuan fixed). Akibat adanya 2 (dua) buah momen eksternal tersebut, maka untuk
menjaga kesetimbangan batang akibat momen, maka muncullah momen dalam (internal
moment). Momen dalam ini biasa disebut dengan istilah momen bending (bending moment).
Ada pula yang menyebut dengan istilah momen lentur. Jadi momen bending merupakan
internal resisting moment yang besarnya sama dengan momen luar yang bekerja (external
moment). Gambar 7.2 menunjukkan bagaimana momen lentur yang terjadi pada batang.
76
Prinsip metode potongan adalah “The externally applied forces to one side of an arbitrary
cut must be balanced by the internal forces developed at the cut....OR...the external
forces are balanced by the internal forces”.
Jika dicermati pada Gambar 7.2 di atas dapat dilihat adanya potongan pada suatu batang.
Gambar kiri atas menunjukkan sisi sebelah kiri dari batang yang telah dipotong. Disana
terdapat 2 (dua) gaya eksternal. Maka pada bagian yang dipotong muncul gaya geser dan
momen bending. Yang perlu diperhatikan dari metode potongan ini adalah bahwa akibat
potongan selalu ada bagian sebelah kiri dan ada bagian sebelah kanan dari potongan
tersebut. Yang dperlu diperhatikan adalah bahwa besarnya gaya geser dan bending momen
dari kedua sisi potongan tersebut harus selalu menjaga prinsip keseimbangan. Seperti pada
Gambar 7.2 di atas, dimana jika pada bagian sebelah kiri arah dari gaya geser vertical ke
bawah, maka untuk sebelah kanan potongan arah dari gaya geser HARUS vertikal ke atas.
Demikian halnya dengan arah momen bending. Jika pada sebelah kiri potongan arah momen
bending berlawanan jarum jam, maka arah bending momen pada sebelah kanan potongan
HARUS searah jarum jam.
d) Gambar diagram gaya geser dan bending momen. Mengacu pada nilai V dan M
pada masing-masing potongan;
77
Dalam proses penggambaran gaya dalam dan momen dalam, beberapa kesepakatan arah
yang tersaji pada Gambar 7.3 berikut bisa digunakan.
Latihan 7.1
Gambarkan diagram gaya aksial, gaya geser dan bending momen pada batang berikut
setelah mendapat beban miring P = 5 k.
78
Jawab:
79
2−4+ = 0; =2k↑
= (↻ +)
2(5) − = 0; = 10 k. ft ↺
Dengan memasukkan nilai-nilai Paks, V dan M dari masing-masing potongan, maka dapat
digambar diagram gaya aksial, gaya geser dan momen bending sebagai berikut (Gambar 7.5).
Gambar 7.5 Diagram Gaya Aksial (Kiri Atas), Diagram Gaya Geser (Kanan Atas), Diagram
Momen Bending (Bawah)
Beberapa hal yang perlu menjadi catatan dari Latihan 7.1 di atas adalah:
- Arah V, M ataupun Paks yang terjadi di potongan pada saat menggambar diagram
benda bebas adalah arah ASUMSI atau SEMBARANG. Arah yang benar akan
ketahuan pada saat arah ASUMSI atau SEMBARANG tersebut dimasukkan ke dalam
persamaan kesetimbangan.
80
- Jika nilai V, M ataupun Paks setelah dimasukkan persamaan kesetimbangan bernilai
positif (+), maka arah yang diperoleh pada persamaan kesetimbangan dari ke-tiga nilai
tersebut SESUAI dengan arah yang di-ASUMSIKAN pada diagram benda bebas.
o Untuk diagram gaya geser (V), jika V arahnya ke atas () maka digambar (-).
Sebaliknya jika arah V ke bawah () maka digambar (+).
o Untuk diagram gaya aksial (Paks), jika arah Paks ke kanan () digambar (+).
Dan jika Paks arahnya ke kiri () digambar (-).
o Untuk diagram momen bending, jika M arahnya searah jarum jam maka
digambar (-) dan jika M arahnya berlawanan jarum jam maka digambar (+).
Latihan 7.2
Gambarkan diagram gaya aksial, gaya geser dan momen bending dari cantilever berikut yang
diberi beban P pada ujungnya.
Jawab:
81
− + ( )=0
= ↺
= (↑ +)
− =0
= ↑
82
Latihan 7.3
Gambar diagram gaya geser dan momen bending dari batang yang dibebani sebagai berikut.
Jawab:
83
= ( )↺
Latihan 7.4
Gambar diagram gaya geser dan momen bending dari batang yang dibebani sebagai berikut.
Jawab:
Penyelesaian untuk menentukan besarnya reaksi-reaksi yang terjadi pada tumpuan silahkan
buka Latihan 6.2. Langkah-langkah berikut ini adalah bagaimana menentukan besarnya gaya
geser dan momen bending yang terjadi di potongan. Dari Latihan 6.2 diperoleh reaksi-reaksi
sebagai berikut:
Jumlah potongan untuk menyelesaikan soal di atas adalah 2 (dua) buah. Karena pada batang
tersebut terjadi 2 (dua) macam perubahan perilaku beban, yaitu pada daerah beban
terdistribusi segitiga dan pada daerah yang tanpa mengalami pembebanan.
84
a) Potongan-1 (0<x<3) 1
= × 10 kN
2 3
Persamaan Kesetimbangan
= (↑ +)
1
−9 + × 10 − ( ) =0
2 3
5
( ) = −9 + kN ↓
3
= (↻ +)
1
−9( ) + × 10 − ( ) =0
2 3 3
5
( ) = −9 + kN. m ↺
9
( ) = +6 kN ↓
= (↻ +)
−9( ) + 15( − 2) − ( ) =0
( ) = −9 + 15( − 2) kN. m ↺
= 6 − 30 . ↺
Resum nilai V
Potongan-1 (0<x<3); Potongan-2 (3<x<5);
X = 0; V = -9 kN = 9 kN X = 3; V = 6 kN
X = 1; V = -7,33 kN = 7,33 kN X = 4; V = 6 kN
X = 2; V = -2,33 kN = 2,33 kN X = 5; V = 6 kN
X = 3; V = 6 kN
85
Diagram Gaya Geser
Resum nilai M
Potongan-1 (0<x<3);
X = 0; M = 0 kN.m
X = 1; M = -8,44 kN.m ↺ = 8,44 kN.m ↻
X = 2; M = -13,56 kN.m ↺ = 13,56 kN.m ↻
X = 3; M = -12 kN.m ↺ = 12 kN.m ↻
Potongan-2 (3<x<5);
X = 3; M = -12 kN.m ↺ = 12 kN.m ↻
X = 4; M = -6 kN.m ↺ = 6 kN.m ↻
X = 5; M = 0 kN.m ↺ = 0 kN.m ↻
7.6. Rangkuman
Rangkuman isi modul ini adalah :
a) Gaya dalam atau gaya geser (shear force) adalah gaya yang berfungsi untuk
melawan gaya-gaya luar agar diperoleh kondisi kesetimbangan arah vertikal.
b) Momen dalam atau Momen Bending adalah momen resisting internal yang bekerja
melawan momen luar.
86
d) Metode potongan adalah salah satu metode yang digunakan untuk menentukan
besarnya gaya geser dan momen bending.
e) Prinsip metode potongan adalah dengan memotong pada bagian-bagian tertentu dari
batang, dan menentukan besarnya gaya geser dan momen lentur pada masing-
masing bagian potongan tersebut.
Soal 1 sampai 4.
Gambar diagram gaya geser dan momen bending dari soal-soal berikut.
Soal - 1 Soal - 2
Soal - 3 Soal - 4
7.8. Referensi
a) Popov, E.P., (1990). Engineering Mechanics of Solids, Prentice-Hall, Inc.
87
VIII. TEGANGAN PADA BATANG
Mahasiswa memahami konsep tegangan ijin, tegangan maksimal, tegangan tarik dan
tagangan tekan;
Tegangan normal sendiri jika dilihat dari arahnya digolongkan menjadi 2 (dua). Yaitu jika arah
tegangan menjauh (keluar) dari permukaan maka disebut dengan tegangan tarik (tensile
stress). Atau bisa disebut dengan positive normal stress. Sedangkan jika arahnya menuju
permukaan disebut dengan tegangan tekan (compressive stress). Atau juga bisa disebut
dengan negative normal stress. Pada Gambar 8.1 dapat dilihat diagram pengelompokan
jenis-jenis tegangan atau stress.
88
STRESS
NORMAL
SHEAR STRESS
STRESS
COMPRESSIVE TENSILE
STRESS STRESS
Jadi jika dibedakan secara jelas antara tegangan normal dan tegangan geser adalah :
Tegangan normal dihasilkan oleh komponen-komponen gaya yang TEGAK LURUS terhadap
bidang potong, dan tegangan geser dihasilkan oleh komponen-komponen gaya yang
TANGENSIAL terhadap bidang potong.
89
Hubungan tersebut digambarkan pada suatu diagram yang disebut dengan diagram
tegangan-regangan (stress-strain diagram).
Gambar 8.2 merupakan diagram tegangan-regangan untuk material mild steel. Pada Gambar
8.2 di atas dapat dilihat bahwa sampai pada titik A, hubungan antara tegangan dan regangan
adalah linier. Semua jenis material selalu ada bagian linier tersebut. Atau dengan kata lain
pada semua jenis material selalu terdapat titik A. Titik A sendiri disebut dengan batas
proporsionalitas atau batas elastisitas (proportional or elastic limits).
Hubungan yang menggambarkan antara tegangan dan regangan sampai pada titik elastisitas
tersebut (atau sepanjang garis linier) disebut dengan HUKUM HOOK. Secara matematis
diformulasikan sebagai berikut:
= (8.1)
Dari Persamaan 8.1 dapat dilihat bahwa besarnya tegangan proporsional terhadap
regangannya. Dengan E merupakan konstanta proporsionalitasnya. Konstanta E dikenal
dengan modulus elastisitas atau modulus Young. E merupakan besaran yang merupakan
fungsi dari sifat material. Untuk baja (semua baja), nilai E berkisar 29x106 psi sampai 30x106
psi, atau sekitar 200 sampai 270 GPa.
90
terjadinya tegangan (stress). Jadi tegangan bisa disebabkan oleh gaya aksial, gaya geser dan
momen bending. Tegangan yang disebabkan oleh gaya aksial merupakan bagian dari
tegangan normal yang dapat dicari dengan menggunakan persamaan berikut.
force (8.2)
= =
area
Dimana P merupakan beban/gaya aksial dalam N atau lb, dan A merupakan luas penampang
area yang terkena beban aksial tersebut dan arahnya saling tegak lurus. A dalam m2 atau ft2.
Sehingga satuan tegangan adalah N/m2 (Pa) atau ksi.
Namun karena analisa batang menggunakan prinsip beban yang tegak lurus terhadap
sumbu memanjang batang, maka Persamaan (8.2) di atas tidak bisa digunakan.
Sebagaimana telah dibahas pada modul sebelumnya bahwa akibat adanya beban (yang
tegak lurus terhadap sumbu memanjang batang) menyebabkan terjadinya momen dalam
yang disebut dengan momen bending. Oleh sebab itu tegangan yang terjadi di dalam batang
disebabkan oleh momen bending tersebut. Besarnya tegangan akibat momen bending
diformulasikan sebagai berikut:
(8.3)
=
Persamaan (8.3) di atas dikenal dengan istilah flexure formula. Dimana M adalah momen
bending (N.m atau lb-in), y adalah jarak permukaan yang mengalami tegangan terhadap
sumbu netral (neutral axis) dalam meter [m] atau inch [in], dan I adalah momen inersia
penampang (m4 atau in4). Sehingga tegangan yang dihasilkan mempunyai satuan N/m2
(Pascal) atau lb/in2 (psi).
91
Sama halnya yang terjadi pada tegangan akibat beban aksial, dimana tegangan
dikelompokkan dalam tegangan tarik dan tegangan tekan, tegangan akibat momen bending
juga dikelompokkan ke dalam tegangan tarik (tension stress) dan tegangan tekan
(compressive stress). Kita ketahui bahwa akibat adanya beban tegak lurus terhadap batang,
maka akan muncul sisi batang yang mengalami tarikan dan sisi batang yang mengalami
tekanan (Gambar 8.3).
Pada Gambar 8.3 dapat dilihat bahwa pada bagian atas batang akan mengalami tekan
(compressive) dan bagian bawah batang akan mengalami tarikan (tension). Namun demikian
pada batang tersebut terdapat bagian yang tidak mengalami tekan ataupun tarikan. Bagian
tersebut dinamakan dengan istilah sumbu netral (neutral axis-NA). Pada Gambar 8.4 dapat
dilihat bagaimana cara memahami sumbu netral.
Jika mengacu pada Gambar 8.3 dan Gambar 8.4 serta Persamaan 8.3, maka besarnya
tegangan tekan dan tegangan tarik adalah sebagai berikut.
(8.4)
=
(8.5)
=
Dimana:
= tegangan tekan;
= tegangan tarik;
= jarak vertikal dari sisi batang yang mengalami tekan ke sumbu netral;
= jarak vertikal dari sisi batang yang mengalami tarik ke sumbu netral.
92
Dari Persamaan 8.4 dan 8.5 di atas dapat disimpulkan bahwa besarnya tegangan tarik dan
tegangan tekan sangat tergantung pada besarnya dan . Untuk penampang yang simetri
terhadap sumbu x, maka besarnya dan akan sama. Sehingga besarnya tegangan tarik
akan sama dengan tegangan tekan. Namun akan menjadi berbeda kalau yang dihadapi
adalah penampang yang tidak simetri terhadap sumbu x. Tegangan maksimal akan muncul
dari salah satu jenis tegangan tersebut. Artinya tegangan maksimal akan berupa tegangan
tarik, jika besarnya tegangan tarik lebih besar dari tegangan tekan. Begitu pula sebaliknya.
8.5. Centroid
Centroid atau disebut pula dengan titik pusat (center of gravity); yaitu suatu titik yang terdapat
pada suatu benda dimana pada titik tersebut bekerja gaya gravitasi. Titik pusat suatu benda
3 dimensi seringkali (tapi tidak selalu) terletak sepanjang garis sumbu simetri.
Besarnya titik pusat suatu area dapat ditentukan dengan menghitung besarnya momen-
momen area terhadap sembarang sumbu. Besarnya momen suatu area terhadap sembarang
sumbu sama dengan besarnya penjumlahan aljabar dari momen setiap komponen-komponen
area (Persamaan 8.6). Sedangkan besarnya momen dari sembarang area merupakan hasil
perkalian antara luas area tersebut dengan jarak tegak lurus dari titik pusat area ke sumbu
momennya.
Sum M =M +M +M +⋯ (8.6)
Pada Gambar 8.5 dapat dilihat bagaimana menerapkan konsep dari Persamaan 8.6 di atas
untuk menentukan letak titik pusat suatu segi empat yang mempunyai lebar b dan tinggi h.
Sumbu ZZ’ merupakan sumbu referensi; atau bisa disebut sebagai sumbu momen. Segi
empat tersebut dibagi menjadi 2 bagian; yaitu yang berwarna biru dan kuning. Baik segi empat
biru ataupun kuning mempunyai titik pusat masing-masing yang mempunyai jarak tertentu
terhadap sumbu momen (ZZ’). Sehingga luas segi empat biru jika dikali dengan jarak titik
93
pusatnya ke ZZ’ akan menghasilkan momen luas segi empat biru. Demikian halnya luas segi
empat kuning jika dikalikan dengan jarak titik pusatnya ke ZZ’ akan menghasilkan momen
luas segi empat kuning. Jumlah masing-masing momen tersebut merupakan besarnya
momen luas segi empat keseluruhan terhadap ZZ’ (Persamaan 8.6). Penjabaran matematis
dari pernyataan tersebut adalah sebagai berikut.
( ℎ) = + +
( ℎ) = +
( ℎ) = (ℎ)
Sehingga besarnya titik pusat (centroid) segi empat jika diukur dari sumbu referensi (ZZ’)
adalah:
(8.7)
=
Untuk menjelaskan Persamaan 8.7 di atas, mari kita coba menghitung besarnya momen
inersia dari suatu segiempat sederhana (b x h) terhadap titik pusatnya (centroid – sumbu Z).
Lihat Gambar 8.6
94
Gambar 8.6. Momen inersia segi empat terhadap sumbu-z
Gambar 8.6 di atas akan menggambarkan bagaimana cara menghitung besarnya momen
inersia suatu segi empat terhadap sumbu yang melalui titik pusatnya (centroid) atau terhadap
sumbu netralnya (neutral axis). Dalam hal ini sumbu yang melalui titik pusat atau sumbu netral
tersebut adalah sumbu-z. Persamaa 8.7 digunnakan untuk menyelesaikan permasalahan
tersebut.
( )=
=∫
/
=
/
= − −
Di awal secara singkat sudah dijelaskan bahwa momen inersia (I) merupakan suatu besaran
yang menggambarkan kemampuan suatu penampang dalam melawan besarnya momen
bending yang terjadi. Karena begitu penting peranan momen inersia dalam suatu proses
rekayasa struktur dan permesinan, maka dalam proses menghitung momen inersia HARUS
benar-benar dipastikan ARAH TEGAK LURUS yang benar dari suatu gaya (atau beban)
terhadap sumbu netral. Ilustrasi pada Gambar 8.7 berikut menggambar “konsekuensi” dari
“ke-hati-hatian” tersebut.
95
ℎ > ℎ
= =
12 (STRONGER) 12
(a) (b)
Gambar 8.7. (a) Momen inersia Segi Empat b x h , (b) Momen Inersia Segi Empat h x b
Dari Gambar 8.7 di atas dapat disimpulkan bahwa meskipun mempunyai luas penampang
yang sama, namun besarnya momen inersia bisa berbeda tergantung pada arah tegak lurus
gaya yang bekerja terhadap sumbu netralnya.
Dalam aplikasi nyata di dunia perancangan konstruksi ataupun struktur TIDAK PERNAH
dijumpai suatu penampang profil yang mempunyai bentuk-bentuk penampang yang umumn
kita kenal, seperti lingkaran, segi empat, persegi ataupun bentuk umum lainnya. NAMUN
penampang profil umumnya tersusun atas beberapa bentuk penampang yang umum tersebut
(Built-Up atau Composite Sections). Pada Gambar 8.8 dapat dilihat bentuk-bentuk
penampang profil yang sering digunakan di dunia rekayasa konstruksi ataupun struktur
menurut American Institute of Steel Construction (AISC).
Angles Tees
Gambar 8.8. Jenis-jenis penampang profil batang menurut AISC
96
Jika melihat bentuk-bentuk penampang pada Gambar 8.8, dapat dilihat bahwa semua bentuk
penampang di atas merupakan bentuk yang tersusun atas beberapa bentuk umum. Jadi
semua bentuk penampang profil merupakan “gabungan” atau “built-up section”. Oleh sebab
itu untuk menentukan besarnya momen inersia tidak cukup hanya menggunakan Persamaan
8.7, namun menggunakan formula yang disebut dengan TRANSFER FORMULA atau
TEOREMA SUMBU SEJAJAR (Parallel Axis Theory). Perumusan Teorema Sumbu Sejajar
dapat dilihat pada Persamaan 8.8.
= + (A )d (8.8)
Dimana:
Latihan 8.1
Jawab:
= 200 × 50 = 10000
97
= 50 × 150 = 7500
= 145 × 100 = 14500
Momen inersia masing-masing bidang terhadap masing-masing sumbu yang melalui titik
pusatnya:
1
= (200)(50) = 2.083 × 10
12
1
= (50)(150) = 14.063 × 10
12
1
= (145)(100) = 12.083 × 10
12
∑
= = 149.61
∑
Jadi posisi sumbu netral penampang tersebut terletak pada 149.61 mm diukur dari dasar
(Gambar 8.10.a).
(a) (b)
Gambar 8.10. (a) Sumbu netral, (b) jarak d
Momen inersia penampang profil di atas terhadap sumbu netralnya dapat dicari dengan model
tabulasi berikut.
98
= 25.39
Bidang-3 14500 = 149.61-50 1.44x108 12.083x106
= 99.61
Jumlah 3.06x108 28.23x106
Total I terhadap NA 3.34x108 mm4 (3.34x10-4 m4)
Latihan 8.2
Jawab:
= 100 × 25 = 2500
= 25 × (225 − 25) = 5000
Momen inersia masing-masing bidang terhadap masing-masing sumbu yang melalui titik
pusatnya:
1
= (100)(25) = 0.13 × 10
12
1
= (25)(200) = 16.67 × 10
12
99
Gambar 8.12. Sumbu netral dan jarak d
Momen inersia penampang profil di atas terhadap sumbu netralnya dapat dicari dengan model
tabulasi berikut.
Ai
Bidang ke- di (mm) Ai x (di)2 (mm4) Ici
2
(mm )
Bidang-1 2500 = (225-137.5)-12.5 14.06x106 0.13x106
= 75
Bidang-2 5000 = 137.5-100 7.03x106 16.67x106
= 37.5
Jumlah 21.09x108 16.8x106
Total I terhadap NA 37.89x106 mm4 (37.89x10-6 m4)
Setelah mengetahui besarnya momen inersia terhadap sumbu netral (NA), maka langkah
selanjutnya adalah menghitung besarnya tegangan yang terjadi di dalam batang akibat
bending momen dengan menggunakan Persamaan 8.4 dan Persamaan 8.5.
8.7. Rangkuman
Rangkuman isi modul ini adalah :
a) Tegangan diklasifikaan menjadi Tegangan Normal () dan Tegangan Geser ();
b) Tegangan Normal disebabkan oleh gaya-gaya yang bekerja pada suatu benda yang
mempunyai arah normal (tegak lurus) terhadap suatu luasan permukaan;
c) Tegangan geser disebabkan oleh gaya-gaya yang bekerja pada suatu benda yang
mempunyai arah tangensial;
100
d) Klasifikasi tegangan jika dilihat dari arah tegangan yang ditimbulkan adalah
Tegangan Tarik dan Tegangan Tekan;
f) Tegangan normal bisa dibagi menjadi Tegangan Bending dan Tegangan Aksial, yang
sangat dipengaruhi oleh bagaimana arah gaya atau beban yang bekerja pada batang
terhadap sumbu memanjangnya;
g) Kedua tegangan tersebut (Tegangan Bending dan Tegangan Aksial) bisa bersifat
tarik ataupun tekan;
i) Analisa tegangan pada batang dapat menghasilkan 3 (tiga) jenis luaran; menentukan
besarnya tegangan internal yang terjadi, menentukan jenis profil yang paling
ekonomis namun mempunyai kekuatan yang memadai, dan menentukan kapasitas
beban atau mendesain beban maksimal yang bisa diterima oleh batang;
101
2. Dari soal no 1) di atas
a. Gambarkan diagram gaya geser dan diagram momen bending;
b. Berapa besar momen bending maksimal yang terjadi pada batang?
c. Hitung tegangan maksimal yang bekerja pada batang. Asumsi profil yang
digunakan adalah H 125 x 125 mm dengan nilai momen inersia, Ix = 847 cm4
dan Iy = 293 cm4. Diketahui tebal web (tw = 6,5 mm) dan tebal flange (tf = 9,0
mm);
d. Jelaskan sifat tegangan maksimal yang terjadi (tarik atau tekan);
8.9. Referensi
a) Popov, E.P., (1990). Engineering Mechanics of Solids, Prentice-Hall, Inc.
102
LAMPIRAN A - IDENTITAS UNIT KOMPETENSI
KODE : C.301110.020.01
JUDUL UNIT : Melakukan Perhitungan Sistem Gaya Konstruksi Balok Sederhana
DESKRIPSI UNIT : Unit ini berhubungan dengan pengetahuan, keterampilan dan sikap
kerja yang dibutuhkan dalam perhitungan sistem gaya konstruksi balok
sederhana.
1. Menentukan resultan dan 1.1. Arah resultan dan sistem kesetimbangan gaya coplanar
kesetimbangan sistem gaya dihitung.
coplanar 1.2. Garis kerja resultan dihitung menggunakan prinsip
momen
2. Menentukan ukuran nominal 2.1. Perhitungan reaksi penopang pada penopang balok
pada balok memanjang sederhana dilakukan menggunakan kesamaan
sederhana terhadap kombinasi kesetimbangan dan pengaruh momen keduanya.
beban merata dan beban 2.2. Jenis keretakan yang mungkin terjadi ditentukan dan
setempat dipertimbangkan.
2.3. Gaya geser dan diagram momen lengkung digambar.
2.4. Tegangan lengkung ditentukan.
2.5. Perhitungan diselesaikan untuk menentukan ukuran
nominal balok.
2.6. Faktor keselamatan diaplikasikan pada finalisasi
ukuran nominal balok.
BATASAN VARIABEL :
1. Konteks variabel
1.1. Referensi material bisa mencakup
1.1.1. Manual desain
1.1.2. Hand book
1.1.3. Code dan regulasi yang relevan
1.1.4. Data base dan referensi pabrikan
2. Peralatan dan perlengkapan
2.1. Peralatan
2.1.1. Komputer
2.2. Perlengkapan
2.2.1. Alat tulis kantor
3. Peraturan yang diperlukan
3.1. Undang-Undang Nomor 1 Tahun 1970 tentang Keselamatan Kerja
3.2. Peraturan Pemerintah Nomor 50 Tahun 2012 tentang Penerapan
103
3.3. Sistem Manajemen Keselamatan dan Kesehatan Kerja
3.4. International Maritime Organization (IMO)
3.5. Safety Of Life At Sea (SOLAS)
3.6. Rules Klasifikasi
3.7. Peraturan Syahbandar
4. Norma dan Standar
4.1. Norma (Tidak ada)
4.2. Standar
4.2.1. Standar Desain
4.2.2. Standar Gambar
4.2.3. Standar Industri
4.2.4. Spesifikasi Kontrak
4.2.5. Standard Operating Procedure (SOP) yang terkait dengan unit kompetensi ini
PANDUAN PENILAIAN :
1. Konteks penilaian
1.1. Unit kompetensi ini dapat diases di tempat kerja, di luar tempat kerja atau kombinasi
keduanya. Apabila asesmen terjadi di luar tempat kerja, simulasi harus digunakan
dengan karakteristik yang mencerminkan seperti kondisi tempat kerja nyata.
1.2. Asesmen dapat dilakukan dengan metode pertanyaan lisan, pertanyaan tertulis,
observasi demonstrasi, observasi portofolio, laporan orang lain dan metode lain yang
relevan.
2. Persyaratan kompetensi
2.1. Unit kompetensi yang harus dikuasai sebelumnya : Tidak ada
3. Pengetahuan dan keterampilan yang diperlukan
3.1. Pengetahuan
3.1.1. Gaya dan gravitasi
3.1.2. Konsep gaya
3.1.3. Karakteristik gaya
3.1.4. Komponen gaya segi empat
3.1.5. Penjumlahan grafik gaya
3.1.6. Penjumlahan matematika gaya
3.1.7. Gaya berat
3.1.8. Momen dan puntiran/torsi
3.1.9. Momen tambahan
3.1.10. Momen keseimbangan
3.1.11. Puntiran/torsi
3.1.12. Sistem-sistem momen gaya yang setara
104
3.1.13. Statis
3.1.14. Kesetimbangan gaya coplanar
3.1.15. Kondisi kesetimbangan
3.1.16. Perhitungan reaksi balok (pendukung sederhana, beban setempat, distribusi
beban merata, beban sendiri)
3.1.17. Balok sederhana
3.1.18. Gaya geser dan diagram momen lengkung
3.1.19. Tegangan lengkung
3.1.20. Rumusan difleksi
3.1.21. Tegangan dan regangan
3.1.22. Tegangan geser dan regangan geser
3.1.23. Tegangan yang diperbolehkan
3.1.24. Faktor keselamatan
3.2. Keterampilan
3.2.1. Melakukan perhitungan dan menggunakan trigonometri, transposisi, rumus
matematika.
3.2.2. Menggambar gaya geser dan diagram momen lengkung.
4. Sikap kerja yang diperlukan
4.1. Berorientasi pada detil.
4.2. Teliti.
4.3. Dapat dipercaya.
5. Aspek kritis
5.1. Ketepatan penghitungan sistem gaya konstruksi balok sederhana.
105
LAMPIRAN B - ASESMEN MANDIRI
Nomor Skema Sertifikasi -
Judul Unit Kompetensi Melakukan Perhitungan Sistem Gaya Konstruksi Balok Sederhana
106
LAMPIRAN C - DAFTAR PERTANYAAN TERTULIS
Perangkat asesmen : Daftar Pertanyaan Tertulis – Jawaban Singkat
Nama asesor :
Petunjuk
a. Jawablah pertanyaan di bawah ini pada lembar jawaban yang disediakan dengan
singkat dan jelas.
b. Posisikan alat komunikasi hp dengan getar pada saat uji berlangsung.
Pertanyaan :
KUK NO PERTANYAAN
107
2.1 1 Tentukan besarnya reaksi-reaksi yang bekerja pada tumpuan dari batang
sd yang ditumpu secara sederhana berikut ini.
2.6
4 Hitung tegangan maksimal yang bekerja pada batang. Asumsi profil yang
digunakan adalah H 125 x 125 mm dengan nilai momen inersia, Ix = 847 cm4
dan Iy = 293 cm4. Diketahui tebal web (tw = 6,5 mm) dan tebal flange (tf = 9,0
mm).
108