Modul 4

Statistik Klasik
Dr. Supahar, M.Si.

PENDAHULUAN
S
eperti telah diuraikan pada bab sebelumnya, di dalam termodinamika dibahas
perilaku dan dinamika temperatur sistem makroskopik. Sistem
diparameterisasi oleh temperatur (T), tekanan (p), dan volume (V), serta
kapasitas panas jenis bahan (Cv). Di dalam termodinamika statistik atau
fisika statistik hubungan-hubungan di dalam termodinamika tersebut ditinjau
ulang melalui pendekatan-pendekatan partikel penyusun dengan berbagai
sifatnya. Karena itu, upaya awal yang harus dilakukan adalah
mengidentifikasi karakteristik sistem makroskopik. Karakteristik pertama
sistem makroskopik adalah tersusun dari banyak sekali partikel atau molekul
yang salang berinteraksi. Jumlah partikel diungkapkan melalui bilangan
23
Avogadro N A =6,02 x 10 /mole. Penyelesaian persamaan dasar dari
hukum Newton maupun persamaan Schrodinger cocok untuk menyelesaikan
sistem tunggal dan beberapa partikel menjadi mustahil sekalipun dibantu
dengan komputer. Untuk itu diperlukan pendekatan lain yang diharapkan
mampu menjelaskan, yaitu melalui pendekatan statistik.
Dalam uraian materi pokok sebelumnya kita juga sudah berusaha
untuk mencari alternatif dalam membahas kumpulan objek alam seperti
atom atau molekul dalam jumlah yang sangat banyak. Tampaknya
pendekatan secara mekanika tidak terlalu memberi harapan baik sebagai
akibat dari banyaknya objek yang digarap, maupun kalau dilihat dari sisi
pengamatannya lewat pengukuran. Maka dicoba menggunakan alternatif
pendekatan lain, yaitu lewat statistik. Ini memberi harapan akan adanya
keberhasilan. Yang sudah kita garap selama ini barulah semata-mata
pembahasannya secara matematika untuk mendapatkan aturan-aturan yang
dapat digunakan secara umum. Agar garapan statistik yang sudah kita
pelajari itu benar-benar terkait dengan objek alam yang riil, yang secara
empirik sudah kita pelajari perangainya, yaitu hukum-hukum
3.2 Pengantar Fisika Statistik 

termodinamika, maka keduanya perlu dibahas secara bersamaan. Pilihan

kita tentunya pada objek alam yang sederhana.
Pada materi pokok ini objek alam yang dibahas adalah sifat termal Gas
Ideal dan sifat termal Zat Padat, keduanya kita ungkap dalam model gerak
yang paling sederhana. Kedua jenis objek tersebut perangainya sudah Anda
kenal dari kuliah termodinamika, jadi mestinya tidak asing lagi bagi Anda.
Yang baru adalah teknik pendekatannya bagaimana gejala atau perangai
semacam itu muncul sebagai akibat dari mekanika materi pembangunnya
yaitu atom atau molekul.
Pada Modul 4 ini, disajikan dalam dua kegiatan belajar. Kegiatan
Belajar 1 (KB-1) membahas tentang gas ideal. Sedangkan Kegiatan Belajar 2
(KB-2) membahas tentang objek yang bukan gas ideal,
Tujuan umum mempelajari Modul 4 ini adalah mahasiswa dapat
menerapkan dalam pembelajaran tentang konsep-konsep yang berkaitan
dengan gas ideal dan objek yang bukan gas ideal.

Setelah mempelajari modul ini mahasiswa dapat:

1. menghitung energi rata-rata sebuah atom;
2. menerapkan fungsi partisi atom;
3. menghitung besarnya entropi gas ideal;
4. menerapkan hubungan antara energi bebas Helmholtz dengan besaran
fungsi partisi;
5. menerapkan aturan distribusi Maxwell Boltzmann;
6. menerapkan aturan Einstein;
7. menjelaskan istilah asas ekipartisi energi

Agar Anda dapat berhasil dalam mempelajari modul ini maka

berusahalah secara sungguh-sungguh untuk belajar dan memahami pokok
bahasan dan uraian materinya. Di samping itu juga Anda wajib mengerjakan
semua soal-soal yang terdapat pada tes formatif. Kunci keberhasilan dalam
mempelajari modul ini adalah pemahaman terhadap kalimat-kalimat dalam
setiap paragraf, kemudian menghafal dan memahami kalimat kuncinya.
 Kegiatan Belajar 1

Statistik Klasik
A. GAS IDEAL DALAM UNGKAPAN STATISTIK

Gas ideal adalah kumpulan atom yang bergerak bebas tidak saling
berinteraksi satu sama lain, kecuali pada waktu menumbuk dinding dan
dipantulkan. Pantulannya pun terjadi secara elastik sempurna sehingga tidak
ada energi yang terbuang. Ukuran partikel sangat kecil dan jarak antar
partikel dipisahkan dengan jarak yang cukup jauh di banding ukuran
partikel tersebut. Dalam wadah yang cukup kecil terdapat banyak partikel,
dimana perangainya sifat-sifatnya sudah sangat anda kenal, seperti hukum
Boyle-Gay Lusac PV = NkT, di mana P tekanan, V volume, N jumlah atom,
k tetapan Boltzmann, dan T suhu absolut dalam derajat Kelvin.

1. Postulat Statistik
Tinjau suatu sistem yang berada dalam keadaan terisolasi sehingga
tidak dapat melakukan pertukaran energi dengan lingkungan sekitarnya.
Hukum mekanika berimplikasi bahwa energi total sistem kekal. Dengan
demikian, sistem pasti dapat dikarakterisasi oleh energi tertentu dan keadaan-
keadaan yang mungkin harus mempunyai nilai energi ini. Karena jumlah
partikel umumnya sangat banyak maka juga sangat banyak keadaan dengan
nilai energi yang sama ini.
Di dalam kondisi terisolasi ini juga dapat dinyatakan secara sederhana
bahwa sistem berada dalam kesetimbangan. Situasi setimbang dikarakterisasi
oleh probabilitas untuk mendapatkan sistem berada dalam salah satu keadaan
yang tidak bergantung waktu. Semua parameter makroskopik yang
menggambarkan sistem terisolasi juga tidak bergantung waktu. Sistem
terisolasi dalam kesetimbangan, seperti telah disebut mempunyai banyak
keadaan yang mungkindengan energi sama dan kita tidak mempunyai hukum
mekanika yang menuntut pada harapan bahwa satu keadaan dapat lebih
sering muncul dibanding keadaan yang lainnya. Kita dapat membuat asumsi
bahkan mempostulatkan bahwa setiap keadaan yang mungkin dalam sistem
terisolasi dan setimbang mempunyai peluang sama untuk muncul.
Contoh:
Terdapat tiga benda (A,B,C) yang berbeda satu sama lainnya yang
dapat disusun secara bersama-sama. Tentukan probabilitas keadaan mikro
masing-masing keadaan yang dapat terjadi.
Penyelesaian:
A B C
A C B
B C A
B A C
C A B
C B A
Karena masing-masing keadaan mikro terdiri atas enam 6 cara susunan yang
berbeda dan mempunyai peluang yang sama untuk muncul maka probabilitas
masing-masing keadaan mikro adalah 1/6.

2. Tinjauan Dari Thermodinamika

Misalkan bahwa ruang kita berbentuk kubus dengan sisi l. kita
perhatikan gerak atom, massa m, dengan kecepatan v yang komponen arah-x-
nya adalah v x . Ketika menumbuk dinding yang tegak lurus sumbu-x atom
akan dipantulkan sehingga arahnya berubah sesuai dengan hukum pantulan
sempurna. komponen v x akan berubah menjadi – v x , berarti ada perubahan
momentum sebesar 2 m v x . Proses tadi berjalan berturut-turut, setiap selang
waktu 2 L/v x . jadi gaya ⃗
F yang bekerja pada dinding, yaitu jumlah transfer
momentum per satuan waktu, adalah:
2
2 m vx m v x
F=
⃗ =
2 L/ v x L
Untuk N atom, tentu v 2x pada gaya ⃗
F harus diganti dengan
v 2x + v 2x + v 2x …+v 2x . Atau kalau kita definisikan nilai rata-rata v x
1 2 3 n

sebagai:
v 2x + v2x + v 2x …+ v 2x 1
⟨ 2
v =
x
1

N
2 3 n

⟩ F ⟩=
maka ⟨ ⃗
L
N ⟨ v 2x ⟩
Kecepatan rata-rata atom ⟨ v 2 ⟩ = ⟨ v 2x + v2y + v 2z ⟩= ⟨ v 2x ⟩ + ⟨ v 2y ⟩ + ⟨ v 2z ⟩ karena
peluang arah gerak partikel dalam arah komponen-x, komponen-y, dan
komponen-z sama, maka ⟨ v 2x ⟩= ⟨ v 2y ⟩= ⟨ v 2z ⟩, sehingga ⟨ v 2x ⟩= 13 ⟨ v 2 ⟩
Tekanan P pada dinding adalah rata-rata gaya persatuan luas. Jika luas ini
A=LxL, maka:
mN ⟨ v 2 ⟩ 2 1 ⟨ 2 ⟩ atau P= 1 m N ⟨ v 2 ⟩
N
P=
3 LA
=
3 ( )( )(
2
m v
V 3 V )
Sementara itu, kita sudah mendapatkan hukum empirik pV =NkT , jadi
ungkapan di atas berarti:
1 3
m ⟨ v 2 ⟩= kT
2 2
Ruas kiri persamaan di atas adalah energi kinetik rerata dari atom dalam gas
ideal kita, dan untuk gerak bebas memang energinya hanya berupa energi
kinetik. Jadi boleh disimpulkan bahwa energi rerata gas ideal pada suhu T
adalah:
3
⟨ ε ⟩ = kT
2
3. Tinjauan Statistik
Pada pembahasan modul sebelumnya kita sudah sampai pada kesimpulan
bahwa (cara pertama) jika kita punya N atom dan kita bagikan dalam kotak-
kotak status energi dengan nomor j yang besar energinya ε j maka distribusi
peluang terbesar terjadi jika jumlah populasi pada kotak status nomor j,
yaitu n j yang memenuhi hubungan sebagai berikut.
n j=e−α e−β ε j

dengan parameter α dan β yang masih harus ditentukan. Parameter α mudah

dicari sebab kalau semua n j dijumlahkan, misalnya dari j = 1 hingga j =
satu miliar, maka hasilnya harus sama dengan seluruh jumlah partikel, yaitu
N. Dengan hitungan sederhana tentunya Anda dapat memperoleh
semilyar
N=e−α ∑ e− β ε j

i=1
sehingga ungkapan untuk n j sesungguhnya adalah
 N −βεj
n j= semilyar e
−β ε j
∑ e
i=1
Parameter β hanya dapat diperoleh lewat wujud konkret dari objek yang kita
garap, misalnya ketika kita terapkan model ini pada Gas Ideal. Ungkapan
persamaan [3-9] memungkinkan kita untuk menghitung energi (kinetik)
rata-rata atom yang ada dalam Gas tersebut. Jika kita menuliskan ( ξ adalah
huruf kecil z dalam alfabet Yunani)
semilyar
ξ ( β) = ∑ e−β ε j

i=1
maka nilai rata-rata energi satu atom dalam Gas dapat diungkapkan sebagai
semilyar

∑ nj ε j
i=1 −1 ∂ ξ ( β ) −∂lnξ ( β )
⟨ ε⟩= = =
Nξ ( β ) ξ(β) ∂ β ∂β
Karena itu kita perlu menghitung secara eksplisit berapakah ξ ( β ) . Untuk itu
kita kembali pada proses penomoran yang semula. Sekarang kita akan
menghitung besaran yang dituliskan sebagai ξ ( β ) yang lazimnya disebut
fungsi partisi atom. Nilainya sama dengan jumlah untuk semua kotak dari
fungsi e− β ε j , dengan ε j adalah energi atom bila berada di kotak nomor-j. Jadi
ξ ( β ) =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ e−β ε kx ,ky ,kz ,kpx ,kpy ,kpz

kx ky kz kpx kpy kpz

Dengan mengingat bahwa ∆ x, ∆ p x ,... dan seterusnya itu nilainya kecil,
maka penjumlahan itu dapat didekati dengan integral
2 2 2
β px + p y + pz )
1
ξ ( β ) = 3 ∫ dx ∫ dy ∫ dz ∫ d p x ∫ d p y ∫ d p z e
−
2m {( }
h
1 1
Faktor 3 merupakan ungkapan dari
h (∆ x ∆ p x ) ( ∆ y ∆ p y ) ( ∆ z ∆ p z )
Integral terhadap x, y, dan z menghasilkan volume V karena integralnya
bernilai 1. Sedangkan untuk menghitung integral terhadap momentumnya,
dengan rentang batas antara -∞ hingga +∞ kita gunakan rumus integral,
yaitu
+∞
π
√
2

∫ e−a p d px =
x

a
−∞
Dengan demikian integral terhadap momentum itu menghasilkan
3
2 πm
[ ] β
3 3
1 2 πm T
Jadi, ξ ( β ) = 3 V
h [ ]
β {(
atau ξ ( β ) = V . 2 πmk 2
h )}
2

Jika kita menghitung energi rata-rata setiap atom dengan menggunakan

hubungan:
∂lnξ ( β ) 3
⟨ ε⟩=
∂β [ ]
kita dapatkan ⟨ ε ⟩ =
2β

3
Di sisi lain untuk gas ideal dalam kaitan dengan termodinamika ⟨ ε ⟩ = kT
2
di mana k tetapan Boltzmann dan T suhu absolut dalam derajat Kelvin. Jadi
1
kita boleh mengidentifikasi parameter β sebagai besaran
. Untuk
kT
pembahasan selanjutnya ada kalanya kita masih menggunakan parameter β
karena fungsi-fungsi dengan parameter ini bentuknya lebih sederhana. Yang
perlu diingat adalah makna dari parameter β ini bahwa ketika kita akan
membacanya dalam kaitan dengan variabel termodinamika parameter ini
1
harus digantikan dengan besaran dengan T suhu objek garapan kita.
kT

1
Jadi, fungsi partisi gas ideal ξ (T )=V 3
[ 2 πmkT ]3
h

B. Termodinamika Gas ideal dalam Ungkapan Statistik

Hukum-hukum termodinamika lazimnya dituliskan untuk besaran
yang terukur pada skala makroskopik. Misalnya, kita tidak membahas energi
rata-rata satu atom, tetapi energi internal keseluruhan U =N ⟨ ε ⟩ . Besaran-
besaran fisika nampaknya terkait tidak secara linier dengan ξ melainkan
dengan ln(ξ ). Maka kita juga akan menggunakan fungsi, yang lazimnya
disebut fungsi partisi Z = ξ N , sehingga ln(Z) = Nln(ξ ). Atom-atom yang
jumlahnya N itu akan kita beri nomor 1 sampai dengan N. Jadi kita punya
nomor atom, dan masing-masing atom punya indeks status kuantum-nya.
Untuk membedakan antara kedua jenis nomor tadi, nomor atom akan ditulis
di antara tanda kurung. Jadi energi atom nomor-j yang berada pada status ke-
i akan ditulis sebagai ε i(j). Fungsi Partisi dapat dituliskan sebagai:
Z=∑ e− β ε ( 1 ) ∑ e−β ε ( 2 ) … ∑ e−β ε ( N )
i1 i2 ¿

i1 i2 ¿
Seandainya jumlah atomnya hanya 2 dan jumlah status kuantumnya hanya 3,
maka dapat ditulis lengkap Z sebagai
−β { ε1 ( 1 ) }+ ε1 ( 2) ] − β { ε1 ( 1) }+ε 2( 2) ] −β {ε 1 ( 1) }+ε3 ( 2) ] −β {ε2 ( 1) } +ε1 ( 2 )] −β { ε2 ( 1 ) }+ ε2 ( 2) ] − β { ε2 ( 1) }+ε 3 (
Z=e [ + e[ + e[ +e [ +e [ + e[
Kalau E adalah energi dari garapan kita yang terdiri atas 2 atom, masing-
masing dengan tiga status kuantum, maka E dapat ditulis dengan dua indeks,
q 1 dan q 2 masing-masing menunjuk indeks untuk status kuantum atom1 dan
status kuantum atom 2. Artinya Eq q =[ ε q ( 1 ) +ε q ( 2 ) ] . Jadi
1, 2 1 2

3 3
z= ∑ ∑ e−β E q 1 ,q2

q1=1 q2=1
Kita dapat menafsirkan maknanya sebagai berikut. Kumpulan atom kita yang
jumlahnya ada N itu memiliki energi total yang kita namakan E, yang
nilainya bergantung pada status kuantum masing-masing atom
pembangunnya. Pilihan status kuantum untuk masing-masing atom bebas
dari nomor urut yang paling kecil hingga yang paling besar, tidak bergantung
pada pilihan status kuantum untuk atom lainnya. Fungsi partisi adalah jumlah
eksponen [−β E q1 ,q2 ,...q N ] untuk semua nilai (q 1 , q 2,....q N ) yang tersedia.
Jadi, kita tidak membuat ruang-U yang dimensinya hanya 2 seperti pada
gambar di atas, tetapi “ruang” yang dimensinya 6N, yang lazimnya
dinamakan ruang- Γ , atau ruang-fase. Setiap kotak dalam ruang-fase
melukiskan kondisi kumpulan atom kita dengan indeks status ( q 1 , q 2,....q N ),
dengan energi terkait yang besarnya Eq , q …q . Energi Internal kumpulan
1 2 N

atom kita mestinya juga dapat dinyatakan sebagai:

 − β Eq ,q ,... qN
∑ E q ,q … q e 1 2

q 1 , q2 …q N
1 2 N
−∂ lnZ ( β )
U= − β E q ,q , ... qN
=
∑ e 1 2
∂β
q1 , q 2 …q N

Pada kasus gas ideal kita jumpai bahwa fungsi partisi Z tidak hanya
bergantung pada suhu T, (atau β ) melainkan juga pada volume V. Perubahan
volume V mestinya akan mengubah nilai E. Kalau untuk singkatnya tulisan
indeks (q 1 , q 2,....q N ) kita singkat menjadi r, maka perubahan V sebanyak
+dV akan mengubah Er sebanyak:
−∂ Er
dV
∂V
Perubahan tersebut wujudnya adalah kerja yang dilakukan oleh gas. Jadi
dapat diasosiasikan dengan:
dW = p dV

di mana P adalah tekanan. Jika itu diterapkan maka,

−∂ E r (−β E )dV
∑ e r

r ∂V
dW =
∑ e(− β E ) r

r
dinyatakan dengan Z
∂E ∂ (−β Er ) 1 ∂Z
∑ ∂ Vr e(− β E )= −1
β ∂V (
∑e
r

)= β ∂V
r r
Jadi
1 ∂Z 1 ∂lnZ
dW = dV = dV
βZ ∂ V β ∂V
berarti kita boleh menghitung tekanan gas ideal kita sebagai
1 ∂lnZ
P=
β ∂V
3 N
T
Nilai Z sudah kita hitung sebelumnya, yaitu: Z= V . 2 πmk 2
h {( )}
2
Jika persamaan tersebut di atas diterapkan maka akan didapat:
1N
P= kita peroleh hubungan yang sudah dikenal PV =NkT
βV

C. KETERKAITAN DENGAN FUNGSI-FUNGSI TERMODINAMIKA

LAINNYA

Dengan bekal bahwa Z merupakan fungsi dari β dan V, kita juga dapat
menuliskan:
∂ lnZ ∂lnZ
d ln Z ( β , V )= dV + dβ
∂V ∂β
d ln Z ( β , V )= β dW −U dβ=β dW −d ( Uβ )+ β dU
Jadi, d ( ln Z +Uβ )=β ( dW +dU ) =β δQ
Dengan δQ yang ditambahkan kepada gas kita bila energi internalnya
bertambah dengan dU dan gas itu melakukan kerja sebesar dW. Seperti kita
ketahui δQ sendiri bukan sebuah diferensial, yang berbentuk diferensial
adalah besaran entropi
δQ
S=
T
Dengan demikian kita dapat mengidentifikasi fungsi entropi sebagai:
1
S=k ( ln Z + βU ) , karena kβ = , maka: TS=kT lnZ +U
T
Ada besaran yang dinamakan energi bebas Helmholtz, sering diberi lambang
F(V,T) nilainya:
F ( V , T ) =U−TS=−kTlnZ (V ,T )
Kembali pada kasus Gas Ideal, sekarang kita dapat menghitung entropinya,
S=k ( ln Z + βU ) =Nk ¿ dengan
3 2 πmk 3
θ ≡ ln
2 (
h2 )
+ besaran yang tidak bergantung pada T, V, dan N.
2
Catatan:
Rumus ini belum seratus persen benar, karena mengundang apa yang
dinamakan Paradox Gibbs. Tetapi untuk keperluan praktis tetap dapat
digunakan. Kalau Anda tengok kembali pelajaran termodinamika biasanya
kita hanya membahas perubahan nilai entropi gas ideal jika kita melakukan
proses termal dari satu situasi ke situasi lainnya. jarang sekali kita menyebut
nilai entropi secara absolut itu berapa. Lewat pendekatan statistik ini kita
dapat mengungkap berapa tepatnya nilai entropi itu. Setelah diyakinkan
bahwa pendekatan statistik memungkinkan kita memperoleh perangai-
perangai termodinamika tepat seperti didapatkan secara empirik dirasa perlu
menganggap bahwa pendekatan statistik itu dapat diandalkan. Kuncinya
1
terletak pada pemilihan parameter β sebagai besaran .
kT
Dalam pengertian ini dapat dirumuskan kesimpulan sebagai berikut.
Sebuah dinamika gerak partikel memiliki status-status energi yang boleh
diberi nomor indeks, misalnya j dari 1 hingga yang berapa pun itu
dimungkinkan (bisa tak hingga). Jika energi partikel tersebut yang terkait
dengan status energi nomor-j besarnya adalah ε j , maka kumpulan N partikel
semacam itu pada suhu T akan terdistribusi dengan aturan bahwa jumlah
partikel yang ada di status energi nomor-j besarnya adalah:
−ε j
N kT
n j= −ε j
e
kT
∑e
j
−ε j −ε j
jika Z= ∑ e maka n j = N e kT . Bila pada status energi nomor-j
kT

j Z
terdegenerasi sebanyak g j maka:
−ε j −ε j
N
n j= g j e kT dan Z= ∑ g j e kT
Z j
Distribusi semacam ini dikenal dengan nama Distribusi Maxwell-Boltzmann.
Persamaan [3-33] dapat juga ditafsirkan juga sebagai distribusi peluang.

Besaran
( nN )
j
adalah peluang bahwa sebuah partikel akan berada di status

nomor-j yang terkait dengan energi sebesar ε j pada suhu T.

Contoh soal 1:

Sebuah sistem partikel mengikuti statistik Maxwell – Boltzman. Sistem ini

kontak termal dengan sebuah tandon yang temperaturnya T. Jika distribusi
populasi pada tingkat-tingkat energi (tidak terdegenerasi) sebagai berikut:
 energi ( eV ) populasi
30,1 x 10-3 3,1 %
21,5 x 10-3 8,5 %
12,9 x 10-3 23 %
4,3 x 10-3 63 %
a. Berapakah temperatur sistem?
b. Hitung fungsi partisinya

Penyelesaian :
N ∈i
Ni = Z e gi −
kT

N : jumlah partikel total dalam sistem

∈i
−
kT
Z : fungsi partisi = ∑ gi e
gi : degenerasi pada tingkat kulit ke-i
∈i : energi tiap partikel yang berada pada tingkat kulit ke-I
k : konstanta Boltzman = 1,38 x 10-23 JK − 1
T : temperatur mutlak sistem
a. Sistem kontak termal dengan
tandon bertemperatur T maka temperatur sistem juga T yang dapat
merupakan temperatur rata-rata.

Karena
Ni dinyatakan dalam prosentase maka :
N −∈ −∈i
N i = gi kT Ni =
i
kT
Z e e
∈j
N g −
Nj −∈ j
Nj= j e kT =e kT
Z
−( ∈i−∈ j )
Ni − (∈ −∈ )i j k
= kT T=
Nj e N
ln i
Nj ( )
 −( 12,9−4,3 ) 1 0 x 1,6 ⋅ 1 0
−3 −19

T1 = 23 % = 99,0
1,38 ⋅1 0−23 x l n
63 %
K
−( 21,5−4,3 ) x 1,6 ⋅ 10−19 x 10−3
T2 = 8,5 % =
1,38⋅ 1 0−23 x l n
63 %
99,6 K
−( 30,1−4,3 ) x 10−3 x 1,6 ⋅10−19
T3 = 3,1 % =
1,38⋅ 1 0−23 x l n
63 %
99,3 K
−( 21,5−12,9 ) ⋅1 0−3 x 1,6 ⋅ 1 0−19
T4 = 8,5 % =
1,38⋅ 1 0−23 x l n
23 %
100,2 K
−( 30,1−12,9 ) ⋅10−3 ⋅ 1,6 ⋅ 1 0−19
T5 = 3,1 % = 99,5
1,38 x 10−23 x l n
23 %
K
−( 30,1−21,5 ) ⋅1 0−3 ⋅ 1,6⋅ 1 0−19
T6 = 3,1 % = 98,9
1,38 ⋅10−23 x l n
8,5 %
K
T 1 +T 2+T 3 +T 4 +T 5 +T 6
Suhu rerata T = = 99.4 K
6
−∈i
b. Z =
∑ g i e kT
dengan kT =
−23
1,38⋅1 0 x 99,4
= 8,6 x 10-3 ev
1,6 ⋅ 1 0−19
 ∈1 ∈2 ∈3 ∈4
− − − −
kT kT kT kT
Z= e + e + e + e
4,3 12,9 21,5 30,1
− − − −
8,6 8,6 8,6 8,6
Z= e + e + e + e
Z = 0,99

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai

materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!
1. Pada kegiatan belajar ini kita sudah membahas bagaimana mengkaitkan
hitungan statistik dengan besaran-besaran riil yang kita jumpai dalam
termodinamika. Untuk keperluan hitungan praktis kalau menggarap
objek lain yang bukan gas ideal, menurut Anda sebaiknya menggunakan
perumusan yang mana?
2. Sistem N atom monoatomik yang masing-masing bermassa m berada
dalam kotak L x L y L z dan berinteraksi termal dengan lingkungan
bertemperatur T. Asumsikan bahwa jarak antar atom cukup besar
sehingga interaksi antar atom dapat diabaikan. Asumsi ini juga
memungkinkan kita memandang perilaku rata-rata seluruh atom sebagai
jumlah dari seluruh rata-rata perilaku satu atom. Sistem demikian kita
sebut gas ideal.
a. Turunkan ungkapan fungsi partisi
b. Ungkapan energi sistem

Petunjuk Jawaban Latihan

1. Bagaimanapun juga, kita harus menghitung besaran fungsi partisi Z,
atau lebih tepatnya lnZ, dari informasi tentang nilai-nilai energi
{ ε 1 , ε 2 , ε 3 , … ε N }. Artinya lebih ringkas kalau mulai dengan
menghitung energi bebas Helmholtz F = kT.lnZ, hanya barangkali ada
yang bertanya bagaimana dengan kelanjutannya? Tetapi karena
hitungan tentang lnZ melibatkan variabel-variabel T dan V, maka yang
kita peroleh adalah F(V,T). Selain itu kita juga mempunyai hubungan
 −∂ F ( T , F ) ∂ F (T , F)
S= dan juga P=¿− . Dengan demikian
∂T ∂V
sekaligus mempermudah hitungan untuk fungsi entropi S dan tekanan P.
2. Dari energi partikel dalam kotak tiga dimensi
2 2 2
π 2 ℏ2 n x n y n z
ε r ≡ En n n =x y z
[+
2m L2x L2y L2z
+
]
sehingga diperoleh persamaan:

a. fungsi partisi Z= ∑ e−β ε dengan r

n x n y nz
2

Z =∑ e
{ 2m Li( )} dengan i=x , y , z
− β π 2 ℏ2 n i
2

i
ni
2

{ ∞
( )}d n =
−β π 2 ℏ 2 n i
m Li
2m

√
2
Li
Z=∫ e subtitusi hasil integral ini
i
ni =1
i 2 π ℏ2 √ β
ke dalam fungsi partisi lengkap dan akan diperoleh ungkapan fungsi
3
m V
partisi Z= ( 2 π ℏ2 ) 2
β3 /2

b. Untuk memperoleh energi rata-rata sistem ambil logaritma fungsi

3
partisi ln Z=¿ln [
( ) βV
m
2 π ℏ2
2
3 /2 ]

−∂ LnZ
⟨ ε⟩= dan diperoleh energi rata-rata
∂β
3
⟨ E ⟩ =N ⟨ ε ⟩= NkT
2
RANGKUMAN
Jika kita menggunakan kasus gas ideal ditinjau dari sudut termodinamika
untuk menghitung energi rata-rata sebuah atomnya pada suhu T kita dapatkan
3
nilai energi rata-rata itu ⟨ ε ⟩ = kT
2
1. Sedangkan analisis pendekatan statistik dengan parameter β, kita
2
menghasilkan energi rata-rata sebesar . Jadi mestinya kita
(2 β )
1
dapat mengidentifikasikan parameter β tadi sebagai besaran
kT
yang dimensinya [1/(dimensi-energi).
2. Untuk memeriksa kaitan antara besaran-besaran termodinamika lain
untuk gas ideal, tampaknya lebih sederhana jika kita gunakan apa
yang kita sebut fungsi partisi Z(β) = ξ N ( β ) , di mana ξ ( β ) adalah
fungsi partisi atom. Hitungan selanjutnya menunjukkan bahwa
dengan tekanan P, serta nilai ξ ( β ) pada gas ideal sebagai kumpulan
N partikel bebas bergerak dalam ruang yang volumenya V kita
peroleh persamaan keadaan PV = NkT.
3. Kita juga dapat menghitung besarnya entropi gas ideal S secara
eksplisit baik dalam kaitannya dengan besaran makroskopik seperti
volume V, maupun besaran mikroskopik massa atom m.
4. Yang juga menarik adalah hubungan yang sangat sederhana antara
energi bebas Helmholtz F ≡ U−TS dengan besaran fungsi partisi
Z dalam bentuk F(V,T) = – kTlnZ (V , T ). Bentuk semacam ini
memungkinkan kita melakukan hitungan kaitan antara fungsi
termodinamika (makroskopik) dengan besaran-besaran mikroskopik
atom
unsur pembangunnya, yaitu .
molekul
5. Partikel yang dinamikanya menunjuk pada status energi yang dapat
diberi indeks j maka pada suhu T kumpulan N partikel semacam itu
akan terdistribusi menurut aturan distribusi Maxwell Boltzmann.
Jika ε j adalah energi partikel pada status-j maka peluang partikel itu
−ε j
berada pada status-j sebanding dengan kT
e

TES FORMATIF 1

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1. Hitungan statistik untuk mencari nilai energi rata-rata satu atom dalam
kasus gas ideal dapat diungkapkan sebagai:
a. ∑ e−βε j

j
∞
b. ∑ nj ε j
i=1
∞

∑ nj εj
c. i=1
ξ N (β )
∞

d.
∑ nj ε j
1 i=1
N ξ ( β)

2. Hitungan statistik untuk mencari distribusi n j dengan peluang terbesar,

yang dibatasi oleh ketentuan bahwa energi keseluruhan bersifat tetap
N
n j= semilyar −ε j
e− β ε j

E, hanya memberi kesimpulan kT

dan tentunya
∑ e
j =1
E=∑ n j ε j dengan parameter β yang belum menentu. Untuk
j
memperoleh makna dari parameter tersebut kita menggunakan contoh
kasus Gas Ideal, lalu ....
3
a. menggunakan hasil empirik bahwa pada gas ideal berlaku pV =
2
NkT
b. melakukan hitungan secara mekanika pada masing-masing partikel
untuk mencari jabaran dari besaran yang kita sebut Gaya interaksi.
c. mencari nilai β dari persamaan matematika fungsi partisi Z(β) =
ξ N ( β)
d. menggunakan campuran antara tekanan P secara mekanika, dan
hukum empirik gas ideal
 N −βεj
n j= ∞ −ε j
e
3. Hasil hitungan distribusi kT bermakna ....
∑e
j=1
a. makin besar nilai β berakibat makin banyak atom/molekul yang
menduduki status dengan energi lebih tinggi
b. makin besar nilai β berakibat makin sedikit atom/molekul yang
menduduki status dengan energi lebih tinggi
c. besarnya nilai β tidak berpengaruh pada banyaknya atom/molekul yang
menduduki status dengan energi lebih tinggi
d. Besar kecilnya nilai parameter β hanya berpengaruh pada besarnya
energi total E

4. Pada kasus gas ideal fungsi partisi Z(β) = ξ N ( β ) bergantung pada volume
gas idealnya V. Itu terjadi karena ....
a. energi total untuk jumlah atom N yang sama bergantung pada volume
b. parameter β bergantung pada volume
c. gas dapat mengembang sehingga dapat mengubah besaran energi kinetik
d. energi masing atom/molekul penyusunnya bergantung pada volume

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang

terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Tingkat penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar
 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang
belum dikuasai.
 Kegiatan Belajar 2

Gas Tak Ideal

U ntuk lebih meyakinkan akan keandalan distribusi Maxwell Boltzmann
kita akan menerapkan pendekatan statistik pada kasus yang bukan gas
ideal.

1. Zat Padat
Selain Gas, wujud lain yang mudah digarap adalah bahan padat, yang
tidak mudah berubah bentuknya. Dalam bayangan kita molekul (atau atom)
pembentuknya itu oleh gaya tarik antar molekul seolah-olah “melekat” satu
sama lain, mengikuti aturan tertentu. Ada geometri khusus yang
mempelajari bentuk tata laksana wujud padat ini, yang sering disebut kisi-
kisi (“lattice”). Pengukuran kapasitas panas bahan padat umumnya
menunjuk pada nilai C v ( T )pada suhu ruang sebesar 3 Nk , dua kali nilai
C v ( T ) pada bahan yang berupa gas. Hal itu juga dapat dijelaskan lewat cara
yang sangat sederhana. Molekul atau atom yang ada pada bahan padat
tersebut sesungguhnya tidak diam (statik) melainkan bergetar, katakanlah
mengikuti gerak harmonik. Energinya dapat diungkap dalam besaran
simpangan ⃗s dan momentum ⃗p menggunakan ungkapan mekanikanya
Hamilton sebagai:
⃗p2 K 2
ε ( ⃗s , ⃗p )= + s⃗
2m 2

Jika gerak getaran itu terjadi dalam arah 3-dimensi maka

ungkapannya menjadi:
p 2x + p2y + p2z K 2 2 2
ε ( x , y , z , p x p y p z )= + (x + y +z )
2m 2

Untuk mudahnya, kita anggap saja masing-masing molekul pada kisi-

kisi itu bergetar dengan frekuensi yang sama, berarti tetapan pegas 
nilainya sama. Jadi garapan kita terdiri atas N molekul yang melakukan
getaran harmonik seperti dilukiskan oleh persamaan [3-35] di atas.

Kita dapat menyatakan besaran fungsi partisi atom seperti yang ada
pada persamaan [3-35] menjadi:
β ( p2x + p2y + p2z )
[{ }{ }]
2 2 2
(x + y + z )
+ K
1 −
2m 2
ξ ( β ) = 3 ∫ dx ∫ dy ∫ dz ∫ d p x ∫ d p y ∫ d p z e
h

Karena besaran x, y dan z, demikian juga p x , p y dan p z dalam

ungkapan di atas dapat ditulis sebagai faktor terpisah, maka ungkapan itu
juga dapat dituliskan sebagai:
− β p2 3 −β s 2 K 3
1
ξ ( β) = 3
h
{∫ e2m
dp } {∫ e 2
ds }
 Kalau dihitung dengan menggunakan rumus integral
+∞
π
√
2

∫ e−a p d px =
x

a
−∞
Hasilnya:
3 3

( ) [√ ] [ √ ]
1
ξ ( β) = 3
h
2 πm
β
2π
Kβ
Dari sini kita dapat menghitung energi rata-rata per atom/molekul
lewat:
−∂ ln ξ ( β ) 3
⟨ ε⟩= = atau ⟨ ε ⟩ =3 kT
∂β β
Jadi energi internal untuk zat padat adalah: U ( T )=N ⟨ ε ⟩ =3 NkT

Nilainya dua kali nilai energi internal hasil hitungan untuk gas ideal. Apakah
ini sesuai dengan hasil pengamatan eksperimen?

Pengamatan eksperimen tidak pernah dapat mengukur besaran

energi internal itu secara absolut. Besaran yang biasa kita ukur dalam
eksperimen itu bukan energi internal U, melainkan kapasitas panasnya, yaitu
banyaknya energi yang kita perlukan untuk menaikkan suhu benda tersebut
dengan 1 derajat. Besaran kapasitas panas pada volume konstan biasanya
dituliskan dengan lambang C v yang dari pelajaran termodinamika nilainya
dU (T )
didapat dari C v= . Kapasitas panas ini mestinya nilainya bisa
dT
bergantung pada suhu T, sehingga biasanya dituliskan dengan lambang
C v (T ). Tetapi hasil eksperimen C v (T ) untuk gas yang sangat renggang
(jumlah molekulnya kecil dibandingkan dengan volumenya sehingga
situasinya mirip dengan gas yang diberi predikat ideal), ternyata nilainya
3
tidak bergantung pada suhu T, dan besarnya = Nk
2
Jadi untuk zat padat dari persamaan [3-39] kita dapatkan:
dU (T )
C v= =3 Nk
dT
Nilai ini sesuai dengan apa yang didapat dari hasil
pengukuran eksperimen. Pada hampir semua bahan padat asalkan
suhunya tidak terlalu rendah pengukuran kapasitas panasnya selalu
bernilai 3 Nk . Dahulu itu dikenal sebagai hukum Dulong Petit. Jadi
aturan distribusi Maxwell Boltzmann ternyata cukup dapat
diandalkan. Sayangnya, ketika teknologi untuk menghasilkan suhu
rendah sudah berkembang ditemukan bahwa kapasitas panas zat
padat itu nilainya menurun pada suhu yang rendah, bahkan
cenderung nilainya mendekati nol ketika suhu T mendekati nilai nol.

Lalu apa pendekatan statistik Maxwell Boltzmann itu salah?

Einstein melihat bahwa ketidaksesuaian antara ramalan kapasitas

panas zat padat dengan hasil pengamatan pada suhu yang rendah itu bukan
berasal dari statistik Maxwell Boltzmann melainkan dari cara kita membahas
mekanika untuk getaran harmonik. Sebagai salah seorang pelopor mekanika
kuantum, Einstein melakukan hitungan statistik yang sama tetapi cara
membuat kotak-kotak status energinya harus disesuaikan dengan aturan
mekanika kuantum.

2. Menerapkan Hitungan Mekanika Kuantum

Menurut mekanika kuantum, status energi sebuah osilator harmonik ditandai

dengan sebuah bilangan kuantum j yang nilainya boleh 0, 1, 2, 3, ...dan
seterusnya. Energi osilator pada status tersebut nilainya:
ε j=hν ( j+0,5 ) , di mana h tetapan Planck dan ν frekuensi osilator tersebut
Dengan demikian kita dapat menghitung berapa energi internal U dari bahan
padat tersebut pada suhu T. Jika ada 3N osilator harmonik, dengan
menggunakan aturan Maxwell Boltzmann, peluang bahwa osilator tersebut
 −ε j
menempati status-j sebanding dengan kT , maka energi total zat padat itu
e
adalah:
∞ −ε j ∞ −εm
3N
U ( T )= ∑ ε e kT dengan ξ= ∑ e kT
ξ j=o j m =o
1
Sudah kita bahas sebelumnya bahwa ada kalanya kita tulis sebagai
kT
parameter β , maka ungkapan untuk energi internal U menjadi lebih
sederhana.
−3 N ∂ ξ ( β )
U=
ξ (β) ∂ β
Oleh karena itu, akan kita hitung sekarang nilai ξ ( β ) tersebut.
∞ ∞ (−βhυ
2 )
e 1
ξ ( β ) = ∑ e−¿ β ε m= ∑ e−βhυ ( m+0,5 )= = ¿
1−e (−βhυ ) βhυ
m=o m=0
sinh( )2
jadi dengan menggunakan persamaan [3-43] akan kita dapatkan:
βhυ
3
U =( ) Nhυ
( 2 ) 3
cosh
=( ) Nhυ
e
βhυ
2
+e
− βhυ
2

βhυ
2 βhυ 2 −βhυ
sinh ( ) e 2
−e 2
2
Rumus hasilnya tampak agak ruwet, tetapi dapat kita artikan secara
sederhana sebagai berikut.
Pertama kali kita mengubah ungkapan persamaan [3-45] menjadi
1
ungkapan U(T), yaitu mengganti β dengan . Dari ungkapan U sebagai
kT
fungsi dari suhu T, mestinya kita dapat menghitung besarnya kapasitas panas
tadi sebagai:
dU
C v=
dT
hυ dU
Jika kita definisikan besaran x=
kT
, maka
dT
=
dU
dx ( )( dTdx )
 hυ dx
Dari definisi x= kita peroleh =¿, sehingga:
kT dT

dU 3
2 2
x sin h ( x )−cos h ( x ) 3 ( Tx )
Cv (T )≡
dT
=−
2 () ( )
Nhυ
T sin h 2 ( x )
=
2 ()
Nhυ
sin h2 ( x )
hυ 2 1
Diungkapkan dalam T , diperoleh:
C v T =3 Nk
( ) ( )
2kT hυ
sin h2 ( )
2 kT
Nah, sekarang kita tafsirkan makna dari hasil hitungan tersebut.
hυ
Pada suhu T yang tinggi besaran x= menjadi sangat kecil sehingga
kT
1 x2
sinh ( x ) ≅()
2
[ ( )
( x −1 )−( 1−x ) ] ≅ x maka C v ( T ) ≅ 3 Nk 2 =3 Nk
x
tepat seperti yang kita jumpai pada hasil perhitungan dengan osilator klasik
yang sesuai dengan hukum empirik Dulong Petit.

Kalau T → 0 maka x menjadi sangat besar sehingga besaran sinh(x) akan

1 x
mendekati
2 ()
e
Maka persamaan [3-49] akan mengubah menjadi:
−hυ
3 hυ 2 (2 kT )
Cv (T ) ≅ () ( )
2
Nk
kT
e
Ada dua faktor yang saling bertanding untuk membesar atau mengecil.
hυ 2
Faktor pertama adalah
kT ( )
, yang tentunya semakin besar jika T → 0.

Faktor yang kedua adalah ( −hυ

2 kT ) yang semakin mengecil ketika T → 0.
e
Tetapi perlu diingat bahwa mengecilnya sebuah fungsi secara eksponen itu
tidak dapat ditandingi oleh membesarnya sebuah fungsi polinom derajat
berapa pun juga. Dengan demikian kompetisi antara dua faktor itu akan
dimenangkan oleh faktor kedua ketika T → 0..
Artinya, memang benar bahwa C v ( T ) dalam ungkapan persamaan [3-52] itu
akan mengecil ketika T mendekati 0. Jadi model Einstein yang sangat
sederhana ini dalam garis besarnya dapat menerangkan perangai kapasitas
panas seperti yang diamati dalam eksperimen.

Masih adakah keluhan?

Sayang, ketika pengukuran eksperimen itu dilakukan lebih teliti lagi pada
suhu T mendekati 0, hasil hitungan Einstein itu menunjukkan proses
menurunnya C v ( T ) yang terlalu cepat (didominasi oleh fungsi eksponesial).
Asumsi yang digunakan oleh Einstein bahwa setiap atom/molekul dalam zat
padat itu bergetar dengan frekuensi yang sama, harus diakui jelas belum
melukiskan situasi yang sesungguhnya. Kemudian ada model lain yang lebih
mendekati realita dan masih dapat dihitung secara analitik, yaitu yang dibuat
oleh Debey. Hasil perhitungan dengan modelnya Debey ini ternyata lebih
mendekati hasil pengukuran eksperimen. Hitungan yang lebih sesuai
tentunya adalah yang benar-benar memandang atom-atom yang ada pada zat
padat itu saling ikat mengikat, jadi jelas tidak bebas bergetar sendiri-sendiri.
Bahkan mestinya pola ikat mengikat itu pun harus disesuaikan dengan
struktur kisi-kisi zat padat yang ragamnya pun cukup besar. Pada tahap ini
kita tidak akan tenggelam dalam kancah hitungan matematika yang lebih
akurat. Sekurangnya kita diyakinkan bahwa pemikiran kita tentang
penggunaan distribusi Maxwell Boltzmann itu ada pada jalur yang tidak
keliru. Kenyataan bahwa C v ( T ) → 0 ketika T → 0, mempunyai makna
yang penting, sebab itu berakibat bahwa suhu T = 0 itu hanya dapat didekati.
Diperlukan upaya yang cukup berat untuk dapat dicapai. Sama halnya dengan
kecepatan cahaya c tidak mudah dicapai oleh objek yang memiliki massa.

Adakah keluhan lain lagi?

Ketika kita mengganti rumus besarnya energi pada masing-masing status
energi yang ada dari ungkapan mekanika klasik ke ungkapan mekanika
kuantum untuk osilator harmonik timbul konsekuensi baru. Memang untuk
suhu T yang tinggi ungkapan klasik itu tidak salah, tetapi ketika suhu T
rendah nilainya C v ( T ) untuk zat padat lalu bergantung pada suhu T dan
bahkan nilainya menurun mendekati nol ketika T → 0. Jangan-jangan
penerapan hitungan mekanika kuantum untuk gas ideal juga akan mengubah
perangai kapasitas panasnya.
Untuk gas ideal kita tidak perlu khawatir. Pertama, kalau suhu T-nya rendah,
gasnya akan berubah menjadi zat cair dan untuk suhu yang lebih rendah lagi
menjadi zat padat. Jadi pada suhu rendah yang kita jumpai hanya zat padat,
tidak ada gas pada suhu T mendekati nol. Kedua, jika Anda menyimak
ungkapan kuantum untuk gerak partikel bebas, rumus energinya hampir tidak
berbeda dengan rumusan klasik. Ada faktor pembagi yang sebanding dengan
volume V tempat gas itu berada. Yang dimaksud dengan gas ideal adalah gas
yang kerapatan atomnya sangat renggang sehingga pada jumlah partikel N,
N
volumenya harus cukup besar sehingga nilai sangat kecil. Gas yang tidak
V
ideal, sering disebut gas riil ceritanya lain lagi, tetapi itu akan kita bahas pada
kuliah yang lebih lanjut.

Contoh soal 2:
Sistem sederhana terdiri dari 3 osilator harmonik dengan frekuensi masing-
masing 2 MHz, 3 MHz, dan 7 MHz. Energi eksitasi ke-n osilator harmonik
secara kuantum diberikan oleh ungkapan ε n=( n+0,5 ) hν dengan
n=0,1,2 , … dengan h= 6,626 x 10 erg.det. (tetapan Planck). Bila energi
-27

sistem 132,52 x 10-20 erg tentukan entropi sistem.

Penyelsaian:
Misalkan energi masing-masing osilator harmonik dituliskan sebagai
ε n=( ni +0,5 ) hν dengan i=0,1,2 , … maka Energi E=ε n1 + ε n2+ ε n3
Jika frekuensi setiap osilator harmonik diuliskan sebagai ν1 =2 ν , ν 2=3 ν
dan ν3 =7 ν dengan ν=106 Hz maka energi sistem dapat dituliskan
menjadi:
E=(2 ¿ ¿ n1 +3 n +7 n + 6)hν =132,52 x 10−20 erg¿
2 3

Dengan demikian
132,52 x 10−20 erg
(2 ¿ ¿ n1 +3n +7 n )= −6=14 ¿
2 3
hν
Keadaan masing-masing osilator harmonik yang memenuhi kondisi tersebut
n1 n2 n3
7 0 0
 4 2 0
2 1 1
1 4 0
0 0 2
Jadi terdapat 5 ensamble dengan energi sistem 3 osilator harmonik
132,52 x 10−20 erg. Dengan demikian entropi sistem
S=k ln ξ = 1,381 x 10-16 ln 5 erg/K=2,223 x 10-16 erg/K

3. Azas Ekipartisi Energi

Wah, apa artinya istilah itu? Itu terjemahan dari “energy equipartition
principle”, disajikan di sini agar jika Anda menjumpainya pada literatur yang
lain tidak bingung. Kita sudah membahas kasus gas ideal sebagai kumpulan
partikel yang bergerak bebas, dan zat padat yang dimodelkan secara
sederhana sebagai kumpulan osilator harmonik. Untuk partikel bebas fungsi
Hamiltonnya
untuk osilator harmonik fungsi Hamiltonnya
p2x + p2y + p2z
H ( x , y , z , p x , p y , p z )=
2m
Untuk osilator harmonik fungsi Hamiltoniannya
1 2 2 2 K 2 2 2
( x , y , z , p x , p y , p z )= 2 m ( p x + p y + p z ) + 2 ( x + y + z )
Ada keistimewaan bentuk ungkapan matematika antara keduanya, Yang
pertama masing-masing variabel baik itu variabel koordinat maupun variabel
momentum selalu muncul dalam bentuk kuadrat. Yang kedua tidak ada suku
yang merupakan campuran hasil kali dua variabel yang berbeda, seperti
misalnya xy atau xz. Dengan demikian sesungguhnya kita dapat menuliskan
fungsi Hamilton tersebut menjadi jumlah dari fungsi Hamilton yang
masingmasing hanya mengandung satu variabel saja. Jadi untuk gas ideal
p2x p 2y
kita dapat menuliskan H=H 1 + H 2 + H 3 dengan H 1= , H 2= ,
2m 2m
p2z
H 3=
2m
 H=H 1 + H 2 + H 3 + H 4 + H 5 + H 6
untuk zat padat kita dapat menuliskan
K 2 K 2 K 2
dengan H 4 = ( )
2
x , H 5=
2 ( )
y , H 6=
2 ( )
z
Masing-masing dari H 1 sampai dengan H 6 itu punya bentuk yang sama,
yaitu kuadrat variabelnya dikalikan dengan sebuah konstanta. Ketika kita
membuat hitungan fungsi partisi atom kita menggunakan rumus yang sama,
yaitu
+∞
π
√
2

∫ e−a p d px =
x

a
−∞
yang hasil integrasinya hanya bergantung pada konstanta a. Jadi tentunya
pada gas ideal masing-masing koordinat menyumbang nilai integral yang
sama. Lebih jauh lagi ketika kita menghitung energi rata-ratanya, konstanta
yang mengandung massa partikel m itu pun tidak muncul lagi. Energi rata-
rata yang diperoleh dari satu komponen koordinat adalah. Energi rata-rata
atom yang bergerak bebas dalam ruang itu merupakan jumlah dari
3
sumbangan 3 variabel koordinat, sehingga energi rata-ratanya kT .
2
Pada kasus zat padat perhitungan energi rata-ratanya juga tidak mengandung
baik massa atom m maupun tetapan pegas K . Gerak harmonik energinya
disumbangkan dari energi kinetik dan energi potensial dan masing-masing
1 1
menyumbang 3
[( ) ( ) ]
2
kT +
2
kT

Artinya hitungan statistik semacam ini menghasilkan energi rata-rata

yang seolah-olah disumbangkan dalam jumlah yang sama, yaitu ( 12 ) kT dari

masing-masing komponen arah baik oleh energi kinetik maupun oleh energi
potensial. Itulah suatu kesimpulan yang kemudian dijadikan semacam asas
sumbangan yang sama. Untuk mudahnya agar Anda tidak bingung kalau
membaca literatur dalam bahasa Inggris kita tulis saja sebagai azas ekipartisi
energi.
 LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai

materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!
Pada hitungan klasik energi getaran atom/molekul dalam zat padat itu
bersifat kontinu, setiap nilai energi diperbolehkan. Pada hitungan kuantum
energi getaran atom/molekul hanya boleh bernilai diskrit:
ε j=hν ( j+0,5 ) , j=0,1 ,2 , .. . dan seterusnya. Perbedaan itu relatif kecil
sebab nilai tetapan Planck h juga sangat kecil. Mengapa hal itu berakibat
kapasitas panas hitungan klasik menghasilkan nilai tetap = 3Nk tidak
bergantung pada suhu T, sedangkan perhitungan serupa berdasar energi
kuantum menghasilkan kapasitas panas yang mendekati 0 jika kita
menurunkan suhu T → 0?

Petunjuk Jawaban Latihan

Hasil hitungan matematikanya memang begitu dan tak ada kesalahan dalam
proses hitungan tadi, jadi ya harus begitu, memang benar dari sisi hitungan,
hanya untuk ilmu alam rumus-rumus matematika adalah model
(dimungkinkan adanya lebih dari satu model) yang tetap harus diuji
kesesuaiannya dengan hasil pengamatan eksperimen. Semakin rendah suhu
T, semakin banyak persentase atom-atom yang energi getarannya menduduki
tingkat yang rendah hal ini merupakan ungkapan yang benar, tetapi belum
terlihat kaitannya dengan besaran kapasitas panas. Pada hitungan kuantum

energi terendahnya bukan = 0, melainkan ( 12 ) hν lebih tepat kalau yang kita

persoalkan adalah energi, padahal kapasitas panas adalah banyaknya

tambahan energi yang diperlukan untuk menaikkan suhu dengan satu derajat
 RANGKUMAN

1. Distribusi Maxwell Boltzmann kita terapkan untuk objek yang bukan

gas ideal, yaitu zat padat yang dimodelkan secara sederhana sebagai
kumpulan atom yang melakukan getaran harmonik dengan pusat yang
terletak pada kisi-kisi. Hasilnya cukup menggembirakan karena hasil
hitungan kapasitas panasnya sebesar 3Nk sesuai dengan pengamatan
yang dicatat sebagai hukum Dulong Petit.
2. Sayangnya pemodelan zat padatnya kurang sesuai sehingga tidak cocok
dengan hasil eksperimen pada suhu yang rendah, yang menunjukkan
bahwa kapasitas panas zat padat itu nilainya menurun dan mendekati
nol jika suhu T menuju ke nilai nol. Einstein menyajikan hitungan yang
menunjukkan bahwa kalau kita menggunakan status-status energi
osilator harmonik yang mengikuti hasil mekanika kuantum maka
kesimpulannya pada suhu ruang kapasitas panasnya memang 3Nk, tetapi
pada suhu rendah kapasitas panas zat padat C v ( T ) akan menuju nol
ketika T menuju nol. Jadi yang kurang tepat bukan penggunaan
statistiknya melainkan pemodelan zat padatnya.
3. Realita bahwa C v ( T ) → 0 ketika T→0 punya makna bahwa suhu T =
0 itu akan sukar dapat diwujudkan. Makin dekat suhunya dengan titik
nol makin kecil kapasitas panasnya, artinya makin mudah sistem
tersebut berpindah ke suhu yang lebih tinggi. Anda juga tahu dari teori
relativitas Einstein bahwa objek yang punya massa (lembam) tidak
pernah dapat bergerak dengan kecepatan yang sama dengan kecepatan
cahaya sekitar 300 000 km/detik, sebab makin tinggi kecepatannya,
makin besar massa lembamnya.
4. Ada istilah asas ekipartisi energi karena hasil hitungan statistik kita
menunjukkan bahwa masing-masing komponen arah maupun jenis
 energi kinetik atau potensial menyumbang nilai yang sama, yaitu

( 12 ) kT pada energi rata-rata atom pembangun gas maupun zat padat.

TES FORMATIF 2

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1) Model sederhana yang digunakan untuk melukiskan perilaku termal zat

padat adalah kumpulan atom/molekul yang secara rata-rata menduduki
tempat-tempat teratur berbentuk kisi-kisi. Masing-masing atom/molekul tidak
sekedar diam di tempat, melainkan bergetar secara harmonik dalam ruang
(dimensi-3). Sebut saja itu “zat padat ideal”. Bagaimana pendapat Anda ....
a. model ini dapat diterima sebagai pendekatan awal karena struktur kristal
maupun gerakan getarnya tidak dapat dilihat dengan indra penglihatan.
b. model ini kurang realistik karena yang menyebabkan atom/molekul itu
bergetar adalah gaya tarik antara sebuah atom/molekul akibat interaksinya
dengan atom/molekul tetangganya
c. model ini kurang realistik karena ada macam-macam bentuk kisikisi
seperti bisa dipelajari dari hasil pengamatan dengan sinar-X tentang
pelbagai struktur kristal
d. model ini kurang realistik karena menggunakan getaran yang sifatnya
harmonik

2) Hitungan klasik menghasilkan kapasitas panas “zat padat ideal” yang

nilainya dua kali lebih besar dibandingkan dengan kapasitas panas gas ideal.
Itu terjadi akibat ....
a. wujud padat terjadi pada suhu yang lebih rendah daripada wujud gas, jadi
lebih susah menaikkan suhu wujud padat dibanding dengan suhu wujud
gas
b. bentuk fungsi Hamilton “zat padat ideal” mengandung 3 kuadrat variabel
momentum dan 3 kuadrat variabel posisi, sedangkan fungsi Hamilton
untuk gas ideal hanya mengandung 3 kuadrat variabel posisi saja
c. wujud padat harus melalui wujud cair dahulu sebelum berubah menjadi
wujud padat
d. zat padat lebih sukar berubah bentuk dibandingkan dengan gas

3) Asas ekipartisi energi menyatakan bahwa jika atom/molekul

pembangunnya memiliki n derajat bebas, maka energi rata-rata per

atom/molekul nilainya n ( 12 ) kT . Kalau kita punya gas ideal yang

pembangunnya molekul oksigen O 2 , maka energi rata-ratanya adalah ....

a. 3 ( 12 ) kT
1
b. 4 ( ) kT
2
1
c. 5 ( ) kT
2
1
d. 6 ( ) kT
2
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.

Tingkat penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar
 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
 Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang
belum dikuasai.
 Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1
1. d
2. d
3. b
4. c

Tes Formatif 2
1. a
2. b
3. d
 Daftar Pustaka

B. Suprapto Brotosiswoyo. (2009). Pengantar Fisika Statistik, cetakan

pertama. Jakarta: Penerbit Universitas Terbuka.

Dwa Desa Warnana, dkk. (2007). Termodinamika, cetakan kedua. Jakarta:

Penerbit Universitas Terbuka

Supahar. (2009). Termodinamika Statistik. Yogyakarta: Pustaka Pelajar.

Supahar. (2017). Fisika Statistik: teori dan soal dan penyelesaiannya.

Yogyakarta: UNY Press

Sears, F.W. and Salinger, G.L. (1985). Thermodynamics: kinetics Theory and
Statistical thermodynamics. Addison Wesley.

Zemansky, M. W and Ditmann, R.H. (1981). Heat and Thermodynamics- an

intermediate text Book, 6th edition. Tokyo: Mc Graw-Hill.