TUGAS METODE NUMERIK

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Disusun Oleh :
Nama : Lasmiyati
NIM : 03041281621043
Dosen Pengampuh : Wirawan Adipradana, S.T., M.T.

Jurusan Teknik Elektro

Fakultas Teknik
Universitas Sriwijaya
Indralaya
2018
 BAB I
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear, banyak metode yang bisa
digunakan. Pada umumnya, matriks digunakan sebagai alat bantu untuk menyelesaikan
Sistem Persamaan Linear. Dari setiap metode pasti memiliki tingkat penyelesaian yang
berbeda-beda. Persamaan Linear mengandung peubah/variabel dengan pangkat tertinggi
adalah 1.

1.2 Rumusan masalah

Penyelesaian persamaan linear

8𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 = 29
𝑥1 + 14𝑥2 + 4𝑥3 + 8𝑥4 = 25
𝑥2 + 6𝑥3 + 4𝑥4 = 7
2𝑥3 + 4𝑥4 = 4
dengan menggunakan metode:

 Gauss Jordan
 Reduksi Crout
 Iterasi Gauss Seidel

1.3 Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah yang telah dibuat, maka makalah ini disusun dengan
tujuan untuk mengetahui hasil akar-akar dari persamaan linear daiatas dengan Metode Gauss
Jordan, Reduksi Crout dan Iterasi Gauss Seidel serta membandingkan hasil akar yang didapat
dari ketiga metode tersebut.
 BAB II

DASAR TEORI
2.1 Metode Gauss-Jordan
Metode Gauss-Jordan yaitu pengembangan dari Metode Gauss dimana matriks A
diubah menjadi matriks identitas I, sehingga tidak diperlukan lagi substitusi mundur untuk
mendapatkan penyelesaiannya.

Ax  b  Ix  b'
 a11 a12 a13 ... a1n b1  1 0 0 ... 0 b1 '  sehingga :
   
 a21 a22 a23 ... aa 2 n b2  0 1 0 ... 0 b2 ' x1  b1 '
 a31 a32 a33 ... a3n b3   0 0 1 ... 0 b3 ' x2  b2 '
   
            x3  b3 '
a bn  0 ... 1 bn '
 n1 an 3 an 4 ... ann 0 0 xn  bn '

2.2 Metode Reduksi Crout

Metode Reduksi Crout merupakan metode lain untuk melakukan dekomposisi LU,
dengan mengkalikan matriks L dengan matriks U sehingga didapat hubungan antara elemen L
dengan elemen U. Untuk elemen L digunakan segitiga atas yang berperan sebagai setengah
matriks identitas dan elemen matriks U digunakan segitiga bawah yang berperan sebagai
matriks idenitas lainnya. Adapun susnanya dapat dijabarkan dengan rusmus A = LU, maka
akan didapatkan rumus sebagai berikut:
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14 1 0 0 0 𝑢11 𝑢12 𝑢13 𝑢14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24 𝑙21 1 0 0 0 𝑢22 𝑢23 𝑢24
[𝑎 𝑎32 𝑎33 𝑎34 ] = [𝑙31 1 ] x [ 𝑢33 𝑢34 ]
31 𝑙32 0 0 0
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎43 𝑙41 𝑙42 𝑙43 1 0 0 0 𝑢44
𝑢11 𝑢12 𝑢13 𝑢14
𝑙21 𝑢11 𝑙21 𝑢12 + 𝑢22 𝑙21 𝑢13 + 𝑢23 𝑙21 𝑢14 + 𝑢24
[ ]
𝑙31 𝑢11 𝑙31 𝑢12 + 𝑙32 𝑢22 𝑙31 𝑢13 + 𝑙32 𝑢23 + 𝑢33 𝑙31 𝑢14 + 𝑙32 𝑢24 + 𝑢34
𝑙41 𝑢11 𝑙41 𝑢12 + 𝑙42 𝑢22 𝑙41 𝑢13 + 𝑙42 𝑢23 + l43 𝑢33 𝑙41 𝑢14 + 𝑙42 𝑢24 + 𝑙43 𝑢34 + 𝑢44
2.3 Metode Iterasi (Metode Gauss-Seidel)
Metode Iterasi Gauss Seidel mirip dengan Metode Iterasi Jacobi. Pada Metode Iterasi
Gauss Seidel, nilai x baru yang didapat langsung digunakan pada persamaan selanjutnya
untuk mendapatkan nilai xi+1 lainnya. Oleh karena itu, Metode Iterasi Gauss Seidel lebih
cepat konvergen dibandingkan Metode Iterasi Jacobi.
2.4 Metodologi
Menghitung akar persamaan dari empat persamaan diatas menggunakan metode
Gauss-Jordan, metode Reduksi Crout dan metode Iterasi Gauss-Seidel.
 BAB III
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Terdapat persamaan
8𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 = 29
𝑥1 + 14𝑥2 + 4𝑥3 + 8𝑥4 = 25
𝑥2 + 6𝑥3 + 4𝑥4 = 7
2𝑥3 + 4𝑥4 = 4
Dibentuk dalam matriks
8 12 4 𝑥1 29
1 144 8 𝑥2 25
[ ] [ ]=
0 16 4 𝑥3 7
0 02 4 𝑥4 4
4.1 Metode Gauss-Jordan

Pada matriks diatas, didapat matriks A dan matriks B dimana dapat kita susun sebagai
berikut

8 1 2 429 𝑥1
1 144 825 𝑥
[ ]= [𝑥2 ]
0 16 47 3
0 02 44 𝑥4

Ubah elemen matriks A ke bentuk matriks identitas, sehingga elemen pada matriks B secara
otomatis menjadi nilai dari akar yang dicari.
Dari metode Gauss-Jordan di atas maka didapatkan hasil akar-akar sebagai berikut:
𝟏 𝟑
𝒙𝟏 = 𝟑; 𝒙𝟐 = 𝟏; 𝒙𝟑 = ; 𝒙𝟒 =
𝟐 𝟒
4.2 Metode Reduksi Crout
Dengan persamaan berikut
8 1 2 4 𝑥1 29
1 144 8 𝑥2 25
[ ] [ ]=
0 1 6 4 𝑥3 7
0 0 2 4 𝑥4 4
Dengan mengambil hubungan pada metode dekomposisi LU, maka didapat
𝑎11 = 𝑢11 = 8
𝑎12 = 𝑢12 = 1
𝑎13 = 𝑢13 = 2
𝑎14 = 𝑢14 = 4
𝑎21 1
𝑎21 = 𝑙21 𝑢11  𝑙21 = = 8
𝑢11

1 111
𝑎22 = 𝑙21 𝑢12 + 𝑢22  𝑢22 = 𝑎22 – 𝑙21 𝑢12  𝑢22 = 14 – 8 (1) = 8
1 15
𝑎23 = 𝑙21 𝑢13 + 𝑢23  𝑢23 = 𝑎23 – 𝑙21 𝑢13 = 4 – 8 (2) = 4
1 15
𝑎24 = 𝑙21 𝑢14 + 𝑢24  𝑢24 = 𝑎24 – 𝑙21 𝑢14 = 8 – 8 (4) = 2
𝑎31 0
𝑎31 = 𝑙31 𝑢11  𝑙31 = = = 0
𝑢11 8

𝑎32 −𝑙31 𝑢12 1−0 8

𝑎32 = 𝑙31 𝑢12 + 𝑙32 𝑢22  𝑙32 = 𝑢22
= 111 = 111
8
𝑎33 = 𝑙31 𝑢13 + 𝑙32 𝑢23 + 𝑢33  𝑢33 = 𝑎33 – 𝑙31 𝑢13 − 𝑙32 𝑢23
8 15 212
= 6 – 0 – (111 ( 4 )) = 37

𝑎34 = 𝑙31 𝑢14 + 𝑙32 𝑢24 + 𝑢34  𝑢34 = 𝑎34 − 𝑙31 𝑢14 – 𝑙32 𝑢24
8 15 128
= 4– 0– ( )( ) =
111 2 37
𝑎41 0
𝑎41 = 𝑙41 𝑢11  𝑙41 = = = 0
𝑢11 8

𝑎42−𝑙41 𝑢12 0−0

𝑎42 = 𝑙41 𝑢12 + 𝑙42 𝑢22  𝑙42 = 𝑢22
= 111 = 0
8
𝑎43 −𝑙41 𝑢13 −𝑙42 𝑢23 2−0−0 37
𝑎43 = 𝑙41 𝑢13 + 𝑙42 𝑢23 + 𝑙42 𝑢33  𝑙43 = = 212 = 106
𝑢33
37
𝑎44 = 𝑙41 𝑢14 + 𝑙42 𝑢24 + 𝑙43 𝑢34 + 𝑢44  𝑢44 = 𝑎44 − 𝑙41 𝑢14 – 𝑙42 𝑢24 – 𝑙43 𝑢34
37 128 148
= 4– 0– 0– ( 37 ) =
106 53
 Maka didapatlah nilai matriks L dan matriks U secara utuh seperti pada metode
Dekomposisi LU, hanya saja pengerjaan dengan metode ini lebih mudah dari Dekomposisi
LU. Selanjutnya sama dengan LU. Ingat persamaan pada dekomposisi LU, dinyatakan bahwa
𝐿𝑦 = 𝑏 dan 𝑈𝑥 = 𝑦
𝐿𝑦 = 𝑏
1 0 0 0 𝑦1 29
1/8 1 0 0 𝑦2 25
[ ][ ] = [ ]
0 8/111 1 0 𝑦3 7
0 0 37/106 1 4𝑦 4
𝒚𝟏 = 𝟐𝟗
1 1 𝟏𝟕𝟏
𝑦 + 𝑦 2 = 25  𝑦2 = 25 − (29)  𝒚𝟐 =
8 1 8 𝟖
8 8 171 𝟐𝟎𝟐
𝑦 2 + 𝑦3 = 7  𝑦3 = 7 – ( )  𝒚𝟑 =
111 111 8 𝟑𝟕
37 37 202 𝟏𝟏𝟏
𝑦 + 𝑦 4 = 4  𝑦4 = 4 − 106 ( 37 )  𝒚𝟒 =
106 3 𝟓𝟑

Lalu
𝑈𝑥 = 𝑦
8 1 2 4 𝑥1 29
0 111/8 15/4 15/2 𝑥2 171/8
[ ][ ] = [ ]
0 0 212/37 128/37 𝑥3 202/37
0 0 0 148/53 𝑥4 111/53
111
53 𝟑
𝑥4 = 148  𝒙𝟒 = 𝟒
553
171 128 3
212 128 202 8
− 37 (4) 𝟏
( 37 ) 𝑥3 + (𝑥4 ) =  𝑥3 = 212  𝒙𝟑 =
37 37 𝟐
37
171 15 1 15 3
111 15 15 171 8
− 4 (2)− 2 (4)
𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 =  𝑥2 = 111  𝒙𝟐 = 𝟏
8 4 2 8
8

12−1−2(12)−4(34)
8𝑥1 + 1𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 = 29  𝑥1 =  𝒙𝟏 = 𝟑
8

4.3 Metode Iterasi (Metode Gauss-Seidel)

Dengan 4 persamaan dan memisalkan 𝑥1 = 𝑥, 𝑥2 = 𝑦, 𝑥3 = 𝑧, dan 𝑥4 = ℎ maka
didapatkan persamaan iterasi untuk 𝑥, 𝑦, 𝑧, dan ℎ.
8𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 = 29
𝑥1 + 14𝑥2 + 4𝑥3 + 8𝑥4 = 25
𝑥2 + 6𝑥3 + 4𝑥4 = 7
2𝑥3 + 4𝑥4 = 4
  Persamaan x
8𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 = 29
8𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 4ℎ = 29
29 − 𝑦 − 2𝑧 − 4ℎ
𝑥=
8
 Persamaan y
𝑥1 + 14𝑥2 + 4𝑥3 + 8𝑥4 = 25
𝑥 + 14𝑦 + 4𝑧 + 8ℎ = 25
25 − 𝑥 − 4𝑧 − 8ℎ
𝑦=
14

 Persamaan z
𝑥2 + 6𝑥3 + 4𝑥4 = 7
𝑦 + 6𝑧 + 4ℎ = 7
7 − 𝑦 − 4ℎ
𝑧=
6

 Persamaan h
2𝑥3 + 4𝑥4 = 4
2𝑧 + 4ℎ = 4
4 − 2𝑧
ℎ=
4
Dengan nilai tebakan awal 𝑥, 𝑦, 𝑧, dan ℎ adalah 2; 0,5; 0,5; dan 0,5 maka didapat nilai untuk
iterasi pertama:
 Persamaan x
𝑥 = (29 − 𝑦 − 2𝑧 − 4ℎ)/8
𝑥 = (29 − 0,5 − 2(0,5) − 4(0,5))/8
𝑥 = 3,1875
 Persamaan y
𝑦 = (25 − (3,1875) − 4(0,5) − 8(0,5))/14
𝑦 = 1,129464
 Persamaan z
𝑧 = (7 − 𝑦 − 4ℎ)/6
𝑧 = (7 − (1,129464) − 4(0,5))/6
𝑧 = 0,645089
  Persamaan h
4 − 2(0,645089)
ℎ=
4
ℎ = 0,677455
Adapun iterasi dapat dilakukan melalui MS. Excel dan didapatkan iterasi sebanyak 13 iterasi.
No x y Z h

1 2 0,5 0,5 0,5

2 3,1875 1,129464 0,645089 0,677455

3 3,145089 1,173948 0,519372 0,740314

4 2,978257 1,001553 0,506198 0,746901

5 2,999806 1,000014 0,502064 0,748968

6 2,999998 1 0,500688 0,749656

7 3 1 0,500229 0,749885

8 3 1 0,500076 0,749962

9 3 1 0,500025 0,749987

10 3 1 0,500008 0,749996

11 3 1 0,500003 0,749999

12 3 1 0,500001 0,75

13 3 1 0,5 0,75

14 3 1 0,5 0,75

Pada iterasi ke-13 dan ke-14 didapatkan nilai yang bulat dan sesuai dengan ketiga metode
sebelumnya.
 BAB IV
KESIMPULAN

Pada pembahasan bab sebelumnya dapat disimpulkan bahwa:

a. Pada Metode Gauss Jordan dibutuhkan ketelitian dalam menghitung masing-masing
kolom agar didapatkan hasil akar yang sesuai. Semakin rumit persamaan maka akan
semakin besar nilai proses yang dilakukan (dalam hal ini pecahan terlalu besar).
b. Pada metode Reduksi Court hanya membutuhkan rumus yang dapat dijabarkan dari
komposisi perkalian L dan U sehingga akan mendapatkan persamaan dan langsung
dapat dimasukan nilai tersebut.
c. Pada metode Gauss-Seidel dibutuhkan persamaan konvergen dimana masingmasing
nilai a11, a22, a33,dan a44 harus lebih besar dari jumlah masing-masing barisnya,
sehingga iterasi yang dilakukan juga tidak terlalu banyak.
 DAFTAR PUSTAKA

Hidayat, Arif. 2014. Metode Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan,

http://arifhidayat659.blogspot.co.id/2014/04/metode-eliminasi-gauss-dan-gauss-
jordan.html. (Diakses pada tanggal 13 Maret 2018).

Khaniifah, Millatul. 2012. Dekomposis LU, http://millatulkhaniifah28.blogspot.

co.id/2012/11/dekomposisi-lu.html. (Di akses pada tanggal 13 Maret 2018).

Anonim. 2013. Contoh Soal Metode Crout, http://carssergai.blogspot.co.id/2013/06/contoh-

soal-metode-crout.html. (Di akses pada tanggal 13 Maret 2018).

Anonim. 2016. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier dengan Metode Gauss Seidel,
http://dokumen.tips/search/?q=Penyelesaian+sistem+persamaan+linear+dengan
+metode+iterasi+gauss+seidel. (Diakses pada tanggal 13 Maret 2018).