Terapan Diferensial

TERAPAN
DIFERENSIAL
FUNGSI ALJABAR
Terapan Diferensial Aljabar

1. Derivatif/turunan merupakan Gradien Garis
Singgung Kurva
2. Derivatif/turunan sebagai fungsi laju
3. Derivatif/turunan untuk menetukan Fungsi
Naik dan Fungsi Turun
4. Derivatif/turunan untuk menentukan Harga
Maksimum dan Harga minimum
Derivatif merupakan Gradien

Garis Singgung Kurva
Nilai derivatif fungsi di suatu titik adalah :
f ' ( xo ) = lim
x = x0
x 0
= lim
x 0
Perhatikan bahwa
y
x
f ( x + x) f ( x)
x
y
merupakan gradien tali busur
x
PQ. Selanjutnya, bila Q lebih mendekati titik P,

maka x 0 akibatnya gradien tali busur PQ akan
sama dengan gradien garis singgung kurva di titik
P ( x 0 , y 0 ) . Jadi :
f ' ( x0 )
= gradien garis singgung kurva

di titik P ( x 0 , y 0 )
Ada 3 kemungkinan persamaan garis singgung kurva di

titik P :
f ' ( x0) 0 maka persamaan garis singgung

kurva di titik P ( x0 , y 0 )
1. Bila
y f ( x0 ) = f ' ( x0 ).( x x0 )
y y0 =
dy
.( x x0 )
dx
2. Bila f``(x0) 0 maka persamaan garis singgung kurva di

titik P (x0,y0) sejajar dengan sumbu-X, sehingga
persamaannya :
y = y0
3. Bila f``(x0) = tidak terdefinisi, maka persamaan garis
singgung kurva di titik P (x0,y0) tegak lurus dengan
sumbu-X, sehingga persamaannya :
x = x0
Garis Normal :
Adalah garis yang arahnya tegak lurus dengan
garis singgung.
Persamaan garis Normal :
1
. ( x x0 )
f ' ( x0 )
y f ( x0 ) =
=
1
gradien garis snggung
Contoh soal
Parabola y = 4 x .x 2 Tentukan persamaan garis
singgung dan garis normal di titik
P (1 , 3) Jawab :
y = 4x x 2
di P(1,3)
y = 4(1) 12 = 3
f ( x0 )
y' = 4 2 x
di P (1,3)
y ' = 4 2.(1) = 2
f ' ( x0 )
Persamaan garis singgung dan garis normalnya :
y f ( x 0 ) = f ' ( x0 ).( x x 0 )
y 3 = 2.( x 1)
y = 2x + 1
1
y 3 = .( x 1)
2
1
1
y = x+3
2
2
Soal Ujian UTS
Contoh soal-2
Tentukan koordinat titik-titik pada kurva y = x 2 xy + y 2 = 27

a. Yang dilalui garis singgung sejajar sumbu X
b. Yang dilalui garis singgung tegak lurus sumbu X
Jawab :
x 2 xy + y 2 = 27
persamaan 1
dy
dx
dy
2x x y + 2 y
=0
dx
dx
dx
2 x xy ' y + 2 yy ' = 0
xy '+2 yy ' = y 2 x
y' ( x + 2 y) = y 2 x
y 2x
dy
= y' =
dx
2y x
Lanjutan jawaban contoh soal-2

Garis singgung sejajar sumbu-X berarti
y 2x
=0
2y x
y 2x = 0
dy
=0
dx
y = 2x
Dimasukkan persamaan 1 ;
x 2 x(2 x) + (2 x) 2 = 27
3x 2 = 27
x = 3
Titik singgungnyanya (3,6) dan (-2, -6)
Lanjutan jawaban contoh soal-2

Garis singgung tegak lurus sumbu-X maka
y 2x
= ttd
2y x
2y x = 0
x = 2y
Dimasukkan persamaan 1
(2 y ) 2 2 y ( y ) + ( y ) 2 = 27
3 y 2 = 27
y = 3
Titik singgungnya = (6,3) dan (-6, -3)
Derivatif sebagai Laju

Misalkan suatu titik bergerak sepanjang jalan S dalam waktu
t , maka S dapat dianggap sebagai fungsi t, yaitu :
S = f (t )
persamaan gerak titik
Jika t mengalami perubahan t, maka S akan berubah sebesar

S
S = f (t + t ) f (t )
Derivatif sebagai Laju
Perubahan S setiap waktu disebut Laju rata-rata selama

waktu t
f (t + t ) f (t )
S
=
t
t
S dS
=
= v Laju sesaat pada saat t
t 0 t
dt
Sedangkan lim
Pada umumnya juga merupakan fungsi waktu sehingga :
v
disebut Percepatan rata-rata selama waktu t
t
dv
dt
disebut percepatan sesaat pada saat
Contoh soal Derivatif sebagai Laju

Suatu benda bergerak dengan persamaan gerak S = 3 + 4t t 2
Laju benda saat t v =
dS
= 4 2t
dt
Percepatan saat t a =
dV
= 2
dt
Sehingga pada saat awal

S0 = 3 (posisi awal)
V0 = 4 (kecepatan awal)
A0 = -2 (percepatan awal)
Pada saat
Lanjutan Contoh soal Derivatif sebagai Laju
Pada saat t = 1
S (1) = 3 + 4.(1) 12 = 6
V(1) = 4 2.(1) = 2
a (1) = 2
Derivatif/turunan untuk menetukan

Fungsi Naik dan Fungsi Turun
a. Jika f(x) kontinyu pada interval a
x b dan dapat dideferensiasi di
a < x < b , dimana f`(x) > 0 di
a < x < b maka fungsi ini Naik
pada interval a x b
naik
b. Sebaliknya bila f`(x) < 0 di

a < x < b di maka fungsi ini
Turun pada interval a x b
turun
Derivatif untuk menentukan

Harga Maksimum & Harga minimum
Suatu fungsi y = f(x) yang kontinyu dikatakan mempunyai
harga Maksimum untuk x = x0, bila memenuhi :
f ( x0 ) > f ( x0 h) dan f ( x0 ) < f ( x0 + h)

Untuk h positif dan cukup kecil
f ' ( x 0 h) > 0 titik P (naik)
f ' ( x0 ) = 0
di titik Q
(sejajar dgn sumbu- X)
f ' ( x 0 + h) < 0 di titik R (turun)
Lanjutan Derivatif untuk menentukan Harga Maksimum & Harga minimum
Suatu fungsi y = f(x) yang kontinyu dikatakan mempunyai

harga Minimum untuk x = x0, bila memenuhi :
f ( x0 ) > f ( x0 h) dan f ( x0 ) < f ( x0 + h)

Untuk h positif dan cukup kecil
f ' ( x 0 h) < 0 titik K (turun)
f ' ( x0 ) = 0 di titik L
(sejajar dgn sumbu- X)
f ' ( x 0 + h) > 0 di titik M (naik)
Beberapa kemungkinan bila
f ' ( x0 ) = 0
1. f ' ( x0 ) = 0 adalah fungsi konstan dalam interval

( x0 h, x0 + h)
10
11
12
13
14
Soal Ujian UTS

1. Suatu kurva y = 2 x 3 9 x 2 60 x 2
Tentukan :
a. Interval pada saat fungsi naik dan turun
b. Harga maksimum dan minimum
c. Tentukan koordinat titik maksimum dan minimum dan sket gambarnya
(Nilai 20)
2. Suatu kurva parabola mempunyai persamaan .
y = 10 2 x x 2
Tentukan :
a. persamaan garis singgung dititik x = -2
b. persamaan garis normalnya pada titik tersebut.
c. Gambarkan sketsa garis singgung dan garis normal pada
kurva parabola tersebut.
(Nilai 20)
Contoh soal penerapan diferensial laju
Jarak tempuh suatu benda ditentukan oleh

persamaan S= (2t2 + 5t 3) m.
Carilah
1. Kecepatan benda pada saat t= 4 detik
2. Percepatan benda pada saat t = 5 detik
3. Berapa kecepatan rata-rata pada saat
t=3 sampai t=6 detik
15
Contoh soal cerita penerapan diferensial

1. Suatu kotak terbuka dibuat dari karton berukuran 12 x 12
cm2 dengan jalan memotong dari setiap sudut karton
sebuah bujur sangkar, kemudian dilipat. Tentuka ukuran
kotak yang mempunyai isi terbesar yang dapat dibuat dari
karton di atas
2. Perusahaan penghasil bola lampu menjual hasilnya dengan
harga Rp 24,- per buah. Biaya seluruhnya untuk membuat
x bola lampu diberikan oleh
C ( x) = 150 +
39
3 2
x+
x
10
100
Tuliskan keuntungan P sebagai fungsi dari x dan tentukan

jumlah lampu yang harus dibuat perusahaan agar
keuntungannya maksimum
Contoh soal cerita penerapan diferensial

3. Seorang petani jeruk mengatakan bahwa sebuah pohon
jeruk dapat menghasilkan 400 buah jeruk tiap tahun.
Apabila tidak lebih dar 16 pohon ditanam pada satu
satuan luas. Untuk setiap tambahan 1 pohon di atas 16
pohon pada satu satuan luas tersebut, maka panenannya
akan berkurang 20 jeruk per pohon. Berapa pohon jeruk
yang harus di tanam pada suatu satuan luas agar hasilnya
maksimum
16

Terapan Diferensial

Diunggah oleh

Hak Cipta:

Format Tersedia

Terapan Diferensial

Diunggah oleh

Informasi Dokumen

Deskripsi Asli:

Judul Asli

Hak Cipta

Format Tersedia

Bagikan dokumen Ini

Bagikan atau Tanam Dokumen

Opsi Berbagi

Apakah menurut Anda dokumen ini bermanfaat?

Apakah konten ini tidak pantas?

Hak Cipta:

Format Tersedia

Terapan Diferensial

Diunggah oleh

Hak Cipta:

Format Tersedia

TERAPAN

Terapan Diferensial Aljabar

Derivatif merupakan Gradien

PQ. Selanjutnya, bila Q lebih mendekati titik P,

= gradien garis singgung kurva

Ada 3 kemungkinan persamaan garis singgung kurva di

f ' ( x0) 0 maka persamaan garis singgung

2. Bila f``(x0) 0 maka persamaan garis singgung kurva di

Persamaan garis singgung dan garis normalnya :

Tentukan koordinat titik-titik pada kurva y = x 2 xy + y 2 = 27

Lanjutan jawaban contoh soal-2

Lanjutan jawaban contoh soal-2

Derivatif sebagai Laju

persamaan gerak titik

Jika t mengalami perubahan t, maka S akan berubah sebesar

Derivatif sebagai Laju

Perubahan S setiap waktu disebut Laju rata-rata selama

Pada umumnya juga merupakan fungsi waktu sehingga :

disebut percepatan sesaat pada saat

Contoh soal Derivatif sebagai Laju

Sehingga pada saat awal

Lanjutan Contoh soal Derivatif sebagai Laju

Derivatif/turunan untuk menetukan

b. Sebaliknya bila f`(x) < 0 di

Derivatif untuk menentukan

f ( x0 ) > f ( x0 h) dan f ( x0 ) < f ( x0 + h)

f ' ( x 0 + h) < 0 di titik R (turun)

Lanjutan Derivatif untuk menentukan Harga Maksimum & Harga minimum

Suatu fungsi y = f(x) yang kontinyu dikatakan mempunyai

f ( x0 ) > f ( x0 h) dan f ( x0 ) < f ( x0 + h)

f ' ( x 0 + h) > 0 di titik M (naik)

Beberapa kemungkinan bila

1. f ' ( x0 ) = 0 adalah fungsi konstan dalam interval

Soal Ujian UTS

Contoh soal penerapan diferensial laju

Jarak tempuh suatu benda ditentukan oleh

Contoh soal cerita penerapan diferensial

Tuliskan keuntungan P sebagai fungsi dari x dan tentukan

Contoh soal cerita penerapan diferensial

Anda mungkin juga menyukai