School Work > Study Guides, Notes, & Quizzes, Diferensial dan turunan">
DIFERENSIAL
DIFERENSIAL
DIFERENSIAL
MODUL KALKULUS
DIFERENSIAL
Untuk MA Kelas XI IPS
REFNIDA, S.P.
2010
KALKULUS DIFERENSIAL (TURUNAN)
𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎𝑎𝑛 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘
𝐾𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 =
𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎𝑎𝑛 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢
𝑆2 − 𝑆1 𝑓(𝑡2 ) − 𝑓(𝑡1 )
𝑣= =
𝑡2 − 𝑡1 𝑡2 − 𝑡1
Contoh soal:
Sebuah peluru bergerak vertikal ke atas dengan kecepatan awal 100 m/s sesuai
persamaan 𝑆 = 100𝑡 − 3𝑡 2 . Tentukan kecepatan rata-rata peluru dari t=1
sampai t=2!
Jawab:
𝑓(𝑡2 ) − 𝑓(𝑡1 ) 𝑓(2) − 𝑓(1)
𝑣= =
𝑡2 − 𝑡1 2−1
100 2 − 3 22 − 100 1 − 3 12
=
2−1
188 − 97
= = 91 𝑚/𝑠
1
b. Kecepatan Sesaat
Misalkan pada 𝑡1 = 𝑥, jarak yang ditempuh adalah 𝑆1 = 𝑓(𝑥) dan pada
𝑡2 = 𝑥 + , jarak yang ditempuh adalah 𝑆2 = 𝑓(𝑥 + ). Maka kecepatan rata-
ratanya adalah:
𝑆2 − 𝑆1 𝑓(𝑥 + ) − 𝑓(𝑥)
𝑣= =
𝑡2 − 𝑡1 𝑥+−𝑥
𝑓(𝑥 + ) − 𝑓(𝑥)
𝑣=
Jika kita ambil h yang sangat kecil (infenitesimal) sehingga mendekati nol, maka
kecepatan rata-rata pada 𝑡 = 𝑥 sampai 𝑡 = 𝑥 + dianggap merupakan
kecepatan sesaat pada 𝑡 = 𝑥. Kita bisa menuliskan rumusnya menjadi:
𝑓(𝑥 + ) − 𝑓(𝑥)
𝑣 𝑥 = lim
→0
Contoh soal:
Suatu benda bergerak memenuhi persamaan 𝑆 = 20𝑡 − 𝑡 2 . Carilah kecepatan
sesaat pada t=5 sekon!
Jawab:
𝑓 𝑥+ −𝑓 𝑥
𝑣 𝑥 = lim
→0
𝑓 5+ −𝑓 5
𝑣 5 = lim
→0
20 5 + − 5 + 2 − 20.5 − 52
= lim
→0
∴ 𝑓′ 2 = 8
Latihan Soal 1
𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥)
1. Gunakan lim∆𝑥→0 untuk menentukan turunan masing-masing fungsi
∆𝑥
pada nilai x berikut ini:
a. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 5𝑥 + 1 pada 𝑥 = 2
b. 𝑓 𝑥 = 6𝑥 − 3 pada 𝑥 = 9
c. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 (𝑥 − 1) pada 𝑥 = 1 2
2. Jika turunan pertama fungsi f(x) adalah
𝑓 𝑥 + − 𝑓(𝑥)
𝑓 ′ 𝑥 = lim
→0
Maka tentukanlah 𝑓 ′ 𝑥 bila:
a. 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 2𝑥 2
b. 𝑓 𝑥 = 13 − 12𝑥 + 𝑥 2
Contoh soal:
𝑑𝑦
1. Carilah 𝑑𝑥 dari:
a. 𝑦 = 2.
b. 𝑦 = 2𝑥 2 − 8𝑥 + 1.
c. 𝑦 = 2𝑥 + 9 𝑥 2 − 2 .
𝑥 2 −4
d. 𝑦 = 3𝑥
e. 𝑦 = (6𝑥 + 2)18
Jawab:
1. Kita dapat menggunakan rumus umum diferensial untuk menyelesaikan soal
tersebut.
a. 𝑦 = 2
𝑑𝑦
Karena 2 merupakan konstanta, maka 𝑑𝑥 = 0
Sekarang kita mendapatkan tiga buah rumus dasar turunan fungsi trigonometri, yaitu:
1. Jika 𝑦 = sin 𝑥, maka 𝑦 ′ = cos 𝑥
Jika 𝑦 = sin 𝑎𝑥, maka 𝑦 ′ = 𝑎 cos 𝑎𝑥
Jika 𝑦 = sin 𝑎𝑥 + 𝑏 , maka 𝑦 ′ = 𝑎 cos(𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
Karena 𝑚 = 𝑓 ′ (𝑥) maka persamaannya menjadi:
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒇′ 𝒙 𝒙 − 𝒙 𝟏
Contoh soal:
Tentukan persamaan garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 − 5 pada titik (2,9)!
Jawab:
𝑑𝑦
= 𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 2 + 3
𝑑𝑥
𝑚 = 𝑓 ′ 2 = 3 2 2 + 3 = 15
Persamaan garis singgungnya:
⇔ 𝑦 − 𝑦1 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑥 − 𝑥1
⇔ 𝑦 − 9 = 15 𝑥 − 2
⇔ 𝑦 = 15𝑥 − 30 + 9
⇔ 𝑦 = 15𝑥 − 21
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 𝑦 = 15𝑥 − 21.
Latihan Soal 4
Tentukan persamaan garis singgung kurva berikut ini!
1. 𝑦 = 8𝑥, pada 1,8
2. 𝑦 = 𝑥 2 − 5𝑥 + 6, pada (4,2)
3. 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥, pada 𝑥 = 2
4. 𝑦 = 2𝑥 4 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 1, pada 𝑥 = 2
5. 𝑦 = 3𝑥 − 2𝑥 2 , pada 𝑥 = 1
Latihan Soal 5
1. Tentukan interval-interval untuk fungsi naik ataupun turun pada masing-masing
fungsi berikut ini!
a. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 16
b. 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 9𝑥 + 6
c. 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 8
d. 𝑓 𝑥 = 1 3 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 5𝑥 − 1
2. Tunjukkan bahwa fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 12𝑥 − 8 merupakan fungsi yang selalu
naik!
3. Tentukan interval-interval di mana fungsi 𝑓 𝑥 = 1 3 𝑥 3 − 𝑥 2 − 3𝑥 + 3 naik dan
turun!
Latihan Soal 6
Tentukan nilai-nilai stasioner, jenis nilai stasioner, dan koordinat nilai stasioner dari
fungsi-fungsi berikut!
a. 𝑓 𝑥 = 4𝑥 3 − 15𝑥 2 + 12𝑥 + 9
b. 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 12𝑥
c. 𝑔 𝑥 = (𝑥 + 2)2 𝑥
d. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 4 − 2𝑥 2
e. 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 3 (𝑥 − 2)
Contoh soal:
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 pada interval
−1 ≤ 𝑥 ≤ 2!
Jawab:
Langkah 1, nilai stasioner.
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 , nilai stasioner bila 𝑓 ′ 𝑥 = 0
⇔ 3𝑥 2 − 6𝑥 = 0
⇔ 𝑥 2 − 2𝑥 = 0
⇔ 𝑥 𝑥−2 = 0
⇔ 𝑥 = 0 atau 𝑥 = 2
Untuk 𝑥 = 0 maka 𝑓 0 = (0)3 − 3(0)2 = 0
Untuk 𝑥 = 2 maka 𝑓 2 = 23 − 3(2)2 = −4
Langkah 2, nilai batas interval.
Untuk 𝑥 = −1 maka 𝑓 −1 = (−1)3 − 3(−1)2 = −4
Untuk 𝑥 = 2 maka 𝑓 2 = −4
Langkah 3, kesimpulan.
Jadi, nilai maksimumnya adalah 0 dan nilai minimumnya adalah -4
Latihan Soal 7
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi dalam interval tertutup yang diberikan!
1. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 9 dalam 𝑥| − 6 ≤ 𝑥 ≤ 6, 𝑥 ∈ 𝑅
2. 𝑓 𝑥 = −𝑥 2 + 4𝑥 − 3 dalam 𝑥|0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 𝑥 ∈ 𝑅
3. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 4𝑥 dalam 𝑥| − 4 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥 ∈ 𝑅
4. 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 12𝑥 + 2 dalam 𝑥| − 3 ≤ 𝑥 ≤ 5, 𝑥 ∈ 𝑅
1 1
5. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥 2 𝑥 2 dalam 𝑥| − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2 , 𝑥 ∈ 𝑅
Latihan Soal 8
Gambarlah kurva dari fungsi-fungsi berikut!
1. 𝑦 = 𝑥 4
2. 𝑦 = 𝑥(𝑥 + 3)2
3. 𝑦 = 4 − 𝑥 𝑥 3
4. 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 1
5. 𝑦 = 2𝑥 4 − 4𝑥 2
Contoh Soal 2
Untuk memproduksi 𝑥 potong pakaian jadi dalam 1 hari diperlukan biaya produksi
yang dinyatakan dalam 𝑥 2 + 4𝑥 + 10 . Jika harga jual per potong pakaian jadi
dinyatakan dalam 20 − 𝑥 , maka berapakah keuntungan maksimum (dalam ribuan
rupiah) yang diperoleh per hari?
Jawab:
Keuntungan = harga jual-biaya produksi
𝐾 𝑥 = 𝑥 20 − 𝑥 − 𝑥 2 + 4𝑥 + 10
𝐾 𝑥 = 20𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥 2 − 4𝑥 − 10
𝐾 𝑥 = 16𝑥 − 10 − 2𝑥 2
𝐾(𝑥) akan maksimum jika 𝐾 ′ 𝑥 = 0, maka:
⇔ 𝐾 ′ 𝑥 = 16 − 4𝑥
⇔ 0 = 16 − 4𝑥
⇔ 4𝑥 = 16
⇔ 𝑥=4
Sehingga, 𝐾 4 = 16 4 − 10 − 2 4 2
= 64 − 10 − 32 = 22 ribu
Jadi, keuntungan maksimum tiap hari adalah sebesar 𝑅𝑝22.000,00
Contoh Soal 3
Selembar karton berbentuk persegi dengan sisi 24 cm. Pada setiap sudutnya
dipotong berbentuk persegi dengan sisi 𝑥 cm yang akan dibuat kotak tanpa tutup.
Tentukan ukuran kotak agar volumnya maksimal!
2. Teorema L’Hospital
Penggunaan turunan untuk menghitung bentuk-bentuk tak tentu suatu limit fungsi
disebut Teorema L’Hospital.
𝑓(𝑥)
Jika 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) merupakan fungsi yang dapat diturunkan, dan lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
0 ∞
menghasilkan bentuk tak tentu (0 atau ∞ ) pada 𝑥 = 𝑎, maka
𝑓(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥)
lim = lim ′ ,
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔 (𝑥)
′
asalkan lim𝑥→𝑎 𝑔𝑓 ′ (𝑥)
(𝑥)
ada
Contoh soal:
1. Tentukan nilai dari:
2𝑥 3 + 𝑥 2 − 2𝑥 − 1
lim
𝑥→−1 𝑥+1
2. Tentukan nilai dari:
sin 10𝑥
lim
𝑥→0 6𝑥
Jawab:
1. Gunakan teorema L’Hospital
2𝑥 3 + 𝑥 2 − 2𝑥 − 1 6𝑥 2 + 2𝑥 − 2
lim = lim
𝑥→−1 𝑥+1 𝑥→−1 1
=2
2. Gunakan teorema L’Hospital
sin 10𝑥 10 cos 10𝑥
lim = lim
𝑥→0 6𝑥 𝑥→0 6
10 2
= =1
6 3
Latihan Soal 10
1. Tentukan nilai limit-limit berikut!
1 − cos 2𝑥
lim
𝑥→0 𝑥2
𝑥 sin 𝑥
lim
𝑥→0 1 − cos 𝑥
2𝑥 2 + 9𝑥 − 5
lim
𝑥→
1 2𝑥 − 1
2
𝑥 3 − 27
lim
𝑥→3 3 − 𝑥