Aljabar asosiatif

Misalkan R adalah gelanggang komutatif tetap. Aljabar-R asosiatif (atau lebih singkatan, aljabar-R) adalah aditif grup abelian A menggunakan struktur gelanggang dan modul-R, sehingga perkalian skalar adalah

${\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)}$ 

untuk r ∈ R dan x, y ∈ A. Selanjutnya, A adalah unital, artinya menggunakan unsur 1 sehingga

${\displaystyle 1x=x=x1}$ 

untuk x ∈ A. Perhatikan bahwa elemen 1 adalah sama dengan.

Maka, A adalah modul-R dengan bilinear-R operasi biner A × A → A memiliki sifat asosiatif dan identitas.^[1] Jika untuk asosiatif, maka sifat tersebut yaitu aljabar non-asosiatif.

Jika A termasuk komutatif (sebagai gelanggang) maka disebut aljabar-R komutatif.

Definisi dengan asosiatif unital aljabar-R adalah objek monoid dalam Mod-R (kategori monoidal dari aljabar-R). Menurut definisi, gelanggang adalah benda monoid di kategori grup abelian; pengertian aljabar asosiatif dengan mengganti kategori grup abelian dengan kategori modul.

Mendorong gagasan, beberapa penulis telah memperkenalkan "gelanggang umum" sebagai objek monoid di beberapa kategori lain seperti kategori modul. Maka, reinterpretasi ini memungkinkan untuk referensi eksplisit ke elemen aljabar A. Misalnya, asosiativitas dapat diungkapkan sebagai berikut: dengan sifat universal dari produk tensor modul, perkalian (peta bilinear-R) dengan peta linear-R

${\displaystyle m:A\otimes _{R}A\to A}$ .

Asosiatif dengan identitas:

${\displaystyle m\circ ({\operatorname {id} }\otimes m)=m\circ (m\otimes \operatorname {id} ).}$ 

Aljabar asosiatif dari homomorfisme gelanggang terletak di pemusat. Maka, dimulai dengan gelanggang A dan homomorfisme gelanggang ${\displaystyle \eta \colon R\to A}$  terletak di antara pemusat dari A, maka A dari aljabar-R dengan mendefinisikan

${\displaystyle r\cdot x=\eta (r)x}$ 

untuk r ∈ R dan x ∈ A. Jika A adalah aljabar-R, dengan x = 1, rumus dengan cara mendefinisikan homomorfisme gelanggang ${\displaystyle \eta \colon R\to A}$  dimana citra yang terletak di tengah.

Jika gelanggang bersifat komutatif maka sama dengan pemusatnya, sehingga komutatif aljabar-R didefinisikan sebagai gelanggang komutatif A dengan homomorfisme gelanggang komutatif ${\displaystyle \eta \colon R\to A}$ .

Homomorfisme gelanggang η di atas disebut peta struktur. Dalam kasus komutatif, dapat mempertimbangkan kategori dengan objek homomorfisme gelanggang R → A; yaitu, komutatif aljabar-R dan morfisme dari homomorfisme gelanggang A → A'; yaitu R → A → A' adalah R → A' (yaitu, kategori coslice dari kategori gelanggang komutatif di bawah R.) Funktor Spek dari spektrum prima menentukan anti-ekuivalen dari kategori dengan kategori skema Affine di atas Spek R.

Cara mengamsumsikan komutatifitas adalah geometri aljabar nonkomutatif dan geometri aljabar turunan. Lihat pula: gelanggang matriks generik.

Homomorfisme diantara aljabar-R adalah linear-R dari homomorfisme gelanggang. Secara eksplisit, ${\displaystyle \varphi :A_{1}\to A_{2}}$  adalah homomorfisme aljabar asosiatif jika

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (r\cdot x)&=r\cdot \varphi (x)\\\varphi (x+y)&=\varphi (x)+\varphi (y)\\\varphi (xy)&=\varphi (x)\varphi (y)\\\varphi (1)&=1\end{aligned}}}$ 

Kelas dari aljabar-R dengan homomorfisme aljabar diantara kategori, biasanya dilambangkan dengan R-Alj.

Subkategori dari komutatif aljabar-R dikarakterisasi sebagai kategori coslice R/CGelanggang dimana CGelanggang adalah kategori gelanggang komutatif.

Contoh paling dasar adalah gelanggang; aljabar di atas subgelanggang yang terletak di tengahnya. Secara khusus, gelanggang komutatif apa pun adalah aljabar di atas salah satu subringnya. Contoh lain berlimpah baik dari aljabar dan bidang matematika lainnya.

• Gelanggang A dapat dianggap sebagai aljabar-Z. Homomorfisme gelanggang dari Z hingga A, 1 ke identitas A. Oleh karena itu, gelanggang dan aljabar-Z adalah konsep ekuivalen, dengan modul grup abelian dan ekuivalen-Z.
• Gelanggang karakteristik n adalah aljabar-(Z/nZ) dalam penggunaan yang sama.
• Maka modul-R dari M, gelanggang endomorfisma dari M, dilambangkan End_R(M) adalah aljabar-R dengan mendefinisikan (r·φ)(x) = r·φ(x).
• Gelanggang matriks dengan koefisien dalam gelanggang komutatif R membentuk aljabar-R di bawah penjumlahan dan perkalian matriks. Sebagai contoh sebelumnya ketika M adalah modul-R yang dihasilkan secara hingga.
• Persegi n-oleh-n matriks dengan entri dari bidang K membentuk aljabar asosiatif di atas K. Secara khusus, 2 × 2 matriks real membentuk aljabar asosiatif yang berguna dalam pemetaan bidang.
• Bilangan kompleks membentuk aljabar asosiatif 2 dimensi di atas bilangan riil.
• Kuaternion membentuk aljabar asosiatif 4 dimensi di atas riil (tetapi bukan aljabar di atas bilangan kompleks, karena bilangan kompleks tidak berada di tengah kuartenion).
• Polinomial dengan koefisien riil membentuk aljabar asosiatif di atas real.
• Gelanggang polinomial R[x₁, ..., x_n] adalah aljabar komutatif R. Maka, aljabar komutatif bebas R di himpunan {x₁, ..., x_n}.
• Aljabar-R bebas pada himpunan E adalah aljabar dari 'polinomial' dengan koefisien dalam R dan tak tentu tidak komuter yang diambil dari himpunan E.
• Aljabar tensor dari modul-R secara alami adalah aljabar-R. Hal yang sama juga berlaku untuk hasil-hasil seperti eksterior dan aljabar simetris. Berbicara secara kategoris, funktor yang memetakan modul-R ke aljabar tensor adjoin kiri ke funktor yang mengirimkan aljabar-R ke modul-R yang mendasari (struktur perkalian).
• Gelanggang berikut digunakan dalam teori gelanggang-λ. Gelanggang komutatif A, misalkan ${\displaystyle G(A)=1+tA[\![t]\!],}$  himpunan deret pangkat formal dengan suku konstanta 1. Merupakan gru0 abelian dengan operasi grup yaitu perkalian deret pangkat. Kemudian gelanggang dengan perkalian, dilambangkan dengan ${\displaystyle \circ }$ , sehingga ${\displaystyle (1+at)\circ (1+bt)=1+abt,}$  ditentukan dengan aksioma gelanggang. Identitas aditif adalah 1 dan identitas perkaliannya adalah ${\displaystyle 1+t}$ . Then ${\displaystyle A}$  memiliki struktur kanonik aljabar-${\displaystyle G(A)}$  oleh homomorfisme gelanggang

${\displaystyle {\begin{cases}G(A)\to A\\1+\sum _{i>0}a_{i}t^{i}\mapsto a_{1}\end{cases}}}$ 

Di sisi lain, jika A adalah gelanggang-λ, maka ada homomorfisme gelanggang

${\displaystyle {\begin{cases}A\to G(A)\\a\mapsto 1+\sum _{i>0}\lambda ^{i}(a)t^{i}\end{cases}}}$ 

${\displaystyle G(A)}$  struktur dari aljabar-A.

• Aljabar pembungkus universal dari aljabar Lie adalah aljabar asosiatif yang digunakan untuk mempelajari aljabar Lie.
• Jika G adalah grup dan R adalah gelanggang komutatif maka himpunan fungsi dari G hingga R dengan bentuk hingga dan aljabar-R dengan konvolusi sebagai perkalian. Aljabar grup dari G. Konstruksi adalah titik awal untuk penerapan studi grup (diskrit).
• Jika G adalah grup aljabar (misalnya grup Lie kompleks), maka gelanggang koordinat dari G adalah Aljabar hopf A yang bersesuaian dengan G. Struktur G menjadi struktur A.
• Aljabar kuiver (atau aljabar jalur) dari grafik berarah adalah aljabar asosiatif gratis di atas bidang yang dihasilkan oleh jalur dalam grafik.

• Ruang Banach-X, kontinu operator linear A : X → X bentuk aljabar asosiatif (menggunakan komposisi operator sebagai perkalian); ini adalah aljabar Banach.
• Ruang topologi-X, fungsi bilangan riil atau kompleks yang berkelanjutan pada X bentuk aljabar asosiatif yang nyata atau kompleks; fungsi ditambahkan dan dikalikan secara searah.
• Himpunan semimartingale ditentukan pada ruang probabilitas filter (Ω, F, (F_t)_t ≥ 0, P) bentuk gelanggang di bawah integrasi stokastik.
• Aljabar Weyl
• Aljabar Azumaya

• Aljabar Clifford, yang berguna dalam geometri dan fisika.
• Aljabar insiden dari hingga lokal himpunan berurutan sebagian adalah aljabar asosiatif dalam kombinatorik.

Subaljabar

Subaljabar aljabar-R dari A adalah himpunan bagian dari A yang merupakan subgelanggang dan submodul dari A. Artinya, harus ditutup dengan penjumlahan, perkalian gelanggang, perkalian skalar, dan harus mengandung elemen identitas A.

Aljabar hasil bagi

Misalkan A dari aljabar-R. Gelanggang-teori ideal I dari A secara umum adalah modul-R karena r · x = (r1_A)x. Gelanggang hasil bagi A / I struktur dari sebuah modul-R dari aljabar-R. Oleh karena itu, gambar homomorfik gelanggang dari A juga merupakan aljabar R.

Produk langsung

Produk langsung dari aljabar-R adalah produk langsung teori gelanggang. Ini menjadi aljabar-R dengan perkalian skalar.

Produk bebas

bentuk aljabar bebas dari aljabar-R dengan produk grup bebas. Produk gratisnya adalah koproduk dalam kategori aljabar-R.

Misalkan A menjadi aljabar di atas gelanggang komutatif R. Maka aljabar A adalah^[2] modul di atas ${\displaystyle A^{e}:=A^{op}\otimes _{R}A}$  dengan tindakan ${\displaystyle x\cdot (a\otimes b)=axb}$ . Kemudian, menurut definisi, A dikatakan seperabel jika peta perkalian ${\displaystyle A\otimes _{R}A\to A,\,x\otimes y\mapsto xy}$  sebagai peta linear-${\displaystyle A^{e}}$ ,^[3] dimana ${\displaystyle A\otimes A}$  adalah modul-${\displaystyle A^{e}}$  oleh ${\displaystyle (x\otimes y)\cdot (a\otimes b)=ax\otimes yb}$ . Ekuivalen,^[4] ${\displaystyle A}$  seperabel jika itu adalah modul proyektif di atas ${\displaystyle A^{e}}$ ; jadi, dimensi proyek ${\displaystyle A^{e}}$  dari A, terkadang disebut bidimensi dari A , mengukur keterpisahan.

Beberapa penulis menggunakan istilah "aljabar asosiatif" untuk merujuk pada struktur yang tidak selalu memiliki identitas perkalian, dan karenanya pertimbangkan homomorfisme yang belum tentu unital.

Salah satu contoh aljabar asosiatif non-unital diberikan oleh himpunan fungsi f: R → R yang limit sebagai x mendekati tak hingga adalah nol.

Contoh lain adalah ruang vektor dari fungsi periodik kontinu, bersama-sama dengan konvolusi.

• Aljabar abstrak
• Struktur aljabar
• Aljabar di atas lapangan
• Aljabar shef, jenis aljabar di atas ruang gelanggang

• Artin, Michael (1999). "Noncommutative Rings" (PDF). 
• Bourbaki, N. (1989). Algebra I. Springer. ISBN 3-540-64243-9. 
• Cohn, P.M. (2003). Further Algebra and Applications (edisi ke-2nd). Springer. ISBN 1852336676. Zbl 1006.00001. 
• Nathan Jacobson, Structure of Rings
• James Byrnie Shaw (1907) A Synopsis of Linear Associative Algebra, link from Cornell University Historical Math Monographs.
• Ross Street (1998) Quantum Groups: an entrée to modern algebra, an overview of index-free notation.
• Waterhouse, William (1979), Introduction to affine group schemes, Graduate Texts in Mathematics, 66, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-6217-6, ISBN 978-0-387-90421-4, MR 0547117