Filtrasi (matematika)

Dalam matematika, filtrasi ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ adalah keluarga indeks ${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$ dari subobjek dari struktur aljabar ${\displaystyle S}$ tertentu, dengan indeks ${\displaystyle i}$ menjalankan beberapa himpunan indeks terurut total ${\displaystyle I}$, persoalan ke syaratnya bahwa

jika ${\displaystyle i\leq j}$ di ${\displaystyle I}$, maka ${\displaystyle S_{i}\subset S_{j}}$.

Jika indeks ${\displaystyle i}$ adalah parameter waktu dari suatu proses stokastik, maka filtrasi dapat diartikan sebagai semua informasi historis tetapi bukan hasil yang tersedia tentang stokastik, dengan struktur aljabar ${\displaystyle S_{i}}$ semakin kompleks seiring berjalannya waktu. Oleh karena itu, proses yang diadaptasi ke filtrasi ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, juga disebut non-antisipasi, yaitu yang tidak bisa melihat ke masa depan.^[1]

Kadang-kadang, seperti dalam aljabar filtrasi, ada persyaratan bahwa ${\displaystyle S_{i}}$ menjadi subaljabar sehubungan dengan beberapa operasi, tetapi tidak untuk operasi lain (katakanlah, perkalian), jika ${\displaystyle S_{i}\cdot S_{j}\subset S_{i+j}}$, dimana himpunan indeks adalah bilangan asli; ini adalah analogi dengan aljabar bertingkat.

Terkadang, filtrasi diharapkan memenuhi persyaratan tambahan bahwa union dari ${\displaystyle S_{i}}$ menjadi keseluruhan ${\displaystyle S}$, atau (dalam kasus yang lebih umum, ketika gagasan persatuan tidak masuk akal) bahwa homomorfisme kanonik dari limit langsung dari ${\displaystyle S_{i}}$ pada ${\displaystyle S}$ adalah sebuah isomorphism. Apakah persyaratan ini diasumsikan atau tidak, biasanya bergantung pada penulis teks dan sering kali dinyatakan secara eksplisit. Artikel ini tidak memaksakan persyaratan ini.

Ada juga gagasan tentang filtrasi menurun, yang diperlukan untuk memenuhi ${\displaystyle S_{i}\supseteq S_{j}}$ sebagai pengganti ${\displaystyle S_{i}\subseteq S_{j}}$ (dan, terkadang, ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}S_{i}=0}$ daripada ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}S_{i}=S}$). Sekali lagi, ini tergantung pada konteks bagaimana tepatnya kata "filtrasi" harus dipahami. Filtrasi menurun tidak sama dengan kofiltrasi (yang terdiri dari objek hasil bagi bukan subobjek).

Gagasan ganda tentang filtrasi disebut kofiltrasi .

Filtrasi banyak digunakan di aljabar abstrak, aljabar homologis (di mana mereka terkait secara penting pada urutan spektral), dan dalam teori pengukuran dan teori probabilitas untuk urutan bersarang σ-aljabar. Dalam analisis fungsional dan analisis numerik, terminologi lain biasanya digunakan, seperti skala ruang atau spasi bersarang.