Persamaan Morison

Dalam dinamika fluida, Persamaan Morison adalah sebuah persamaan semiempiris untuk menentukan gaya sebuah benda dalam aliran terosilasi. Persamaan ini juga dikenal sebagai persamaan MOJS, berasal dari singkatan keempat orang (Morison, O'Brien, Johnson, dan Schaaf) yang pertama kali menulis persamaan ini dalam sebuah artikel ilmiah pada 1950.^[1] Persamaan Morison digunakan untuk memperkirakan beban akibat gelombang dalam proses perancangan anjungan lepas pantai atau struktur lepas pantai lainnya.^[2][3]

Persamaan Morison terdiri atas dua komponen gaya, yakni gaya inersia yang sefase dengan percepatan lokal aliran dan gaya seret yang sebanding dengan pangkat dua dari kecepatan aliran instan. Gaya inersia merupakan bentuk fungsional dalam teori aliran potensial, sementara gaya hambat terjadi pada benda yang ditempatkan dalam aliran langgeng.

Persamaan Morison mengandung dua koefisien hidrodinamika empiris, yakni koefisien inersia dan koefisien seret. Kedua koefisien ini didapatkan melalui data eksperimen. Menurut analisis dimensional dan hasil eksperimen oleh Sarpkaya, kedua koefisien ini umumnya bergantung pada bilangan Keulegan–Carpenter, bilangan Reynolds, dan kekasaran permukaan.^[4][5]

Deskripsi di bawah berlaku untuk kondisi aliran satu arah.

Dalam sebuah aliran terosilasi dengan kecepatan aliran ${\displaystyle u(t)}$, didapatkan gaya yang sejajar dengan arah aliran menggunakan persamaan Morison:^[6]

${\displaystyle F\,=\,\underbrace {\rho \,C_{m}\,V\,{\dot {u}}} _{F_{I}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\,\rho \,C_{d}\,A\,u\,|u|} _{F_{D}},}$

dengan:

• ${\displaystyle F(t)}$ merupakan gaya total inline objek,
• ${\displaystyle {\dot {u}}\equiv {\text{d}}u/{\text{d}}t}$ merupakan percepatan aliran dapat berupa turunan waktu dari fungsi kecepatan aliran ${\displaystyle u(t),}$
• Gaya inersia ${\displaystyle F_{I}\,=\,\rho \,C_{m}\,V\,{\dot {u}}}$, merupakan penjumlahan dari gaya Froude–Krylov ${\displaystyle \rho \,V\,{\dot {u}}}$ dan gaya massa hidrodinamika ${\displaystyle \rho \,C_{a}\,V\,{\dot {u}},}$
• Gaya seret ${\displaystyle F_{D}\,=\,{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}\,\rho \,C_{d}\,A\,u\,|u|}$ menurut persamaan seret,
• ${\displaystyle C_{m}=1+C_{a}}$ merupakan koefisien inersia dan ${\displaystyle C_{a}}$ merupakan koefisien massa virtual,
• A merupakan luas referensi, berupa luar panampang objek yang tegak lurus dengan arah aliran,
• V merupakan volume objek.

Dalam kasus benda yang bergerak dengan kecepatan ${\displaystyle v(t)}$, berlaku persamaan Morison:^[6]

${\displaystyle F=\underbrace {\rho \,V{\dot {u}}} _{a}+\underbrace {\rho \,C_{a}V\left({\dot {u}}-{\dot {v}}\right)} _{b}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\rho \,C_{d}A\left(u-v\right)\left|u-v\right|} _{c}.}$

dengan gaya total yang terdiri atas:

• a: gaya Froude–Krylov,
• b: gaya massa hidrodinamika,
• c: gaya seret.

• Persamaan Morison adalah sebuah rumus heuristik untuk fluktuasi gaya dalam aliran terosilasi. Asumsi pertama yang digunakan adalah percepatan aliran bernilai sama di lokasi objek. Oleh karena itu, diameter objek yang berupa pipa vertikal harus lebih kecil dibandingkan panjang gelombang. Jika diameter objek lebih besar dari panjang gelombang, maka efek difraksi harus diperhitungkan.^[7]
• Kedua, gaya inersia dan seret harus valid untuk nilai bilangan Keulegan–Carpenter yang sangat kecil dan sangat besar.^[8]
• Ketiga, persamaan Morison tidak dapat merepresentasikan fungsi gaya terhadap waktu untuk aliran bukan satu arah, seperti yang dialami oleh silinder horizontal di bawah gelombang.^[9]