Magma (aljabar)

Dalam aljabar abstrak, magma, biner^[1] atau grupoid adalah jenis dasar dari struktur aljabar. Magma terdiri dari himpunan dengan operasi biner tunggal tertutup menurut definisi.

Istilah groupoid ditemukan pada tahun 1927 oleh Heinrich Brandt yang menggambarkan Brandt groupoid (dari bahasa Jerman Gruppoid). Istilah ini kemudian digunakan oleh B. A. Hausmann dan Øystein Ore (1937).^[2] Dalam beberapa ulasan makalah Zentralblatt tidak setuju dengan istilah yang berlebihan ini. Groupoid Brandt adalah grupoid dalam arti yang digunakan dalam teori kategori dalam arti yang digunakan oleh Hausmann dan Ore. Namun, buku dalam teori semigrup, termasuk Clifford dan Preston (1961) dan Howie (1995) menggunakan grupoid. Hollings (2014) menulis bahwa istilah groupoid adalah "mungkin paling sering digunakan dalam matematika modern" dalam arti yang digunakan dalam teori kategori.^[3]

Menurut Bergman dan Hausknecht (1996):

"Tidak ada kata yang diterima secara umum untuk himpunan dengan operasi biner asosiatif yang tidak harus. Kata groupoid digunakan aljabar universal, tetapi para pekerja dalam teori kategori dan bidang terkait sangat menolak penggunaan ini karena mereka menggunakan kata yang sama untuk mengartikan 'kategori di mana semua morfisme invers'. Istilah magma digunakan oleh Serre [aljabar Lie dan grup Lie, 1965]."^[4]

Hal ini juga muncul dalam buku oleh Bourbaki Éléments de mathématique, Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970.^[5]

Magma adalah himpunan ${\displaystyle M}$ dengan operasi ${\displaystyle \bullet }$ dimana elemen ${\displaystyle a,b\in M}$ ke elemen ${\displaystyle a\bullet b}$. Simbol ${\displaystyle \bullet }$ adalah placeholder umum untuk operasi yang ditentukan. Untuk magma, himpunan dan operasi ${\displaystyle (M,\bullet )}$ menggunakan sebagai berikut (dikenal sebagai magma atau aksioma ketertutupan):

Untuk ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ dan ${\displaystyle M}$, hasil operasi ${\displaystyle a\bullet b}$ adalah ${\displaystyle M}$.

Dan dalam notasi matematika:

${\displaystyle a,b\in M\implies a\cdot b\in M}$.

Jika ${\displaystyle \bullet }$ operasi parsial, maka ${\displaystyle (M,\bullet )}$ disebut magma parsial^[6] atau disebut juga grupoid parsial.^[6][7]

Sebuah morfisme magma adalah sebuah fungsi, ${\displaystyle f\colon M\to N}$, memetakan magma ${\displaystyle M}$ ke magma ${\displaystyle N}$, yang dimana operasi biner:

${\displaystyle f(x\bullet _{M}y)=f(x)\bullet _{N}f(y)}$

dimana ${\displaystyle \bullet _{M}}$ dan ${\displaystyle \bullet _{N}}$ menunjukkan operasi biner pada ${\displaystyle M}$ dan ${\displaystyle N}$.

Operasi magma, dan takasosiatif, urutan dinotasikan dengan tanda kurung. Maka operasi ${\displaystyle \bullet }$ dihilangkan dan dinotasikan dengan penjajaran:

${\displaystyle (a\bullet (b\bullet c))\bullet d=(a(bc))d}$

Singkatan untuk mengurangi jumlah tanda kurung, di mana operasi paling dalam dan tanda kurung dihilangkan, diganti hanya dengan penjajaran, ${\displaystyle xy\bullet z=(x\bullet y)\bullet z}$. Sebagai contoh, di atas menjadi ekspresi berikut:

${\displaystyle (a\bullet bc)d}$.

Penggunaan tanda kurung adalah notasi prefiks, di mana ekspresi ditulis ${\displaystyle \bullet \bullet a\bullet bcd}$. Maka, notasi postfiks (Notasi Polandia invers) di mana ekspresi ditulis ${\displaystyle abc\bullet \bullet d\bullet }$, di mana urutan dari kiri ke kanan (tanpa Currying).

Himpunan dari untai yang terdiri dari simbol yang menunjukkan elemen magma, dan himpunan tanda kurung disebut bahasa Dyck. Jumlah total berbeda untuk menulis aplikasi ${\displaystyle n}$ dari operator magma dari bilangan Catalan, ${\displaystyle C_{n}}$. Jadi, ${\displaystyle C_{2}=2}$, yang mana hanya pernyataan ${\displaystyle (ab)c}$ dan ${\displaystyle a(bc)}$ adalah dua untuk tiga elemen magma dengan dua operasi: ${\displaystyle C_{3}=5}$: ${\displaystyle ((ab)c)d}$, ${\displaystyle (a(bc))d}$, ${\displaystyle (ab)(cd)}$, ${\displaystyle a((bc)d)}$, dan ${\displaystyle a(b(cd))}$.

Terdapat ${\displaystyle n^{n^{2}}}$ magma dengan elemen ${\displaystyle n}$ adalah 1, 1, 16, 19683, 4294967296, ... (barisan A002489 pada OEIS) dan magma dengan elemen 0, 1, 2, 3, 4, .... Jumlah magma takisomorfik adalah 1, 1, 10, 3330, 178981952, ... (barisan A001329 pada OEIS) dan jumlah magma takisomorfik dan takantiisomorfik adalah 1, 1, 7, 1734, 89521056, ... (barisan A001424 pada OEIS).^[8]

Magma bebas, ${\displaystyle M_{X}}$, himpunan ${\displaystyle X}$ adalah magma yang digunakan untuk ${\displaystyle X}$ (yaitu, tidak memiliki hubungan atau aksioma pada pembangkit; lihat objek bebas). Hal ini dijelaskan sebagai himpunan takasosiatif pada ${\displaystyle X}$ dengan tanda kurung dan menjajarkannya dalam urutan yang sama. Contohnya:

${\displaystyle (a\bullet b)=(a)(b)}$

${\displaystyle (a\bullet (a\bullet b))=(a)((a)(b))}$

${\displaystyle (a\bullet a)\bullet b=((a)(a))(b)}$

${\displaystyle M_{X}}$ dapat dijelaskan sebagai himpunan kata takasosiatif ${\displaystyle X}$ dengan tanda kurung dipertahankan.^[9]

Hal ini juga dapat dilihat dalam istilah yang dikenal di ilmu komputer, sebagai magma pohon biner dengan daun label elemen ${\displaystyle X}$. Operasi menggabungkan pohon di akarnya, maka peran mendasar dalam sintaks.

Magma bebas memiliki sifat universal, jika ${\displaystyle f\colon X\to N}$ adalah fungsi dari ${\displaystyle X}$ ke magma, ${\displaystyle N}$, maka perluasan dari ${\displaystyle f}$ ke morfisme magma, ${\displaystyle f'}$

${\displaystyle f'\colon M_{X}\to N}$.

Magma kadang dipelajari; beberapa jenis magma, bergantung pada aksioma apa yang harus dipenuhi oleh operasi tersebut. Jenis magma yang umum dipelajari meliputi:

Grup semu

Magma di mana pembagian selalu mungkin

Gelung

Kuasigrup dengan elemen identitas

Semigrup

Magma yang dimana operasinya asosiatif

Semigrup balikan

Semigrup dengan balikan.

Semikisi

Semigrup operasinya komutatif dan idempoten

Monoid

Semigrup dengan elemen identitas

Grup

Sebuah monoid dengan elemen invers, atau ekuivalennya, gelung asosiatif, atau kuasigroup asosiatif yang tidak kosong

Grup Abelian

Grup yang operasinya bersifat komutatif

Perhatikan bahwa pembagian dan pembatalan adalah sifat pembatalan.

Magma ${\displaystyle (S,\bullet )}$, dengan ${\displaystyle x,y,u,z\in S}$, disebut

Medial

Jika identitas, ${\displaystyle xy\bullet uz\equiv xu\bullet yz}$

Semimedial kiri

Jika identitas, ${\displaystyle xx\bullet yz\equiv xy\bullet xz}$

Semimedial kanan

Jika identitas, ${\displaystyle yz\bullet xx\equiv yx\bullet zx}$

Semimedial

Jika keduanya semimedial kiri dan kanan

Distributif kiri

Jika memenuhi identitas, ${\displaystyle x\bullet yz\equiv xy\bullet xz}$

Distributif kanan

Jika memenuhi identitas, ${\displaystyle yz\bullet x\equiv yx\bullet zx}$

Autodistributif

Jika keduanya distributif kiri dan kanan

Komutatif

Jika memenuhi identitas, ${\displaystyle xy\equiv yx}$

Idempoten

Jika identitas, ${\displaystyle xx\equiv x}$

Unipoten

Jika identitas, ${\displaystyle xx\equiv yy}$

Nolpoten

Jika identitas, ${\displaystyle xx\bullet y\equiv xx\equiv y\bullet xx}$^[10]

Alternatif

Jika identitas ${\displaystyle xx\bullet y\equiv x\bullet xy}$ dan ${\displaystyle x\bullet yy\equiv xy\bullet y}$

Daya-asosiatif

Jika submagma yang dihasilkan oleh suatu elemen bersifat asosiatif

Fleksibel

jika ${\displaystyle xy\bullet x\equiv x\bullet xy}$

Semigrup, atau asosiatif

Jika identitas, ${\displaystyle x\bullet yz\equiv xy\bullet z}$

Uner kiri

Jika identitas, ${\displaystyle xy\equiv xz}$

Uner kanan

Jika identitas, ${\displaystyle yx\equiv zx}$

Semigrup dengan perkalian nol, atau semigrup nol

Jika identitas, ${\displaystyle xy\equiv uv}$

Unital

Jika memiliki elemen identitas

Kategori magma, dilambangkan Mag, adalah kategori objek dari magma, dan morfisme adalah homomorfisme magma. Kategori Mag memiliki produk langsung, dan funktor inklusi: Himpunan → Med ↪ Mag sebagai magma trivial, dengan operasi oleh projeksi: ${\displaystyle x\,\mathrm {T} \,y=y}$.

Sifat adalah injeksi endomorfisme yang digunakan automorfisme dari magma perluasan, kolimit dari (urutan tetapan) keendomorfan.

Karena himpunan satuan ${\displaystyle (\{^{*}\},^{*})}$ adalah objek nol dari Mag, dan karena Mag adalah aljabar Mag pada kompleks.^[11]

Lihat grup n-er.

• Kategori magma
• Objek magma otomatis
• Aljabar universal
• Sistem aljabar komputer magma, dinamai menurut objek artikel ini.
• Magma takasosiatif komutatif
• Struktur aljabar yang semua aksioma adalah identitas
• Aljabar grupoid
• Himpunan Hall

• Bruck, Richard Hubert (1971), A survey of binary systems (edisi ke-3rd), Springer, ISBN 978-0-387-03497-3