Recursion

Recurrentia, recursion o recursivitate es le forma in le qual se specifica un processo basate super su proprie definition. Essente un poco plus precise, e a fin de evitar le apparente circulo sin fin in iste definition:

Un problema que pote esser definite in function de su mesura, sia iste N, pote esser dividite in instantias plus parve (< N) del mesme problema, e on cognosce le solution explicite al instantias plus simple, illos que on cognosce como casos base, on pote applicar induction super illos appellate plus parve e supponer que isto deveni resolvite.

A fin que on comprende melior le continuation, se expone alcun exemplos:

• Factorial (x: Integre): Sia N := x le mesura del problema, nos pote definir le problema de forma recurrente como x*Factorial(x - 1); como le mesura de Factorial(x - 1) es minor que N nos pote applicar le induction per lo que nos dispone del resultato. Le caso base es le Factorial(0) que es 1.

• Assortimento per fusion(v: vector): Sia N := mesura(v), nos pote separar le vector in duo medietates. Iste duo medietates ha mesura N/2 e per induction nos pote applicar le assortimento in iste duo subproblemas. Quando nos ha ambe medietates assortite, simplemente nos debe fusionar los. Le caso de base es assortir un vector de 0 elementos, que se trova trivialmente assortite, e illo debe facer nihil.

In iste exemplos nos pote observar como un problema se divide in varie (>= 1) instantias del mesme problema, sed de mesura minor gratias al qual le induction pote applicar se, portante a un puncto ubi on cognosce le resultato (le caso de base).

Nota: Ben que le terminos "recursion" e "recursivitate" es amplemente usate in le campo del informatica, le termino correcte es recurrentia. Nonobstante iste ultime termino es plus specific. Vide relation de recurrentia.

Un exemplo de insimul definite de forma recurrente es le insimul del numeros natural:

a) 0 pertine a N

b) Si n pertine a N, alora n+1 pertine a N

c) Si X verifica a) e b) , alora N se trova includite in X

Le numeros natural es le insimul de numeros integre non negative.

Iste functiones cuje dominio pote esser recursivemente definite de forma recurrente.

Le exemplo plus cognoscite es le definition recurrente del function factorial n!:

${\displaystyle n!={\begin{cases}{\mbox{si }}n=0&\Rightarrow 1\\{\mbox{si }}n\geq 1&\Rightarrow n\;(n-1)!\end{cases}}}$

Con iste definition nos vide como functiona iste function pro le valor del factorial de 3:

3! = 3 · (3-1)!
   = 3 · 2!
   = 3 · 2 · (2-1)!
   = 3 · 2 · 1!
   = 3 · 2 · 1 · (1-1)!
   = 3 · 2 · 1 · 0!
   = 3 · 2 · 1 · 1
   = 6

Un methodo usual de simplification de un problema complexe es de divider lo in subproblemas del mesme typo. Iste technica de programmation es cognoscite como divide e vince e es le nucleo in le designo de numerose algorithmos de grande importantia, assi como anque es un parte fundamental del programmation dynamic.

Le exemplo del calculo recursive del factorial de un numero portate al campo del programmation, in iste exemplo C++:

int factorial(int x)
{
   if (x > -1 && x < 2) return 1;  // Quando -1 < x < 2 nos restitue 1 puesto que 0! = 1 e 1! = 1
   else if (x < 0) return 0;       // Error: il non existe factorial de numeros negative
   return x * factorial(x - 1);    // Si x >= 2 nos restitue le producto de x per le factorial de x - 1
}

Le curso del recursivitate programmate es quasi exactemente equal al exemplo antea donate, a fin de intentar de adjutar pro comprender melio accompaniate con multe explicationes e con colores que differentia le subprocessos distincte del recursivitate.

X = 3 //Nos vole 3!, dunque X initial es 3
X >= 2 -> return 3*factorial(2);
    X = 2 //Ora nos sta a sollicitar le factorial de 2
    X >= 2 -> return 2*factorial(1);
        X = 1 // Ora nos sta a sollicitar le factorial de 1
        X < 2 -> return 1;
        [In iste puncto nos ha le factorial de 1 per lo que nos volve marcha retro resolvente tote le resultatos]
    return 2 [in altere parolas: return 2*1 = return 2*factorial(1)]
return 6 [in altere parolas: return 3*2 = return 3*factorial(2)*factorial(1)] // Le resultato devolvite es 6

Resolution de equationes homogene de prime grado, secundo ordine:

a) On passa al prime membro le terminos ${\displaystyle a_{n}}$, ${\displaystyle a_{n-1}}$, ${\displaystyle a_{n-2}}$, le quales anque poterea figurar como ${\displaystyle a_{n+2}}$, ${\displaystyle a_{n+1}}$, ${\displaystyle a_{n}}$

b) On reimplacia ${\displaystyle a_{n}}$ per ${\displaystyle r^{2}}$, ${\displaystyle a_{n-1}}$ per ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle a_{n-2}}$ per ${\displaystyle 1}$, obtenente un equation de secunde grado con radices real e distincte ${\displaystyle r_{1}}$ e ${\displaystyle r_{2}}$.

c) On presenta ${\displaystyle a=u\;r_{1}n+v\;r_{2}n}$

d) Nos debe haber como dato le valores del duo prime terminos del succession: ${\displaystyle A_{0}=k\,}$ e ${\displaystyle A_{1}=k^{\prime }}$. Utilisante iste datos nos ordina le systema de 2x2:

${\displaystyle {\begin{cases}u+v=k\\u\;r_{1}+u\;r_{2}=k^{\prime }\end{cases}}}$

Le resolution de iste systema nos da como resultato le valores ${\displaystyle u_{0}}$ e ${\displaystyle v_{0}}$, qui es numeros real cognoscite.

e) Le solution general es:

${\displaystyle a_{n}=u_{0}\;r_{1}n+v_{0}\;r_{2}n}$

Alcun exemplos de recurrentia:

• Factorial -- n! = n × (n-1)!
• Succession de Fibonacci -- f(n) = f(n-1) + f(n-2)
• Numeros de Catalan -- C(2n, n)/(n+1)
• Le Turres de Hanoi
• Function de Ackermann

• (espaniol) Exemplo de curvas recursive fractal

Iste pagina contine material traducite ab Wikipedia in espaniol. Le articulo original se trova a es:Recursión, e es usate secundo le mandatos del licentia de Wikipedia.