Շվարցշիլդի չափականություն

Շվարցշիլդի չափականություն, Շվարցշիլդի լուծում, Շվարցշիլդի վակուում, հարաբերականության ընդհանուր տեսության Այնշտայնի դաշտի հավասարումների լուծումներից։ Նկարագրում է սֆերիկ զանգվածի դրսի գրավիտացիոն դաշտը, պայմանով, որ մարմնի էլեկտրական լիցքը, անկյունային մոմենտը և տիեզերական կոսմոլոգիական հաստատունը զրո են։ Այս լուծումը օգտակար մոտարկում է՝ նկարագրելու համար դանդաղ պտտվող աստղագիտական մարմինները, ինչպիսին են շատ աստղեր և մոլորակներ, ներառյալ Երկիրը և Արեգակը։ Լուծումը կոչվել է Կառլ Շվարցշիլդի անունով, ով այն առաջին անգամ հրապարակել է 1916 թվականին։

Ըստ Բիրկհոֆի թեորեմի, Շվարցշիլդի չափականությունը Այնշտայնի դաշտի հավասարումների ամենաընդհանուր գնդաձև սիմետրիկ, վակուումային լուծումն է։ Շվարցշիլդի սև խոռոչը կամ ստատիկ սև խոռոչը այնպիսի սև խոռոչ է, որը չունի լիցք կամ անկյունային մոմենտ։ Շվարցշիլդի սև խոռոչը նկարագրվում է Շվարցշիլդի չափականությամբ, և զանգվածից բացի, ուրիշ ոչնչով չի կարող զանազանվել մեկ այլ Շվարցշիլդի սև խոռոչից։

Շվարցշիլդի սև խոռոչը բնութագրվում է շրջապատող գնդաձև մակերևույթով, որը կոչվում է իրադարձությունների հորիզոն։ Այն նկարագվում է Շվարցշիլդի շառավղով, որը հաճախ կոչվում է սև խոռոչի շառավիղ։ Ցանկացած չպտտվող և չլիցքավորված զանգված, որը փոքր է Շվարցշիլդի շառավղից, ձևավորում է սև խոռոչ։ Այնշտայնի դաշտի հավասարումների լուծումը ճիշտ է ցանկացած M զանգվածի համար, այնպես որ գործնականում (համաձայն հարաբերականության ընդհանուր տեսության) ցանկացած զանգվածով Շվարցշիլդի սև խոռոչ կարող է գոյություն ունենալ, եթե պայմանները բավարարում են նրա ձևավորումը թույլ տալու համար։

Շվարցշիլդի չափականություն

Շվարցշիլդի կոորդինատներով, Շվարցշիլդի չափականության երկարության տարրը ունի

c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right),

տեսքը, որտեղ

$\tau$ -ն սեփական ժամանակն է (փորձնական մասնիկի հետ միևնույն համաշխարհային գծի երկայնքով շարժվող ժամացույցի չափած ժամանակը),
c-ն լույսի արագությունն է,
t-ն ժամանակի կոորդինատն է (չափվում է զանգվածեղ մարմնից անվերջ հեռու տեղադրված անշարժ ժամացույցով),
$r$ -ը շառավղային կոորդինատն է (չափվում է զանգվածեղ մարմինը կենտրոն ունեցող շրջանագծով՝ բաժանած 2π-ի),
θ լայնությունն է (անկյունը հյուսիսից, ռադիաններով),
φ-ն երկարությունն է (նույնպես ռադիաններով),
$r_{s}$ -ը զանգվածեղ մարմնի Շվարցշիլդի շառավիղն է՝ սկալյար բազմապատկիչ, որը M զանգվածի հետ կապված է r_s = 2GM/c², առնչությամբ, որտեղ G-ն գրավիտացիոն հաստատունն է^[1]։

Այս լուծման անալոգը Նյուտոնի ձգողության դասական տեսությունում համապատասխանում է կետային մասնիկի շուրջը եղած գրավիտացիոն դաշտին^[2]։

Գործնականում r_s/r հարաբերությունը գրեթե միշտ շատ փոքր է։ Օրինակ, Երկրի r_s Շվարցշիլդի շառավիղը մոտ 8,9 մմ է, մինչդեռ Արեգակինը, որը 3,3×10⁵ անգամ ավելի ծանր է^[3], մոտ՝ 3,0 կմ։ Նույնիսկ Երկրի մակերևույթի վրա նյուտոնյան գրավիտացիայի ուղղումները միլիարդերորդ մասն են կազմում։ Հարաբերությունը մեծ է դառնում սև խոռոչի մոտ և այլ գերխիտ մարմինների մոտ, ինչպես նեյտրոնային աստղերը։

Շվարցշիլդի չափականությունը Այնշտայնի դաշտի հավասարումների լուծումն է ազատ տարածության համար, ինչը նշանակում է, որ այն ճիշտ է միայն գրավիտացիոն մարմնից դուրս։ Այսինքն, R շառավղով սֆերիկ մարմնի համար լուծումը ճիշտ է r > R դեպքում։ Գրավիտացիոն մարմնի թե ներսում և թե դրսում գրավիտացիոն դաշտը նկարագրելու համար Շվարցշիլդի լուծումը պետք է համապատասխանի r = R լուծմանը։

Պատմություն

Շվարցշիլդի լուծումը կոչվել է Կառլ Շվարցշիլդի անունով, ով ճշգրիտ լուծումը գտավ 1915 թվականին և հրատարակեց 1916-ին^[4]՝ Այնշտայնի հարաբերականության ընդհանուր տեսության հրապարակումից մոտ մեկ ամից անց։ Այն Այնշտայնի դաշտի հավասարումների առաջին ճշգրիտ լուծումն էր, որը տարբերվում էր հարթ տարածության տրիվիալ լուծումից։ Հոդվածի հրապարակումից կարճ անցած Շվարցշիլդը մահացավ Առաջին համաշխարհային պատերազմում գերմանական բանակում ծառայելիս ստացած հիվանդության արդյունքում^[5]։

1916 թվականին Յոհանես Դրոստը Շվարցշիլդից անկախ ստացավ նույն լուծումը^[6]՝ կիրառելով ավելի պարզ և ուղղակի արտածում^[7]։

Հարաբերականության ընդհանուր տեսության վաղ տարիներին Շվարցշիլդի և Այնշտայնի դաշտի հավասարումների մյուս լուծումներից բխող սինգուլյարությունների հետ կապված մեծ շփոթություն կար։ Իր սկզբնական հոդվածում Շվարցշիլդը իր կոորդինական համակարգի սկզբում դրել էր այն, ինչ մենք հիմա անվանում ենք իրադարձությունների հորիզոն^[8]։ Այս հոդվածում նա նաև ներկայացնում է այսպես կոչված Շվորցշիլդի շառավղային կոորդինատները (վերը բերված հավասարման r-ը)՝ որպես օժանդակ փոփոխական։ Այս հավասարումներում Շվարցշիլդը կիրառում է այլ շառավղային կոորդինատ, որը զրո է Շվարցշիլդի շառավղում։

Սինգուլյարության կառուցվածքի ավելի բարդ վերլուծություն է տալիս Դեյվիդ Հիլբերտը^[9] հաջորդ տարի՝ սինգուլյարությունները նույնացնելով և՛ r = 0 և՛ r = r_s։ Չնայած ընդհանուր համաձայնություն կար, որ սինգուլյարությունը r = 0-ում 'իսկական' ֆիզիկական սինգուլյարություն է, սինգուլյարության բնույթը r = r_s-ում պարզ չէ^[10]։

1921 թվականին Պոլ Պանլևեն, իսկ 1922-ին՝ Ալվար Գուլստրանդը միմյանցից անկախ ստացան Այնշտայնի հավասարումների մետրիկ, սֆերիկ սիմետրիկ լուծում, որն այժմ մենք գիտենք որպես Շվարցշիլդի մետրիկայի կոորդինատային ձևափոխություն՝ Գուլստրանդ-Պանլևեի կոորդինատներ, որոնցում սինգուլյարություն չկա r = r_s դեպքում։ Սակայն նրանք չընդունեցին, որ իրենց լուծումները պարզապես կոորդինատային ձևափոխություններ են, և փաստորեն այն կիրառեցին փաստարկելու համար, որ Այնշտայնի տեսությունը սխալ է։ 1924 թվականին Արթուր Էդինգտոնը ստացավ առաջին կոորդինատային ձևափոխությունը (Էդինգտոն-Ֆինկելշտայնի կոորդինատներ), որոնք ցույց են տալիս, որ r = r_s-ի սինգուլյարությունը կոորդինատային արտեֆակտ է։ Սակայն նա կարծես անտեղյակ էր իր հայտնագործության կարևորությանը։ 1932 թվականին Ջորջ Լեմետրը մեկ այլ կոորդինատային ձևափոխություն տվեց (Լեմետրի կոորդինատներ) միևնույն էֆեկտին, և առաջինն էր, որը գիտակցեց, որ սա նշանակում է, որ սինգուլյարությունը r = r_s-ում ֆիզիկական սինգուլյարություն չէ։ 1939 թվականին Հովարդ Ռոբերտսոնը ցույց տվեց, Սվարցշիլդի մետրիկայում ազատ անկում կատարող դիտորդը r = r_s sսինգուլյարությունը կհատի վերջավոր սեփական ժամանակահատվածում, նույնիսկ եթե t կոորդինատային ժամանակի անդամով այն անվերջ երկար կտևի^[10]։

1950 թվականին Ջոն Սինը (John Synge) Հոդված հրապարակեց^[11], որում ցույց է տալիս Շվարցշիլդի շառավղի առավելագույն անալիտիկ ընդարձակումը՝ նորից ցույց տալով, որ սինգուլյարությունը r = r_s-ում կոորդինատային արտեֆակտ է, և որ այն ներկայացնում է երկու հորիզոններ։ Ավելի ուշ համանման արդյունք ստացավ Ջորջ Սեկերեսը^[12] և նրանից անկախ՝ Մարտին Կրուսկալը^[13]։ Նոր կոորդինատներն այժմ հայտնի են Կրուսկել-Սեկերեսի կոորդինատներ անունով։ Դրանք շատ ավելի պարզ են, քան Սինի կոորդինատները, սակայն երկուսի կոորդտնատական ցանցերն էլ տարածվում են ամբողջ տարածաժամանակի վրա։ Սակայն Լեմետրի և Սինի եզրակացությունները մնացին չնկատված, հավանաբար ամսագրերի անկարևորության պատճառով, որտեղ հրատարակվել էին նրանց հոդվածները, և այս ասպարեզի բոլոր նշանակալի դեմքերը, ներառյալ Այնշտայնը, կարծում էին, որ սինգուլյարությունը Շվարցշիլդի շառավղում ֆիզիկական է^[10]։

Առաջընթաց տեղի ունեցավ միայն 1960-ականներին, երբ դիֆերենցիալ երկրաչափության ավելի ճշգրիտ գործիքներ ի հայտ եկան հարաբերականության ընդհանուր տեսության դաշտում։ Դրա շնորհիվ ավելի ճշգրիտ սահմանումներ տրվեցին, թե ինչ է նշանակում լորենցյան բազմաձևության սինգուլյարությունը։ Սրա հետևանքով Շվարցշիլդի չափականության r = r_s սինգուլյարությունը սահմանվեց որպես իրադարձությունների հորիզոն (տարածաժամանակի հիպերմակերևույթ, որը հնարավոր է հատել միայն մի ուղղությամբ)^[10]։

Սինգուլյարությունները և սև խոռոչները

Շվարցշիլդի լուծումները սինգուլյարություններ ունեն r = 0-ում և r = r_s-ում․ չափականության որոշ բաղադրիչներ այս շառավիղներում խզվում են։ Քանի որ Շվարցշիլդի չափականությունը պետք է ճիշտ լինի միայն գրավիտացիոն մարմնի R շառավղից մեծ շառավիղների համար, քանի դեռ R > r_s, խնդիր չկա։ Սովորական աստղերը և մոլորակները միշտ բավարարում են այս պայմանին։ Օրինակ՝ Արեգակի շառավիղը մոտավորապես 700,000 կմ է, մինչդեռ նրա Շվարցշիլդի շառավիղը ընդամենը 3 կմ է։

r = r_s-ի սինգուլյարությունը Շվարցշիլդի կոորդինատները բաժանում է երկու առանձին հատվածների։ 'r > rs-ով Շվարցշիլդի արտաքին լուծումը առնչվում է աստղերի և մոլորակների գրավիտացիոն դաշտերին։ 0 < r < rs-ով Շվարցշիլդի ներքին լուծումը, որը սինգուլյարություն ունի r = 0-ում, ամբողջովին առանձին է արտաքին հատվածից r = r_s-ում իր սինգուլյարությամբ։ Այսպիսով Շվարցշիլդի կոորդինատները ֆիզիկապես չեն կապում երկու հատվածները, որոնք երևում են առանձին լուծումներում։ r = r_s-ի սինգուլյարությունը, սակայն, պատրանք է․ դա կոորդինատային սինգուլյարություն կոչվածի նմուշ է։ Ինչպես կարելի է եզրակացնել անունից, սինգուլյարությունը առաջանում է կոորդինատների կամ կոորդինատային պայմանների վատ ընտրությունից։ Այլ կոորդինատական համակարգի անցնելու դեպքում (օրինակ՝ Լեմետրի կոորդինատներ, Եդինգտոն-Ֆինկելշտայնի կոորդինատներ, Կրուսկալ-Սեկերեսի կոորդինատներ, Նովիկովի կոորդինատներ կամ Գալստրանդ-Պանևեի կոորդինատներ) չափականությունը կանոնավոր է դառնում r = r_s-ում և կարող է ընդարձակել արտաքին հատվածները r_s-ից փոքր r-երի համար։ Կիրառելով տարբեր կոորդինատային ձևափոխություններ՝ կարող ենք ընդարձակված արդաքին հատվածը կապել ներքինին^[14]։

Սակայն r = 0 դեպքը տարբեր է։ Եթե պահանջենք, որ լուծումը պետք է ճիշտ լինի բոլոր r-երի համար, կարող ենք հանգել իսկական ֆիզիկական կամ գրավիտացիոն սինգուլյարության։ Տեսնելու համար, որ սա իսկական սինգուլյարություն է, պետք է նայենք կոորդինատների ընտրությունից չկախված մենծություններին։ Այդպիսի մի կարևոր մեծություն է Կրեցմանի ինվարիանտը, որը տրվում է

R^{\alpha \beta \gamma \delta }R_{\alpha \beta \gamma \delta }={\frac {12{r_{s}}^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}\,

բանաձևով։ r = 0-ում կորությունը դառնում է անվերջ՝ մատնացույց անելով սինգուլյարության առկայությունը։ Այս կետում չափականությունը և հենց տարածաժամանակն էլ այլևս հստակ սահմանված չեն։ Երկար ժամանակ կարծում էին, որ սյսպիսի լուծումը ֆիզիկական չէ։ Սակայն հարաբերականության ընդհանուր տեսությունը ավելի լավ հասկանալու հետևանքով ըմբռնեցին, որ այսպիսի սինգուլյարությունները տեսության ընդհանուր հատկություններ են և ոչ պարզապես էրտառոց հատուկ դեպքեր։

Շվարցշիլիդի լուծումը, որը ճիշտ է բոլոր r > 0-երի համար, կոչվում է Շվարցշիլդի սև խոռոչ։ Դա Այնշտայնի դաշտի հավասարումների կատարելապես ճիշտ լուծում է, չնայած տարօրինակ հատկություններ ունի։ r < r_s դեպքում Շվարցշիլդի r շառավղային կոորդինատը դառնում է ժամանականման, իսկ t ժամանակային կոորդինատը՝ տարածանման։ Հաստատուն r-ի կորը այլևս չի կարող մասնիկի կամ դիտորդի համաշխարհային գիծ լինել, նույնիսկ եթե փորձենք ուժով պահել դրանց այնտեղ․ սա տեղի է ունենում, քանի որ տարածաժամանակը այնպես է կորանում, վերածվում է սինգուլյարության։ r = r_s մակերևույթը ներկայացնում է սև խոռոչի իրադարձությունների հորիզոնը։ Դա այն կետն է, որից սկսած լույսը չի կարող դուրս գալ գրավիտացիոն դաշտից։ Շվարցշիլդի շառավղից փոքր կամ հավասար R շառավղով ցանկացած ֆիզիկական մարմին կենթարկվի գրավիտացիոն կոլապսի և կդառնա սև խոռոչ^[15]։

Ծանոթագրություններ

↑ (Landau & Liftshitz 1975).
↑ Ehlers, J. (1997). «Examples of Newtonian limits of relativistic spacetimes». Classical and Quantum Gravity. 14: A119–A126. Bibcode:1997CQGra..14A.119E. doi:10.1088/0264-9381/14/1A/010.
↑ Tennent, R.M., ed. (1971). Science Data Book. Oliver & Boyd. ISBN 0-05-002487-6.
↑ Schwarzschild, K. (1916). «Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie». Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. 7: 189–196. Bibcode:1916AbhKP......189S. Անգլերեն թարգմանությունը՝ Antoci, S.; Loinger, A. (1999). "On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory".
↑ MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
↑ Droste, J. (1917). «The field of a single centre in Einstein's theory of gravitation, and the motion of a part, icle in that field» (PDF). Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Science. 19 (1): 197–215. Bibcode:1917KNAB...19..197D.
↑ Kox, A. J. (1992). «General Relativity in the Netherlands:1915-1920». In Eisenstaedt, J.; Kox, A. J. (eds.). Studies in the History of General Relativity. Birkhäuser. էջ 41. ISBN 978-0-8176-3479-7.
↑ Brown, K. (2011). Reflections On Relativity. Lulu.com. Chapter 8.7. ISBN 978-1-257-03302-7.
↑ Hilbert, David (1924). «Die Grundlagen der Physik». Mathematische Annalen. Springer-Verlag. 92 (1–2): 1–32. doi:10.1007/BF01448427.
↑ ^10,0 ^10,1 ^10,2 ^10,3 Earman, J. (1999). «The Penrose–Hawking singularity theorems: History and Implications». In Goenner, H. (ed.). The expanding worlds of general relativity. Birkhäuser. էջ 236-. ISBN 978-0-8176-4060-6.
↑ Synge, J. L. (1950). «The gravitational field of a particle». Proceedings of the Royal Irish Academy. 53 (6): 83–114.
↑ Szekeres, G. (1960). «On the singularities of a Riemannian manifold». Publicationes Mathematicae Debrecen 7. 7: 285. Bibcode:2002GReGr..34.2001S. doi:10.1023/A:1020744914721.
↑ Kruskal, M. D. (1960). «Maximal extension of Schwarzschild metric». Physical Review. 119 (5): 1743–1745. Bibcode:1960PhRv..119.1743K. doi:10.1103/PhysRev.119.1743.
↑ Hughston, L.P.; Tod, K.P. (1990). An introduction to general relativity. Cambridge University Press. Chapter 19. ISBN 978-0-521-33943-8.
↑ Brill, D. (2012 թ․ հունվարի 19). «Black Hole Horizons and How They Begin». Astronomical Review. Արխիվացված է օրիգինալից 2014 թ․ սեպտեմբերի 16-ին. Վերցված է 2015 թ․ սեպտեմբերի 27-ին.

[landau_1975-1] (Landau & Liftshitz 1975).

[2] Ehlers, J. (1997). «Examples of Newtonian limits of relativistic spacetimes». Classical and Quantum Gravity. 14: A119–A126. Bibcode:1997CQGra..14A.119E. doi:10.1088/0264-9381/14/1A/010.

[3] Tennent, R.M., ed. (1971). Science Data Book. Oliver & Boyd. ISBN 0-05-002487-6.

[Schwarzschild1916-4] Schwarzschild, K. (1916). «Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie». Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. 7: 189–196. Bibcode:1916AbhKP......189S. Անգլերեն թարգմանությունը՝ Antoci, S.; Loinger, A. (1999). "On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory".

[MacTutorBio-5] MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.

[6] Droste, J. (1917). «The field of a single centre in Einstein's theory of gravitation, and the motion of a part, icle in that field» (PDF). Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Science. 19 (1): 197–215. Bibcode:1917KNAB...19..197D.

[7] Kox, A. J. (1992). «General Relativity in the Netherlands:1915-1920». In Eisenstaedt, J.; Kox, A. J. (eds.). Studies in the History of General Relativity. Birkhäuser. էջ 41. ISBN 978-0-8176-3479-7.

[8] Brown, K. (2011). Reflections On Relativity. Lulu.com. Chapter 8.7. ISBN 978-1-257-03302-7.

[9] Hilbert, David (1924). «Die Grundlagen der Physik». Mathematische Annalen. Springer-Verlag. 92 (1–2): 1–32. doi:10.1007/BF01448427.

[earman-10] 10,0 ^10,1 ^10,2 ^10,3 Earman, J. (1999). «The Penrose–Hawking singularity theorems: History and Implications». In Goenner, H. (ed.). The expanding worlds of general relativity. Birkhäuser. էջ 236-. ISBN 978-0-8176-4060-6.

[11] Synge, J. L. (1950). «The gravitational field of a particle». Proceedings of the Royal Irish Academy. 53 (6): 83–114.

[12] Szekeres, G. (1960). «On the singularities of a Riemannian manifold». Publicationes Mathematicae Debrecen 7. 7: 285. Bibcode:2002GReGr..34.2001S. doi:10.1023/A:1020744914721.

[13] Kruskal, M. D. (1960). «Maximal extension of Schwarzschild metric». Physical Review. 119 (5): 1743–1745. Bibcode:1960PhRv..119.1743K. doi:10.1103/PhysRev.119.1743.

[14] Hughston, L.P.; Tod, K.P. (1990). An introduction to general relativity. Cambridge University Press. Chapter 19. ISBN 978-0-521-33943-8.

[15] Brill, D. (2012 թ․ հունվարի 19). «Black Hole Horizons and How They Begin». Astronomical Review. Արխիվացված է օրիգինալից 2014 թ․ սեպտեմբերի 16-ին. Վերցված է 2015 թ․ սեպտեմբերի 27-ին.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]