Faktoriális

A faktoriális függvény formális definíciója:

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k}$    minden n ≥ 0 egész számra.

Például:

${\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120\ }$ 

A fenti definíció már magában foglalja azt a megállapodást, hogy

${\displaystyle 0!=1\ }$ ,

összhangban azzal, hogy a permanenciaelv értelmében a szorzandók nélküli szorzat értékét 1-nek vesszük. Ez az értelmezés valóban hasznosnak is bizonyul, mert

• az (n + 1)! = n! · (n + 1) rekurzió érvényben marad n = 0-ra;
• A definíció kielégíti számos egyszerű kombinatorikai állítás kapcsán az elfajult, 0 számosságú halmazok viselkedésére vonatkozó lehetséges elvárásokat. Például érvelhetünk amellett (informálisan), hogy egy üres halmaz kombinációinak vagy permutációinak száma 1.

• Az e Euler-féle szám felírható a faktoriálisok reciprokainak összegeként:

${\displaystyle \mathrm {e} =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\ldots }$ 

• A kombinatorikában faktoriálissal számítható ki az alapadatokból a permutációk, a kombinációk és a variációk száma.
• A binomiális együtthatók kifejezhetők a faktoriálissal:

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$ .

• A Stirling-formula felhasználásával megbecsülhető a faktoriálist tartalmazó függvények aszimptotikus viselkedése.
• A faktoriálisok a Taylor-sorokban is megjelennek. A Taylor-sorok tagjai kifejezhetők a deriválás és a faktoriális felhasználásával. A faktoriálisok legjobban az exponenciális, a szinusz és a koszinusz függvények Taylor-sorában láthatók.

Minden faktoriális praktikus szám.

Az ${\displaystyle n\mapsto n!}$  függvény gyorsabban tart a végtelenhez, mint a polinomok vagy az exponenciális függvények. Nagyságáról aszimptotikus becslést ad a Stirling-formula:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ 

A faktoriális – észszerű feltételek mellett – egyértelműen terjeszthető ki a komplex számok halmazára a negatív egész számokat kivéve; ez a gamma-függvény:

${\displaystyle n!=\Gamma (n+1),\qquad n\in \mathbb {N} }$ 

${\displaystyle \Gamma (x)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}\mathrm {e} ^{-t}\mathrm {d} t}$ 

• Prímfaktoriális vagy primoriális: csak az adott számnál nem nagyobb prímeket szorozza össze:

${\displaystyle n_{\#}=\prod _{p\leq n,\;p{\text{ prím}}}p}$ 

• Kettős, dupla faktoriális vagy szemifaktoriális:^[1] a tényezők kettesével csökkennek:

${\displaystyle n!!={\begin{cases}n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdot \ldots \cdot 2&\mathrm {ha} \ n\ \mathrm {p{\acute {a}}ros,} \\n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdot \ldots \cdot 1&\mathrm {ha} \ n\ \mathrm {p{\acute {a}}ratlan.} \end{cases}}}$ ^[2]

A 0!! = 1 és a (−1)!! = 1 dupla faktoriálisok az üres szorzatra, vagy a permanenciaelvre hivatkozva definiálhatók.

A (2n-1)!! megadja a fixpontmentes involutorikus permutációk számát, ha az elemek száma 2n.

A dupla faktoriális megjelenik az integrációs táblázatokban és a speciális függvényekhez kapcsolódva.

Kifejezhető a közönséges faktoriálissal:

${\displaystyle (2k)!!=2^{k}\cdot k!{\text{ és }}(2k-1)!!={\frac {(2k)!}{2^{k}\cdot k!}}}$ 

• A dupla faktoriálishoz hasonlóan definiálható többszörös faktoriális is:

${\displaystyle n!^{(k)}:={\begin{cases}1&{\text{ha }}0\leq n<k\\n(n-k)!^{(k)}&{\text{ha }}n\geq k\end{cases}}}$ ^[3]

• szuperfaktoriális:

${\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{i=1}^{n}i!=1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot 4!\cdots n!}$ ^[4]

• A hiperfaktoriális definíciója:

${\displaystyle H(n)=\prod _{i=1}^{n}i^{i}=1^{1}2^{2}3^{3}4^{4}\cdots n^{n}}$ ^[5]

• A szubfaktoriális az n pontú fixpontmentes permutációk számát adja meg. Kiszámítása:

${\displaystyle !n=n!\left(1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}\pm \cdots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}\right)=n!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$ ^[6]

• Primoriális: csak a prímszámok szorzata egy adott számig
• Defil-féle számok

• Faktoriális algoritmusok
• Faktoriális közelítései
• Számológépek a faktoriálishoz