Tehetetlenségi erő

A fizikában a tehetetlenségi erők (pszeudo-erők^[1]) olyan fiktív erők, amelyeket egy gyorsuló vonatkoztatási rendszer megfigyelője észlel egy test mozgásának leírásakor. Például ezért érezzük nehezebbnek a kezünkben tartott szatyort fölfele gyorsuló liftben, vagy kanyarodó jármű esetén is ilyen tehetetlenségi erő "vonzza" a kanyar külső íve fele a tárgyakat.

A pszeudo-erő maga a koordináta-rendszer gyorsulásának eredménye, ebből adódóan nem értelmezhetjük valódi fizikai interakcióként, azaz nem tudunk rámutatni arra a testre, amely részéről ez az erő a tanulmányozott testre hatott volna, ezért azt mondjuk, hogy a tehetetlenségi erők nem valódiak, fiktívek.

Az egyenes vonalú gyorsuló mozgást végző rendszerben fellépő fiktív erő mellett beszélhetünk még a forgó koordináta-rendszerekben fellépő 3 tehetetlenségi erőről, ezek: a centrifugális erő, a Coriolis-erő, és tangenciális gyorsulás esetén az Euler-erő.

A Galilei-féle relativitási elv kimondja, hogy egy lezárt dobozban állandó sebességgel utazó megfigyelő semmilyen fizikai kísérlettel nem képes eldönteni saját mozgásállapotát, azaz, hogy mozog-e vagy sem. Másképp: az inerciarendszerek egyenértékűek egymással.

A gyorsuló dobozban utazó megfigyelő azonban a fellépő tehetetlenségi erőkből képes észlelni saját gyorsulási állapotát, tehát az egymáshoz képest gyorsuló vonatkoztatási rendszerek már nem egyenértékűek egymással.

Például a Foucault-inga egy olyan szerkezet, amely szemlélteti a Coriolis-erő hatását, mutatva a Föld forgását, azaz, hogy nem inerciarendszer.

Legyen ${\textstyle K}$ egy tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer, ${\textstyle K'}$ rendszer rendelkezzen ehhez képest egy ${\textstyle a_{0}}$ transzlációs gyorsulással.

Az egyszerűség kedvéért a két vonatkoztatási rendszerből tanulmányozott test mozgását korlátozzuk csak az X-tengelyre. Ekkor a test K-beli és K'-beli helyzete között felírható az$${\displaystyle x=x'+{\frac {1}{2}}a_{0}t^{2}}$$összefüggés, amelyet, ha kétszer deriválunk, megkapjuk a ${\textstyle {\operatorname {d} ^{2}\!x \over \operatorname {d} \!t^{2}}={\operatorname {d} ^{2}\!x' \over \operatorname {d} \!t^{2}}+a_{0}}$ egyenletet, azaz$${\displaystyle a=a'+a_{0},}$$innen a test tömegével beszorozva,$${\displaystyle ma'=ma-ma_{0}}$$Ha ${\textstyle K}$ rendszerben a testre ható erők eredője ${\textstyle F=ma}$ alakban írható fel, a ${\displaystyle K'}$ rendszerben ${\textstyle ma'=F-ma_{0}}$ adódik eredőnek, ami azt jelenti, hogy a dinamika alaptörvénye a gyorsuló ${\displaystyle K'}$ rendszerben csak akkor érvényes, ha a tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer eredőjéhez még hozzáadjuk a ${\textstyle -ma_{0}}$ tagot.

Innen érezhető, hogy a "tehetetlenségi" elnevezés honnan származik, ugyanis ha a ${\textstyle K}$ rendszerben a testre ható erők eredője nulla, a ${\displaystyle K'}$-ben nyugvó megfigyelő azt, hogy a test éppen tehetetlenségénél fogva nem vesz részt a rendszer gyorsulásában, a testre ható ${\textstyle F_{t}=-ma_{0}}$ erőként foghatja fel.

Konkrétabb példaként, egy ${\textstyle a_{0}}$gyorsulással felfele induló lift megfigyelője azért érzi súlyosabbnak a kezében tartott tárgyat, mert az eddigi ${\displaystyle mg}$ helyett most ${\displaystyle m(g+a_{0})}$ nagyságú erővel kell egyensúlyt tartania. Belső megfigyelőként a dinamika alaptörvényét ${\displaystyle N-G-F_{t}=0}$ alakban írja fel, ahol N a tartóerő, G a test súlya és ${\textstyle F_{t}}$ az általa mért tehetetlenségi erő. A külső megfigyelő viszont máshogy írná fel: ő azt látja, hogy a testre csak két erő hat, és a tárgy a lifttel együtt gyorsul, vagyis ${\textstyle N-G=ma_{0}}$.

A két egyenlet matematikailag ugyanaz, formálisan csak annyi történt, hogy az egyenletet átrendeztük. A tehetetlenségi erő valójában azonos a D'Alembert-féle erővel.^[2]

Általános kinematikai megfontolás:

A K inerciarendszerhez képest ${\displaystyle {\vec {r}}_{O'}(t)}$ forgómozgást leíró (O' origójú) K' koordináta-rendszerben megfigyelt ${\displaystyle {\vec {r}}'(t)}$ mozgás pozíciója K-ban leírva (feltéve, hogy az idő üteme a két rendszerben megegyezik):

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{O'}+{\vec {r}}'}$

A sebesség definíció szerint a pozíció deriváltja:

${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}={\dot {\vec {r}}}_{O'}+{\dot {{\vec {r}}'}}}$

kibontva (ez egy hosszadalmas matematikai lépéssorozat, lényegében a K' egységvektorait a forgatási mátrixszal fölírva és ezt deriválva, majd kihasználva, hogy a transzponált megegyezik az inverzzel és hogy antiszimmetrikus mátrixszal való szorzás helyettesíthető alkalmas keresztszorzással):

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{O'}+{\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'}$

A gyorsulás ennek megfelelően a sebesség deriváltja:

${\displaystyle {\dot {\vec {v}}}={\dot {\vec {v}}}_{O'}+{\dot {{\vec {v}}'}}+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'+{\vec {\omega }}\times {\dot {{\vec {r}}'}}}$

kibontva (az előző kibontásnál használt összefüggés (${\displaystyle {\dot {{\vec {r}}'}}={\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'}$) ismét fölhasználandó) és a tagokat csoportosítva:

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{O'}+{\vec {a}}'+2\cdot {\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'}$

Az utolsó egyenletet az m tömeggel megszorozva a dinamikai mozgásegyenlet K-ban:

${\displaystyle (m\cdot {\vec {a}}=){\vec {F}}=m\cdot {\vec {a}}_{O'}+m\cdot {\vec {a}}'+2m\cdot {\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'+m\cdot {\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')+m\cdot {\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'}$

ezt átrendezve (${\displaystyle m\cdot {\vec {a}}'}$)-re, a mozgásegyenlet a K' rendszerben levő megfigyelő számára:

${\displaystyle (F+F_{tehetetlensegi}=)m\cdot {\vec {a}}'={\vec {F}}-m\cdot {\vec {a}}_{O'}-2m\cdot {\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'-m\cdot {\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')-m\cdot {\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'}$

Az ideális K inerciarendszerben mért adatokra általában nem tudunk hivatkozni, ezért - mivel csak a K' (együtt forgó) rendszerben levő adatokat írhatjuk be az egyenletbe - a vesszőzést a továbbiakban elhagyhatjuk.

A mozgásegyenlet a forgó vonatkoztatási rendszerben:^[3][4]

${\displaystyle m\cdot {\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}-m\cdot {\vec {a}}_{O'}-2m\cdot {\vec {\omega }}\times {\dot {\vec {r}}}-m\cdot {\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})-m\cdot {\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}}$

D'Alembert-féle erő

${\displaystyle {\vec {F}}_{D'A}=-m\cdot {\vec {a_{O'}}}}$

A D'Alembert-féle erő az inerciarendszerhez képest gyorsuló transzlációt végző vonatkoztatási rendszerben fellépő fiktív erő. Iránya mindig a gyorsuló rendszer gyorsulásával ellentétes.

Balra kanyarodó autó anyósülésére helyezett golyó jobbra gurul a kanyarodás közben (az autóban ülő megfigyelő számára). Az úttesthez rögzített megfigyelő számára nem jelentkezik ez az erő, szerinte az autó kanyarodik ki balra a golyó alól.

${\displaystyle {\vec {F}}_{centrifugalis}=-m\cdot {\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}$

A centrifugális erő az inerciarendszerhez képest ${\displaystyle \omega }$ szögsebességgel forgó vonatkoztatási rendszerben fellépő fiktív erő, a belső megfigyelő a centripetális erővel ellentétes irányításúnak érzékeli, vagyis radiálisan kifele mutat.

A Földön - mivel ez is forgó rendszer - a fellépő centrifugális erő csökkenti a középpont felé mutató gravitációs erőt attól függően, hogy épp melyik szélességi körön tartózkodunk. Ez a hatás a pólusoknál nulla, az Egyenlítőnél maximális.

A centrifugális gyorsulás a ${\displaystyle \psi }$ földrajzi szélességű helyen: ${\displaystyle a_{cf}=\omega ^{2}R\cos \psi \approx 0,034\cos \psi }$. Magyarországon ez az érték körülbelül 0,023 m/s².^[5]

Ennek megfelelően a centrifugális erő: ${\displaystyle F_{cf}=ma_{cf}}$

${\displaystyle {\vec {F}}_{Coriolis}=-2m\cdot {\vec {\omega }}\times {\vec {v}}}$

A Coriolis-erő az inerciarendszerhez képest ${\displaystyle \omega }$ szögsebességgel forgó vonatkoztatási rendszerben fellépő fiktív erő, a centrifugális erővel együtt jelentkezik, iránya merőleges a kerületi sebességre.

A forgó Föld északi (déli) féltekéjén ez az eredeti pályájuktól jobbra (balra) téríti el a vízszintes síkban mozgó testeket. Az északi féltekén a folyók a jobb partjukat jobban mossák, a délin a balt. A Foucault-féle inga lengési síkja az északi féltekén negatív irányba (az óra járásával megegyezően) fordul el ${\displaystyle \omega =\omega _{F}\cdot sin(\varphi )}$ szögsebességgel, a délin fordítva.

A függőlegesen lefele mozgó testeket mindkét féltekén kelet felé téríti el. Magyarország szélességi körén ez 100 m szabadesés alatt 1,5 cm. Ez magyarázza a passzátszeleket is.

Nyugat (kelet) felé haladó testek esetén látszólagos súlynövekedésben (súlycsökkenésben) nyilvánul meg, ez az Eötvös-effektus. Magyarországi szélességen egy 70 kg tömegű, 1 m/s sebességű testnek ez 0,001 N súlyváltozás (1 grammnyi tömeg súlya). Az egyenlítőn kelet felé 8 km/s sebességgel kilőtt lövedék súlycsökkenése éppen a saját súlya, tehát ez esetben súlytalan lenne.^[2]

A Föld lassú ${\displaystyle {\Biggl (}}$állócsillagokhoz viszonyított ${\displaystyle \omega _{F}={\frac {2\pi }{86164\ s}}\approx 7,29\cdot 10^{-5}{\frac {1}{s}}{\Biggr )}}$ forgásából adódó Coriolis-erőt általában elhanyagoljuk, csak nagy hatótávolságú lövedékeknél érezteti jobban hatását, ugyanakkor egy forgó színpadon meghajoló színész is érezheti a hatását (az óramutató irányával ellentétesen forgó színpadon kifelé mozgó testre jobb oldalra mutató erő hat).

${\displaystyle F_{Euler}=-m\cdot {\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}}$

Az Euler-erő az inerciarendszerhez képest ${\displaystyle \beta ={\dot {\omega }}(t)\neq 0}$ szöggyorsulással és ${\displaystyle \omega (t)}$ szögsebességgel forgó vonatkoztatási rendszerben fellépő fiktív erő, ez a forgó rendszer tangenciális (érintő menti) gyorsulásának járuléka.

Lásd még: Általános relativitás-elmélet

Albert Einstein általános relativitás-elméletében a gravitáció fiktív erőként jelenik meg.^[6][7] A tehetetlenségi erők mindig annak a testnek a tömegével arányosak, amelyre hatnak, és mivel ugyanez igaz a gravitációs vonzóerőre is, Einstein felvetette, ez is egy fajta tehetetlenségi erő lehet. Azt a tényt figyelembe véve, hogy szabadon eső megfigyelő nem érzi a saját súlyát, a gravitációra mint fiktív erőre tudott tekinteni, és a látszólagos gyorsulást a téridő görbületének tulajdonította.

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Fictitious force című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

• Newton törvényei
• Klasszikus mechanika
• Inerciarendszer
• Gravitáció
• Centripetális gyorsulás
• Általános relativitás-elmélet
• D'Alembert-elv
• Körmozgás

1. ↑ Feynman, Richard Phillips (1918-1988): A modern természettudomány alapjai ; A mechanika törvényei. 1. [köt.]. 12.5. Leighton, Robert B–Sands, Matthew Linzee–Sebestyén Árpád. 5., jav. kiad. 1985. ISBN 963106445X Hozzáférés: 2019. január 29.  
2. ↑ ^{a b} Budó Ágoston: Kísérleti fizika I., Tankönyvkiadó, 1970, I. rész, 51. 
3. ↑ Forgó koordináta-rendszer
4. ↑ Gyorsuló-forgó vonatkoztatási rendszerek
5. ↑ Budó Ágoston: Kísérleti fizika I., Nemzeti Tankönyvkiadó Rt., 1997 , ISBN 963 19 5313 0 
6. ↑ Rohrlich, F: Classical charged particles. 3rd ed. 2007. ISBN 9812700048 Hozzáférés: 2019. január 29.  
7. ↑ Stephani, Hans: Relativity : an introduction to special and general relativity. Stephani, Hans. 3rd ed. 2004. ISBN 9780511187209 Hozzáférés: 2019. január 29.  

• Mozgás és megjelenítése - Fizipedia
• https://web.archive.org/web/20190130110136/https://www.netfizika.hu/miert-vannak-tehetetlensegi-erok