Sűrűségfüggvény

A valószínűségszámításban az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f pontosan akkor, ha az X-nek az F-fel jelölt eloszlásfüggvénye előállítható a következő alakban:

${\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,\mathrm {d} t.}$

Szemben a valószínűségekkel, a sűrűségfüggvények felvehetnek 1-nél nagyobb értéket is. A valószínűségi eloszlások sűrűségfüggvényeken alapuló konstrukciója szempontjából nem a sűrűségfüggvény által felvett érték a fontos, hanem az integrál.

A sűrűségfüggvény általánosítása az általánosított sűrűségfüggvény, ahol is a Lebesgue-mértékre vonatkozó sűrűségfüggvények a valószínűségi sűrűségfüggvények. A továbbiakban sűrűségfüggvényen valószínűségi sűrűségfüggvényt értünk, kivéve ha azt máshogy jelezzük.

Diszkrét esetben az események valószínűsége megkapható a tartalmazott elemi események valószínűségeinek összegzésével. Folytonos esetben azonban ez nem tehető meg, mivel a nullaszor végtelen értéke bármi lehet. Például két ember csak ritkán pont egyforma magas, eltér egymástól egy hajszállal vagy csak néhány atomnyival. A sűrűségfüggvénnyel tetszőleges intervallum valószínűsége meghatározható, így a nullaszor végtelen probléma megkerülhető.

A sűrűségfüggvény definiálható valószínűségeloszlás alapján, vagy pedig a valószínűségeloszlást lehet levezetni a sűrűségfüggvényből.

Az önálló definícióban szerepel az ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ tulajdonság, a nemnegativitás, az integrálhatóság és a normáltság, azaz a teljes ${\displaystyle \mathbb {R} }$-en vett integrál egy. Ekkor definiálható hozzá

${\displaystyle P([a,b]):=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$ valószínűségeloszlás.

Megfordítva, levezethető valószínűségi mértékből. Ekkor, ha az ${\displaystyle f}$ függvényre minden ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ esetén

${\displaystyle P((-\infty ,a])=\int _{-\infty }^{a}f(x)\,\mathrm {d} x}$

illetve

${\displaystyle P(X\leq a)=\int _{-\infty }^{a}f(x)\,\mathrm {d} x}$

akkor ${\displaystyle f}$ sűrűségfüggvény.

• Diszkrét eloszlású valószínűségi változóknak nincs sűrűségfüggvénye.
• Sűrűségfüggvénye csak folytonos eloszlású valószínűségi változónak lehet.
• Még a folytonos eloszlású valószínűségi változók közül sincs mindnek sűrűségfüggvénye, csak egy speciális osztályuknak, az abszolút folytonos valószínűségi változóknak, melyeket pontosan azzal a tulajdonsággal definiálunk, hogy van sűrűségfüggvényük.

• A definícióból nyilvánvalóan látszik, hogy

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)\,dt=1}$

bármely sűrűségfüggvény esetén. Ám az is megmutatható, hogy egy tetszőleges f mérhető függvény pontosan akkor sűrűségfüggvény (vagyis pontosan akkor található hozzá olyan valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye) ha f(x) ≥ 0 majdnem mindenütt és a fenti tulajdonság teljesül rá.

• A sűrűségfüggvény ismeretében több, a valószínűségi változóval kapcsolatos esemény valószínűsége megadható. Bármely A Borel-halmaz esetén

${\displaystyle \mathbf {P} (X\in A)=\int \limits _{A}f(t)\,dt.}$

• Speciálisan

${\displaystyle \mathbf {P} (a\leq X<b)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt.}$

a két definíció egyenértékű.

Ha az ${\displaystyle F}$ eloszlásfüggvény folytonos, és legfeljebb megszámlálható végtelen pontban nem differenciálható, akkor van sűrűségfüggvénye, és:

${\displaystyle F^{\prime }(x)={\frac {\mathrm {d} F(x)}{\mathrm {d} x}}=f(x)}$

Más jelöléssel, F '(x)=f(x), vagyis az eloszlásfüggvényből egyszerű deriválással kapjuk a sűrűségfüggvényt.

Vannak olyan eloszlások, mint a Cantor-eloszlás, amelyek eloszlásfüggvénye folytonos, és majdnem mindenütt differenciálható, de nincs sűrűségfüggvényük. A folytonos eloszlások eloszlásfüggvénye majdnem mindenütt differenciálható, de a derivált csak az abszolút folytonos részt foglalja magába.

Megfordítva, a sűrűségfüggvényből is kiszámítható az eloszlásfüggvény (abszolút folytonos) része:

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle F_{P}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{P}(t)\,\mathrm {d} t}$

ami azonnal következik a definícióból.

Ha egy ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó csak egy ${\displaystyle I}$ részintervallumból vesz fel elemeket, akkor a sűrűségfüggvény választható úgy, hogy az ${\displaystyle I}$ intervallumon kívül a 0 értéket veszi fel. Erre példa az exponenciális eloszlás, ahol ${\displaystyle I=[0,\infty [}$. Egy alternatív lehetőség az értelmezési tartomány leszűkítése, azaz ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ definiálása. Ekkor az eloszlás sűrűségét az ${\displaystyle I}$ intervallumon adja meg a Lebesgue-mérték szerint.

A nemlineáris ${\displaystyle Y=g(X)}$ transzformáció esetén

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (g(X))=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,\mathrm {d} x}$.

Abszolút folytonos eloszlás esetén a valószínűségeloszlások konvolúciója visszavezethető a sűrűségfüggvények konvolúciójára. Ha ${\displaystyle P,Q}$ abszolút folytonos eloszlások az ${\displaystyle f_{P}}$ és ${\displaystyle f_{Q}}$ eloszlásfüggvényekkel, akkor :${\displaystyle f_{P*Q}=f_{P}*f_{Q}}$.

Itt ${\displaystyle P*Q}$ a ${\displaystyle P}$ és ${\displaystyle Q}$ konvolúciója, és ${\displaystyle f*g}$ az ${\displaystyle f}$ és ${\displaystyle g}$ konvolúciója. Tehát a konvolúció és a sűrűségfüggvény képzése felcserélhető.

Ez a tulajdonság közvetlenül átvihető független valószínűségi változók összegére. Legyenek ${\displaystyle X,Y}$ valószínűségi változók az ${\displaystyle f_{X}}$ és ${\displaystyle f_{Y}}$ sűrűségfüggvényekkel, ekkor

${\displaystyle f_{X+Y}=f_{X}*f_{Y}}$.

Tehát az összeg sűrűségfüggvénye megegyezik a tagok sűrűségfüggvényeinek konvolúciójával.

Az exponenciális eloszlás abszolút folytonos eloszlás, sűrűségfüggvénye

${\displaystyle f_{\lambda }(x)={\begin{cases}\displaystyle \lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$

ahol ${\displaystyle \lambda >0}$ valós paraméter. Ha ${\displaystyle \lambda >1}$, akkor az ${\displaystyle x=0}$ helyen 1-nél nagyobb értéket vesz fel. Az, hogy ${\displaystyle f_{\lambda }(x)}$ sűrűségfüggvény, adódik az exponenciális függvény elemi integrációs szabályából, a nemnegativitás közvetlenül következik a hatványozás szabályaiból, és az integrálhatóság is bizonyítható.

A véges intervallumon egyenletes eloszlásnak is van sűrűségfüggvénye, például a ${\displaystyle [0,1]}$ intervallumon. Az általa megadott valószínűség

${\displaystyle P([a,b])=b-a}$, ha ${\displaystyle a\leq b}$ és ${\displaystyle a,b\in [0,1]}$

Az intervallumon kívüli események valószínűsége nulla. Az ${\displaystyle f}$ sűrűségfüggvény megfelel az

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=P([a,b])=b-a}$

feltételeknek. Az ${\displaystyle f(x)=1}$ alkalmas függvény, amit a ${\displaystyle [0,1]}$ intervallumon kívül nulla folytat az integrálhatóság kedvéért. Ezzel a folytonos egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle 1&{\text{ ha }}x\in [0,1]\\0&{\text{ egyébként }}\end{cases}}}$

Egy másik megfelelő függvény:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle 1&{\text{ ha }}x\in (0,1)\\0&{\text{ egyébként }}\end{cases}}}$

A két függvény egy Lebesgue-nullmértékű halmazon különbözik csak, és mindkettő megfelel a követelményeknek. Mivel egy tetszőleges pontban meg lehet változtatni az értéket, azért egy valószínűségeloszlásnak legalább kontinuum sok sűrűségfüggvénye van. Az integrálok értéke nem változik, tehát a módosított sűrűségfüggvény is sűrűségfüggvény marad.

Szigorúan véve a definícióban egy ${\displaystyle \lambda }$ Lebesgue-mérték szerinti integrál szerepel, amit úgy kellene jelölni, hogy ${\displaystyle \mathrm {d} \lambda (x)}$. Többnyire azonban a Riemann-integrál is megfelel, emiatt szoktak a definícióban ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ integrált írni. A különbséget az jelenti, hogy a Riemann-integrálnak nincs mértékelméleti háttere, míg a Lebesgue-integrálnak van.

A német szakirodalom meg is különbözteti a két eljárást. Amiből a valószínűségeloszlást származtatják, az a Wahrscheinlichkeitsdichte, a másik a Verteilungsdichte.^[1]

A valószínűségeloszlással definiált esetben a ${\displaystyle P}$ valószínűségi mértékből származik a valószínűségeloszlás. A normáltságból következik ${\displaystyle P(\mathbb {R} )=1}$. Mivel a valószínűségek nem lehetnek negatívak, a függvény sehol se negatív. a σ-additív tulajdonság következik a majorált konvergencia tételéből, a sűrűségfüggvénnyel mint majoránssal és az

${\displaystyle f_{n}:=\sum _{i=1}^{n}f\chi _{A_{i}}}$

függvénysorozattal, ahol az ${\displaystyle A_{i}}$ halmazok páronként diszjunktak, és ${\displaystyle \chi _{A}}$ az ${\displaystyle A}$ halmaz karakterisztikus függvénye.

Az egyértelműség következik a mérték egyértelműségének tételéből, és a Borel-σ-algebra generátorainak metszetstabil tulajdonságából, ami itt a zárt intervallumok.

A Radon-Nikodým-tétellel belátható, hogy adott valószínűségeloszláshoz létezik sűrűségfüggvény:

Ha ${\displaystyle P}$ valószínűségeloszlás, akkor akkor és csak akkor van sűrűségfüggvénye, ha abszolút folytonos a ${\displaystyle \lambda }$ Lebesgue-mértékre. Ez azt jelenti, hogy ha ${\displaystyle \lambda (A)=0}$, akkor ${\displaystyle P(A)=0}$.

Ez nem zárja ki, hogy több sűrűségfüggvény létezik, de mindegyik csak Lebesgue-nullmértékű halmazon különbözik a többitől, azaz majdnem mindenütt egyenlőek.

Emiatt a diszkrét valószínűségeloszlásoknak nincs sűrűségfüggvénye, mivel egy alkalmas ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$ elemre mindig teljesül, hogy ${\displaystyle P(\{k\})>0}$. Ezeknek a ponthalmazoknak azonban a Lebesgue-mértéke nulla, vagyis a diszkrét valószínűségeloszlások nem abszolút folytonosak.

Adva legyen az ${\displaystyle f}$ sűrűségfüggvény, ekkor az ${\displaystyle [a,b]}$ intervallum valószínűsége

${\displaystyle P(X\in [a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$.

Itt mindegy, hogy az intervallum zárt-e, vagy nyílt, félig nyílt, mivel a folytonos valószínűségi változók esetén egy pont valószínűsége nulla. Formálisan,

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \colon \,P(X=x)=0}$

${\displaystyle P(a\leq X\leq b)=P(a<X\leq b)=P(a\leq X<b)=P(a<X<b)}$

Bonyolultabb halmazok esetén az egyes intervallumokon vett integrálokat kell összeadni. Ekkor a képlet

${\displaystyle P(X\in A)=\int _{A}f(x)\,\mathrm {d} x}$.

Alkalmazható a σ-additivitás is, ami azt jelenti, hogy a ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}\dotsc }$ páronként diszjunkt intervallumok, és

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

az összes egyesítése, akkor

${\displaystyle P(A)=P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\int _{a_{i}}^{b_{i}}f(x)\,\mathrm {d} x}$.

ahol ${\displaystyle A_{i}=(a_{i},b_{i})}$. Ez érvényes véges sok és végtelen számú intervallumra. Diszjunkt intervallumok valószínűsége összeadódik.

Egy callcenterben két hívás között eltelt idő megközelítően exponenciális eloszlású. Legyen ennek paramétere ${\displaystyle \lambda }$! Ekkor a sűrűségfüggvény

${\displaystyle f_{\lambda }(x)={\begin{cases}\displaystyle \lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$.

Az x tengely beosztását a ${\displaystyle \lambda }$ paraméter határozza meg úgy, hogy ${\displaystyle \lambda }$ idő alatt várható értékben egy hívás fut be. Annak a valószínűsége, hogy a következő hívás egy és két időegység után következik be:

${\displaystyle P(X\in [1,2])=\int _{1}^{2}\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x=\left[-\mathrm {e} ^{-\lambda x}\right]_{1}^{2}=-\mathrm {e} ^{-2\lambda }+\mathrm {e} ^{-\lambda }}$.

Tegyük fel, hogy egy munkatárs öt időegység hosszú szünetet tart! Annak a valószínűsége, hogy közben nem érkezik hívás, egyenlő azzal a valószínűséggel, hogy a következő hívásig öt vagy több időegység telik el. Ennek valószínűsége

${\displaystyle P(X\geq 5)=1-P(X\leq 5)=1-\int _{0}^{5}\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x=1-\left[-\mathrm {e} ^{-\lambda x}\right]_{0}^{5}=1-\left(-\mathrm {e} ^{-5\lambda }+1\right)=\mathrm {e} ^{-5\lambda }}$

Egy valószínűségi változó jellemző számadatai közül több is megadható a valószínűségi változó sűrűségfüggvényének segítségével.

Egy valószínűségeloszlás illetve valószínűségi változó módusza definiálható a sűrűségfüggvénnyel: Ahol a sűrűségfüggvénynek maximuma van, ott van a módusz. Formálisan, ${\displaystyle x_{\text{mod}}\in \mathbb {R} }$ akkor módusza az ${\displaystyle f}$ sűrűségfüggvényű valószínűségi változónak, ha az ${\displaystyle x_{\text{mod}}}$ hely lokális maximumhely.^[2] ez azt jelenti, hogy

van ${\displaystyle \varepsilon >0}$, hogy ${\displaystyle f(x)\leq f(x_{\text{mod}})}$ minden ${\displaystyle x\in (x_{\text{mod}}-\varepsilon ;x_{\text{mod}}+\varepsilon )}$ helyen.

Egy sűrűségfüggvénynek több lokális maximumhelye is lehet, ekkor az eloszlás bimodális vagy multimodális. Az egyenletes eloszlás esetén minden hely módusz.

A mediánt rendszerint az eloszlásfüggvénnyel és kvantilisekkel definiálják. Abszolút folytonos eloszlás mediánja számítható sűrűségfüggvénnyel: ${\displaystyle x_{\text{med}}}$ az eloszlás vagy a valószínűségi változó mediánja, ha:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{x_{\text{med}}}f(x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}}$

és

${\displaystyle \int _{x_{\text{med}}}^{+\infty }f(x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}}$

Folytonosság miatt ${\displaystyle x_{\text{med}}}$ mindig létezik, de az egyértelműség nem garantált, például csak két diszjunkt intervallum unióján nullától különböző értékeket felvevő szimmetrikus sűrűségfüggvény esetén.

Ha az ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye ${\displaystyle f_{X}}$, akkor ${\displaystyle X}$ várható értéke:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{+\infty }xf_{X}(x)\,\mathrm {d} x}$,

ha az integrál konvergens. Ha nem konvergens, akkor a valószínűségi változónak nincs várható értéke.

Ha az ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye ${\displaystyle f_{X}}$, és várható értéke ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)}$, akkor ${\displaystyle X}$ szórásnégyzete

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left((X-\mu )^{2}\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{2}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x}$.

Vagy az eltolási tétellel:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x-\mu ^{2}}$.

Ezek a képletek csak akkor használhatók, ha az integrálok konvergensek. A szórás a szórásnégyzetből számítható gyökvonással, de sokszor elég a szórásnégyzetet használni.

A fent leírt nemlineáris transzformáció felhasználásával közvetlenül kiszámíthatók a további momentumok. Így ha az ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye ${\displaystyle f_{X}}$, akkor:

${\displaystyle m_{k}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x}$

és a k-adik abszolút momentum

${\displaystyle M_{k}=\int _{-\infty }^{+\infty }|x|^{k}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x}$.

Ha ${\displaystyle X}$ várható értéke ${\displaystyle \mu }$, akkor a centrális momentumok:

${\displaystyle \mu _{k}=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x}$

és az abszolút centrális momentumok:

${\displaystyle {\overline {\mu }}_{k}=\int _{-\infty }^{+\infty }|x-\mu |^{k}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x}$.

Példaként tekintsük az exponenciális eloszlást:

${\displaystyle f_{\lambda }(x)={\begin{cases}\displaystyle \lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$

ahol ${\displaystyle \lambda >0}$ paraméter!

Az exponenciális eloszlásnak mindig módusza a nulla. A ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ intervallumon a sűrűségfüggvény konstans nulla, és az ${\displaystyle [0,+\infty )}$ intervallumon szigorúan monoton csökken, így a 0 helyen lokális maximum van. A monotóniából következik, hogy nincs több lokális maximum, a módusz egyértelmű.

A centrális momentumokból meghatározható a ferdeség és a lapultság.

A medián meghatározásához elég a ${\displaystyle [0,\infty )}$ félegyenesen integrálni, mivel a negatív számokon a függvény értéke konstans nulla:

${\displaystyle \int _{0}^{c}\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x=\left[-\mathrm {e} ^{-\lambda x}\right]_{0}^{c}=-\mathrm {e} ^{-\lambda c}+1\;{\stackrel {!}{=}}\;{\frac {1}{2}}}$.

Rövid számolással

${\displaystyle c={\frac {\ln 2}{\lambda }}}$.

Ez teljesíti a mediánra vonatkozó második egyenlőséget is, tehát valóban medián.

A várható érték meghatározható parciális integrállal:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{+\infty }x\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x=\left[-xe^{-\lambda x}\right]_{0}^{+\infty }-\int _{0}^{+\infty }-e^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x=\left[{\tfrac {1}{-\lambda }}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{+\infty }={\frac {1}{\lambda }}}$.

A parciális integrál kétszeri alkalmazásával számítható a szórásnégyzet is.

Legyen most az ${\displaystyle f(x)}$ sűrűségfüggvény ${\displaystyle f(x)=3x^{2}}$, ha ${\displaystyle x\in [0,1]}$; ${\displaystyle f(x)=0}$ ha ${\displaystyle x<0}$; és ${\displaystyle f(x)=0}$ ha ${\displaystyle x>1}$! Ekkor ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ valóban sűrűségfüggvény, mivel nemnegatív teljes ${\displaystyle \mathbb {R} }$-en, továbbá

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}3x^{2}\,\mathrm {d} x=1}$.

Minden ${\displaystyle x\in [0,1]}$ esetén:

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}3t^{2}\,\mathrm {d} t=x^{3}}$

Az eloszlásfüggvény

${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}0&{\text{ ha }}x<0\\x^{3}&{\text{ ha }}0\leq x\leq 1\\1&{\text{ ha }}x>1\end{cases}}}$

Ha ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó, aminek sűrűségfüggvénye ${\displaystyle f}$, akkor például

${\displaystyle P\left(X\leq {\tfrac {1}{2}}\right)=F\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{8}}}$.

Az ${\displaystyle X}$ változó várható értéke

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}3x^{3}\,\mathrm {d} x={\frac {3}{4}}}$.

Többdimenziós valószínűségi változókra is definiálható sűrűségfüggvény, ha eloszlásuk abszolút folytonos. Legyen az ${\displaystyle X}$ valószínűségi vektorváltozó ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ értékű; ekkor ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )}$ az ${\displaystyle X}$ (Lebesgue-mérték szerinti) sűrűségfüggvénye, ha

${\displaystyle P(X\in A)=\int _{A}f(x)\,\mathrm {d} ^{n}x}$

minden ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ Borel-halmazra.

Speciálisan, az ${\displaystyle n}$ dimenziós ${\displaystyle I=[a_{1},b_{1}]\times \dotsb \times [a_{n},b_{n}]}$ intervallumokra, ahol ${\displaystyle a_{1}<b_{1},\dotsc ,a_{n}<b_{n}}$ valós számok:

${\displaystyle P(X\in I)=\int _{a_{n}}^{b_{n}}\dotsi \int _{a_{1}}^{b_{1}}f(x_{1},\dotsc ,x_{n})\ \mathrm {d} x_{1}\dotso \mathrm {d} x_{n}}$.

Valószínűségi vektorváltozóknak is definiálható eloszlásfüggvény. Itt ${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)}$, ahol az egyenlőtlenség komponensenként értendő. Ekkor ${\displaystyle F}$ az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ teret a [0,1] intervallumra képezi úgy, hogy

${\displaystyle F(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\int _{-\infty }^{x_{n}}\dotsi \int _{-\infty }^{x_{1}}f(t_{1},\dotsc ,t_{n})\ \mathrm {d} t_{1}\dotso \mathrm {d} t_{n}}$.

Ha ${\displaystyle F}$ n-szer folytonosan differenciálható, akkor a sűrűségfüggvény parciális differenciálással megkapható:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})={\frac {\partial ^{n}F(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}{\partial x_{1}\dotso \partial x_{n}}}.}$

Az ${\displaystyle X_{i}}$ komponensek ${\displaystyle f_{i}}$ sűrűségfüggvényei a peremeloszlások többi komponens szerinti integrálásával kaphatók.

Továbbá: Ha ${\displaystyle X=(X_{1},\dotsc X_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ értékű sűrűségfüggvényes valószínűségi vektorváltozó, akkor a következők ekvivalensek:

• Az ${\displaystyle X}$ sűrűségfüggvényének alakja ${\displaystyle f(x_{1},\dotsc ,x_{n})=f_{1}(x_{1})\cdot \ldots \cdot f_{n}(x_{n})}$, ahol ${\displaystyle f_{i}}$ az ${\displaystyle X_{i}}$ sűrűsége.
• Az ${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}$ valószínűségi változók függetlenek.

Folytonosnak tekintett eloszlásból származó, de diszkréten mért adatok, például testmagasság centiméterben mérve reprezentálhatók gyakorisági sűrűségfüggvényként. Magsűrűségbecslőkkel a sűrűségfüggvény folytonos függvénnyel becsülhető. Az ehhez használt magnak a mérési hibához kell alkalmazkodnia.

Legyen ${\displaystyle X_{a}}$ approximáló véletlen változó, az ${\displaystyle x_{i}}$ jellemző mennyiségekkel és ${\displaystyle p_{i}}$ valószínűségekkel. Az ${\displaystyle X_{a}}$ diszkrét approximáló valószínűségi változó határátmenete az ${\displaystyle X}$ folytonos valószínűségi változóba valószínűségi hisztogrammal modellezhető. Ehhez ${\displaystyle X}$ lehetséges értékeit a ${\displaystyle [c_{i-1},c_{i}]}$ szakaszokra osztujk fel. Ezek a ${\displaystyle \Delta x_{i}}$ hosszú intervallumok és a hozzájuk tartozó ${\displaystyle x_{i}}$ osztályközepek a sűrűségfüggvény approximációját szolgálják, szemléletesen a valószínűségi hisztogrammal, ami az osztályközepekre emelt ${\displaystyle p_{i}=f(x_{i})\Delta x_{i}}$ téglalapokból áll. Kis ${\displaystyle \Delta x_{i}}$ esetén ${\displaystyle X_{a}}$ felfogható a folytonos ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó approximációjaként. Minél rövidebbek a ${\displaystyle [c_{i-1},c_{i}]}$ szakaszok, annál jobban közelíti ${\displaystyle X_{a}}$ a folytonos ${\displaystyle X}$ valószínűségi változót. Az ${\displaystyle \Delta x_{i}\rightarrow 0}$ határátmenet minden intervallumra a következőhöz vezet:^[3]

a szórásnégyzet esetén

${\displaystyle \sum _{i}(x_{i}-\mu )^{2}f(x_{i})\Delta x_{i}\longrightarrow \int _{\mathbb {R} }(x-\mu )^{2}f(x)\,\mathrm {d} x\quad }$

a várható érték esetén

${\displaystyle \sum _{i}x_{i}f(x_{i})\Delta x_{i}\longrightarrow \int _{\mathbb {R} }xf(x)\,\mathrm {d} x}$.

Létezik a matematikai statisztikában a sűrűségfüggvénynek egy általánosítása, az általánosított sűrűségfüggvény, mely a valószínűségi mező egy általánosításán, a statisztikai mezőn értelmezett, s definíciójában olyan mély mértékelméleti eszközöket használ, mint a Radon–Nikodym-derivált. Általánosított sűrűségfüggvénye minden valószínűségi változónak van, s abszolút folytonos esetben a sűrűségfüggvénnyel, míg diszkrét esetben a P függvénnyel azonos.

• Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
• Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. de Gruyter Lehrbuch, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7.
• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. 7. Auflage. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0423-5.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-76317-8.
• Lothar Sachs, Jürgen Hedderich: Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R. 12. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-32160-6.
• N.G. Ushakov: Density of a probability distribution
• Weisstein, Eric W.: Probability Density Function (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Ez a szócikk részben vagy egészben a Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.