Lineáris függvény

A lineáris függvények a matematikai függvények egyik osztálya. Az elsőfokú függvényeket és a konstans függvényeket közös néven lineáris függvényeknek nevezzük.

Az elemi matematikában elsősorban valós-valós függvényeket nevezünk lineárisnak. Azonban a fogalom értelmezhető tetszőleges gyűrű felett is. A lineáris algebrában speciálisabb módon is értelmezhetőek lineáris függvények, ezeket azonban gyakorta lineáris leképezéseknek nevezik.

A lineáris függvény képének mint ponthalmaznak az egyenlete:

1. ${\displaystyle y=mx+t}$, ahol ${\displaystyle m}$ a függvény meredeksége,^[1] ${\displaystyle t}$ pedig a tengelymetszet. Ha ugyanis ${\displaystyle x=0}$, akkor ${\displaystyle y=m\cdot 0+t=t}$.
2. ${\displaystyle ax+by=c}$, ezt az alakot főleg az egyenletrendszerek megoldása során használjuk.
3. ${\displaystyle {\frac {x}{p}}+{\frac {y}{q}}=1}$ a tengelymetszetes alak, ugyanis ${\displaystyle x=0}$ esetén ${\displaystyle y=q}$ és ${\displaystyle y=0}$ esetén ${\displaystyle x=p}$ lesz igaz, azaz átmegy a ${\displaystyle (0,q)}$ és ${\displaystyle (p,0)}$ tengelypontokon.^[2]

Az egyes alakok egymással ekvivalensek, a paraméterek között kölcsönös egyértelműségi kapcsolat van.

Két lineáris függvény képe metszi egymást, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek egyértelmű megoldása van. Ez a meredekségek esetén gyorsan megállapítható, ugyanis ha a két egyenes eltérő meredekségű, akkor biztosan van metszéspontjuk. A többi esetet pedig megpróbáljuk erre visszavezetni az egyszerűség kedvéért.^[3]

A grafikon sose párhuzamos az ${\displaystyle y}$ tengellyel, mivel az egyetlen elemhez végtelen sok, azaz egynél több értéket rendelne. Ez ellentmond a függvény definíciójának.

Metszéspont az ${\displaystyle x}$-tengellyel: ${\displaystyle P(x_{P};0)\Rightarrow f(x_{P})=0}$

Metszéspont az ${\displaystyle y}$-tengellyel: ${\displaystyle Q(0;y_{Q})\Rightarrow y_{Q}=f(0)}$

Ha a két függvény ${\displaystyle f(x)}$ és ${\displaystyle g(x)}$, akkor meg kell oldani az ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ egyenletet.

Az ${\displaystyle x_{S}}$ megoldás a metszéspont ${\displaystyle x}$-koordinátája

${\displaystyle y_{S}=f(x_{S})=g(x_{S})}$ a metszéspont ${\displaystyle y}$-koordináta

Így a metszéspont ${\displaystyle S(x_{S};y_{S}).}$

Gyakori probléma, hogy két egyenes merőleges-e egymásra. Ez a lineáris függvények esetén aránylag egyszerűen eldönthető, mindössze azonos alakúvá kell tenni a kifejezéseiket.

Legyen a két egyenes megadva az

${\displaystyle y=mx+t}$

és

${\displaystyle y=m'x+t'}$

alakban. Ekkor a két egyenes merőlegességének feltétele:

${\displaystyle m\cdot m'=-1.}$

Ez könnyen belátható, ha figyelembe vesszük, hogy a meredekség tulajdonképpen a függvény x-tengellyel bezárt szögének tangense. Ha ez a szög α, akkor a másik egyenes bezárt szöge α+90°. Legegyszerűbb nyersen a definíció alapján számolni:

${\displaystyle \tan(\alpha +90^{\circ })={\frac {\sin(\alpha +90^{\circ })}{\cos(\alpha +90^{\circ })}}={\frac {\cos \alpha }{-\sin \alpha }}=-{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}=-{\frac {1}{\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}}=-{\frac {1}{\tan \alpha }}}$

Ha a két függvény

${\displaystyle ax+by=c}$

és

${\displaystyle ux+vy=w}$

alakban van megadva, a merőlegesség feltétele:

${\displaystyle av+ub=0.}$

Ennek magyarázata a koordinátageometria révén értelmezhető. Az együtthatók ugyanis a függvények egyeneseinek irányvektorait határozzák meg, és két vektor akkor merőleges egymásra, ha a skaláris szorzatuk nulla.

Hasonlóan dönthető el a tengelymetszetes alakból is a merőlegesség.

Adva legyenek az az ${\displaystyle (x_{1};y_{1})}$ és ${\displaystyle (x_{2};y_{2})}$, egymástól különböző pontok, melyek az ${\displaystyle f}$ lineáris függvény grafikonján fekszenek.

A meredekség

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

és a tengelymetszet

${\displaystyle t=y_{1}-m\cdot x_{1}}$ vagy ${\displaystyle t=y_{2}-m\cdot x_{2}.}$

Tehát a keresett függvénykifejezés

${\displaystyle f(x)={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x+\left(y_{1}-{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x_{1}\right)}$

egyszerűbben

${\displaystyle f(x)={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot (x-x_{1})+y_{1}.}$

Jelölje ${\displaystyle P_{1}(x_{1};y_{1}),}$ a pontot, és ${\displaystyle m}$ a meredekséget. Az egyenletet keressük az ${\displaystyle f(x)=mx+t}$ alakban. Ekkor

${\displaystyle P_{1}(x_{1};y_{1})\quad \Rightarrow \quad f(x_{1})=y_{1}\quad \Rightarrow \quad mx_{1}+t=y_{1}\quad \Rightarrow \quad t=y_{1}-mx_{1}}$

Ha az egyenes az ${\displaystyle f(x)=mx+t}$ alakban van adva, akkor meredeksége ${\displaystyle m}$.

A két ponton átmenő egyenes meredeksége:

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

A lineáris függvényeknek két fajtája van:

• elsőfokú függvények: ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\,f(x)=ax+b}$ (feltéve, hogy a ≠ 0 )
• konstans függvények: ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\,g(x)=c}$

Képük egy-egy egyenes. A legegyszerűbb elsőfokú függvény az ${\displaystyle f(x)=x}$

A b = 0 esetben egyenes arányosságról beszélünk. Ezek általánosítása többdimenzióban a lineáris leképezés vagy régebbi nevén homogén lineáris függvény. Ha b nem feltétlenül nulla, akkor ezek absztrakt általánosításai az affin függvények, melyek lineáris leképezések eltoltjai valamely konstanssal.

A konstans függvények illetve az elsőfokú függvények a függvénykompozícióra zárt halmazt alkotnak:

• két konstans függvény kompozíciója konstans függvény - ${\displaystyle m\circ n=m}$;
• két elsőfokú függvény kompozíciója elsőfokú függvény - ${\displaystyle (ax+b)\circ (px+q)=apx+aq+b=mx+n}$.

Éppen ez okból sokszor a két típust külön is tárgyalják.

Az ${\displaystyle f\left(x\right)=mx+t}$ függvény deriváltja ${\displaystyle f'\left(x\right)=m.}$ ${\displaystyle f'}$ tehát mindig konstans függvény, mivel egy függvény deriváltja az ${\displaystyle P\left(x;f(x)\right)}$ pontbeli érintő meredekségét adja meg.

Az ${\displaystyle f}$ határozatlan integráljai ${\displaystyle F(x)={\frac {m}{2}}x^{2}+tx+c}$ alakúak. Ez a következőképpen mutatható meg:

${\displaystyle F'(x)=\left({\frac {m}{2}}x^{2}+tx+c\right)'={\frac {m}{2}}\cdot \left(x^{2}\right)'+t\cdot (x)'+0={\frac {m}{2}}\cdot 2x+t=mx+t=f(x)}$

Elsőfokú egyenletek esetén az algebrai megoldás (ekvivalens átalakítások és megoldóképletek) mellett legalább ilyen hatékony és látványos módszer az egyenlet grafikus megoldása. Ebben az esetben az egyenlet két oldalát egy-egy lineáris függvény formájában ábrázoljuk, majd ezek metszéspontjának abszcisszája lesz az egyenlet megoldása.

Szintén könnyen ábrázolható a kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszer, ennek megoldását is két egyenes metszéspontja adja. Egyben ezen keresztül lehet értelmezni az összefüggő és a független egyenleteket.

A módszer didaktikai szerepe kettős. Egyrészt a vizuális tanulási típusú diákok számára nyújt segítséget, másrészt pedig a grafikus módszerekkel a tanulók számára közelebb lehet hozni a numerikus, közelítő számítások módszereit, különösen az intervallumokon alapuló megoldásokét.

A hagyományos függvénytranszformációk tulajdonképpen felfoghatóak a lineáris függvényekkel vett jobb és bal oldali függvénykompozíciók eredményeként. Természetesen itt csak a valódi lineáris függvényeknek van értelmezhető szerepe, a konstansfüggvények nem a várt következményt adják.

A bal oldali kompozíció a függvény érték átalakítását fedi le, az elsőfokú tag együtthatója az y irányú nyújtást, a konstans tag az eltolást jelenti. Hasonlóan a jobb oldali kompozíció az x irányú nyújtást és eltolást, azaz a független változó transzformációját értelmezi.

• ${\displaystyle (ax+b)\circ f(x)=a\cdot f(x)+b}$ a függvényérték transzformációja
• ${\displaystyle f(x)\circ (ax+b)=f(ax+b)}$ a független változó transzformációja

Világosan látható, hogy az ${\displaystyle a=0}$ esetben mindkétszer konstansfüggvényt kapunk, az első esetben ${\displaystyle b}$, a másodikban ${\displaystyle f(b)}$ értékkel.

A komplex függvények esetén a lineáris függvények tulajdonképpen a komplex sík speciális leképezéseit jelentik. Ha a függvény alakja:

${\displaystyle f(z)=uz+v,}$

akkor ez valójában három különböző transzformációt jelképez.

1. A síkot ${\displaystyle \mathop {\text{arc}} (u)}$ szöggel elforgatjuk.
2. Elvégzünk egy ${\displaystyle |\arg(u)|}$ mértékű nyújtást.
3. A konstans tag pedig a sík eltolását jelenti.

Mivel ${\displaystyle u=\arg(u)\cdot \left(\cos \mathop {\text{arc}} (u)+{\mathcal {i}}\cdot \sin \mathop {\text{arc}} (u)\right)}$, az elforgatás és a nyújtás könnyen belátható, a konstans tag pedig egyszerűen a ${\displaystyle \Re (v)+{\mathcal {i}}\cdot \Im (v)}$ pontba viszi a 0-t.

• Matek portál
• Bronstejn Ilja Nyikolajevics – Musiol Gerhardt – Mühlig Heiner – Szemengyajev: Matematika kézikönyv (TypoTeX, 2009) ISBN 978-963-2790-79-4
• Manfred Leppig: Lernstufen Mathematik. Girardet 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 61–74.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lineare Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

• Lineáris leképezés
• Függvény (matematika)