Implicitfüggvény-tétel

Az implicitfüggvény-tétel a matematikai analízis, közelebbről a differenciálelmélet leghatékonyabban alkalmazható tétele olyan feladatokra, amikor egy adott nemlineáris egyenletrendszer megoldásait próbálják megkeresni. Legegyszerűbb esetben arról van szó, hogy egy síkbeli görbe egyenletéből kifejezhető-e az y változó az x segítségével, és ezzel megadható-e a görbe egy szakasza függvénygrafikonként.

Implicit megadású függvényről akkor beszélünk, amikor egy függvény megadása nem (az explicit módon) y = f(x) alakban történik, hanem az x és y kapcsolatát egy mindkét változót tartalmazó

${\displaystyle F(x,y)=0\,}$

egyenlet írja le. A fogalom Cauchytól származik (1823).^[1]

Például adjunk meg olyan függvényt, melynek grafikonja valamely kör egy szakasza. Az

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,}$

egyenletű körből könnyű az y változót kifejezni, az ${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$ és ${\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}$ alakokat kapjuk. Bonyolultabb esetekben, például a

${\displaystyle e^{x^{y}}+\mathrm {arctg} \,y^{4}-\sin y=x\,}$

esetén semmi reményünk, hogy az y változóra valamilyen egyenletrendezéssel általános képletet kapjunk. Az ilyen példák miatt nevezik ezeket a típusú függvényeket implicit, avagy régi, választékos kifejezéssel élve bennrekedt függvényeknek. A differenciálszámítás szempontjából megelégedhetünk azzal, ha az implicit függvény deriváltját ki tudjuk számolni. Sok esetben ebből már következtethetünk a függvényre vagy annak viselkedésére is.

A modern analízis szemszögéből egy N × M ${\displaystyle \rightarrow }$ K normált terek között ható F függvény a ∈ N és b ∈ M pontokhoz tartozó implicit függvényén olyan, az a egy U környezetén értelmezett és a b egy V környezetébe képező f:U ${\displaystyle \rightarrow }$ V függvényt értünk, melyre f(a)=b és minden x ∈ U pont esetén rendelkezik az

${\displaystyle F(x,f(x))=0\,}$

tulajdonsággal. Amelyet szavakban úgy fogalmazhatunk meg, hogy az F(x,y)=0 egyenletből az y változó kifejezhető y=f(x) alakban.

Tágabb értelemben egy F : H × K ${\displaystyle \rightarrow }$ L kétváltozós halmazelméleti függvény (a,b) ∈ H × K párhoz tartozó implicit függvénye olyan f, a H egy részhalmazán értelmezett, K-ba képező függvény, mely a-ban értelmezve van, f(a)=b és minden az értelmezési tartományába tartozó x pontra: F(x,f(x))=F(a,b).

Tétel – Implicitfüggvény-tétel R-beli implicit függvényre – Legyen F az R² egy részhalmazán értelmezett, R-be képező függvény, mely az értelmezési tartománya egy (a,b) belső pontjában erősen differenciálható, F(a,b) = 0 és

${\displaystyle \partial _{2}F(a,b)\neq 0}$

(azaz (a,b)-ben az y szerinti parciális deriváltja nem nulla). Ekkor van a-nak olyan ${\displaystyle I}$ és b-nek olyan ${\displaystyle J}$ környezete, hogy F-nek egyértelműen létezik az (a,b) párhoz tartozó f: ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle J}$ implicit függvénye, mely erősen differenciálható a-ban és deriváltja:

${\displaystyle f'(a)=-{\frac {\partial _{1}F(a,b)}{\partial _{2}F(a,b)}}}$

Bizonyítás. A (a,b)-beli erős differenciálhatóságból következik, hogy F folytonosan differenciálható (a,b)-ben. Választhatunk tehát olyan ${\displaystyle I}$ és J nyílt intervallumokat, a és b körül, hogy ${\displaystyle I}$ × J-n ∂₂F sehol sem nulla, azonos előjelű. Feltehetjük, hogy ∂₂F pozitív. Vegyük észre, hogy az implicit függvény létezése egyenértékű azzal, hogy minden x ∈ ${\displaystyle I}$-re az F( x , . ) parciális függvénynek zérushelye van J-ban, hiszen ekkor minden x-hez létezik olyan y ∈ J, hogy F(x,y)=0. Belátjuk, hogy minden ilyen x-hez egyetlen zérushelye van F( x , . )-nek.

Tekintsük a folytonos F( a , . ) parciális függvényt. Az erős differenciálhatóságból és a pozitívra választott deriváltból következik, hogy ez ${\displaystyle I}$-n szigorúan monoton növekvő. Mivel b-ben zérushelye van ( F(a,b)=0 ), ezért van olyan ${\displaystyle y_{2}}$ > b pont, hogy ott F( a , . ) pozitív és ${\displaystyle y_{1}}$ < b pont, hogy ott F( a , . ) negatív. Ekkor F folytonossága miatt van az (a,${\displaystyle y_{1}}$) pontnak olyan környezete, ahol F negatív és van az (a,${\displaystyle y_{2}}$) pontnak olyan környezete, ahol F pozitív. Most definiáljuk át ${\displaystyle I}$-t és J-t úgy, hogy ${\displaystyle I}$ × J-n az F egy J-beli elem fölött mindenhol pozitív, egy J-beli elem alatt mindenhol negatív értéket vegyen föl.

Az erős differenciálhatóságból az is következik, hogy minden x ∈ ${\displaystyle I}$-re az F( x , . ) függvény is szigorúan monoton növekvő, negatív és pozitív értéket is felvevő folytonos függvény, így a Bolzano-tétel alapján létezik ${\displaystyle y_{x}}$ zérushelye és mindegyiknek egyetlen zérushelye létezik. Állítjuk, hogy a φ:${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ J, x ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle y_{x}}$ függvény implicit függvénye F-nek, azaz minden x ∈ ${\displaystyle I}$-re F(x,φ(x))=0.

Könnyen belátható, hogy φ folytonos a-ban, hiszen ha a-hoz közeledve mindig találnánk olyan x pontot, hogy φ(x) egy adott ε-nál mindig jobban eltér b-től, akkor φ(x) egy olyan környezetbe esne bele, ahol F mindenhol egy pozitív számnál nagyobb vagy mindenhol egy negatív számnál kisebb. Ám, F(x,φ(x))=0, így ez ellentmondana F folytonos tulajdonságának.

φ erősen differenciálható (a,b)-ben, hiszen tetszőleges ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ ∈ ${\displaystyle I}$-re az F erős differenciálhatósága miatt fennáll

${\displaystyle 0=F(x_{1},\varphi (x_{1}))-F(x_{2},\varphi (x_{2}))=}$

${\displaystyle =\partial _{1}F(a,b)(x_{2}-x_{1})+\partial _{2}F(a,b)(\varphi (x_{2})-\varphi (x_{1}))+}$

${\displaystyle +\varepsilon \cdot (x_{2}-x_{1})+\eta \cdot (\varphi (x_{2})-\varphi (x_{1}))}$

azaz (a pozitív ∂₂F(a,b) miatt pozitívra választható ∂₂F(a,b)+η miatt):

${\displaystyle {\frac {\varphi (x_{2})-\varphi (x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=-{\frac {\partial _{1}F(a,b)+\varepsilon }{\partial _{2}F(a,b)+\eta }}}$

és innen (${\displaystyle x_{1}}$,${\displaystyle x_{2}}$)${\displaystyle \to }$(a,a) határátmenetet véve, a másodendű tagok eltűnését követően kapjuk az állítás eredményét. ■

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az implicit függvény értékére fennáll ugyan a

${\displaystyle \varphi (x)=\varphi (a)-{\frac {\partial _{1}F(a,b)+\varepsilon }{\partial _{2}F(a,b)+\eta }}(x-a)}$

egyenlőség, de mivel ε és η ki nem írt argumentumaiban szerepel φ(x), ezért ez sem egy explicit alak.

Vegyük észre, hogy mivel mindegyik F( x , . ) parciális függvény szigorúan monoton, így az (x,y) ${\displaystyle \mapsto }$ (x, F(x,y)) függvény is injektív. Érdemes tehát az inverzét felírni, az (x,z)${\displaystyle \mapsto }$(x,y) függvényt. Mivel minden egyes x és z pontra egyetlen y van, hogy F(x,y)=z, ezért z=0 esetén is minden x-hez egyetlen y van, hogy F(x,y)=0, mely az F implicit függvényét szolgáltatja. Ennek a függvénynek a szükséges differenciálhatósági tulajdonságainak bizonyításához hatékonyan használhatjuk fel az inverzfüggvény-tételt. Nem véletlen a kapcsolat a két tétel között. Az előző bizonyítást és a többváltozós eset bizonyítását is végezhetjük az inverzfüggvény-tétellel, sőt az utóbbi esetben csak ezzel. Másrészt az is igaz, hogy a két tétel állítása ekvivalens egymással.

Tekintsük a következő egyenletű síkgörbét:

${\displaystyle x^{5}+xy+y^{5}=3\,}$

Nem lenne könnyű feladat kifejezni belőle y-t, mert az ötödfokú egyenletnek nincs általános megoldóképlete. Mivel a bal oldal akárhányszor differenciálható, ezért joggal feltételezhetjük, hogy bizonyos pontokban létezik implicit függvénye. Tegyük fel, hogy φ ilyen függvény. Ekkor az egyenlet

${\displaystyle x^{5}+x\varphi (x)+(\varphi (x))^{5}=3}$

alakú, melynek minden olyan x-nél, ahol φ differenciálható:

${\displaystyle 5x^{4}+\varphi (x)+x\varphi '(x)+5\varphi ^{4}(x)\cdot \varphi '(x)=0}$

ahonnan a derivált: ${\displaystyle \varphi '(x)=-{\frac {5x^{4}+\varphi (x)}{5\varphi ^{4}(x)+x}}}$ vagy szimbolikusan: ${\displaystyle y'=-{\frac {5x^{4}+y}{5y^{4}+x}}}$. Alaposabb vizsgálatokkal kideríthető, hogy ez a derivált minden pontban létezik és negatív, így az implicit függvény mindenhol létezik és szigorúan monoton csökkenő. Vegyük észre, hogy a nevezőben lévő kifejezés pont ∂_yF(x,y) és az implicit függvény létezésének feltétele pont a nevező nullától különböző volta.

Ebben az esetben is az „érintősík” végtelenül közelítő tulajdonsága játszik majd fontos szerepet. Jól látható az összefüggés, ha feltesszük, hogy F egy Rⁿ×R^m-en értelmezett affin függvény, azaz egy lineáris leképezés eltoltja. Ekkor

F(x,y) = F(a+h,b+k) = F(a,b)+dF₁(a,b)h+dF₂(a,b)k.

Amennyiben y = y(x) olyan, hogy y(a) = b és F(x,y(x)) = 0, akkor fennáll a 0 = dF₁(a,b)h + dF₂(a,b)k egyenlőség és k kifejezhető, amennyiben az A = dF₂(a,b) mátrix invertálható. A B = dF₁(a,b) jelöléssel ekkor

k = -(A^-1${\displaystyle \cdot }$B) h.

Általános esetben ez csak egy másodrendűen kicsiny tag hozzávételével lesz igaz, de az implicit függvény létezésének belátásához szükséges a fenti gondolatmenet is.

Banach-terek esetén (melyek akár végtelen dimenziósak is lehetnek) a tétel a következő.

Tétel – Implicitfüggvény-tétel Banach-terekre – Legyen E, H, G Banach-terek, F:E × H ${\displaystyle \rightarrow }$ G olyan függvény, mely (a,b) ∈ E × H-ban erősen differenciálható. Ha a ∂₂F(a,b) lineáris leképezés injektív és az inverzével együtt folytonos, akkor egyértelműen létezik az F-nek egy az (a,b) párhoz tartozó f lokális implicit függvénye, ez erősen differenciálható a-ban és differenciálja:

${\displaystyle df(a)=-(\partial _{2}F(a,b))^{-1}\circ (\partial _{1}F(a,b))}$

Vagy egy kevésbé absztrakt tétel:

Tétel – Implicitfüggvény-tétel Rⁿ-re – Legyen F:Rⁿ×R^m${\displaystyle \rightarrow }$R^m folytonosan differenciálható függvény, (a,b) ∈ Rⁿ×R^molyanok, hogy F(a,b)=0 és ${\displaystyle \det \left({\frac {\partial F_{i}(a,b)}{\partial y_{k}}}\right)_{i,k=1,...,m}\neq 0}$. Ekkor egyértelműen létezik F-nek egy az (a,b)-hez tartozó lokális implicit függvénye.

• A PlanetMath Implicit function theorem szócikke Archiválva 2006. július 2-i dátummal a Wayback Machine-ben