1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

Az 1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát (1959) Romániában, Brassóban rendezték. Hét ország ötvenkét versenyzője vett részt rajta. Magyarország egy arany-, egy ezüst-, két bronzérmet és egy dicséretet szerzett, összpontszámával pedig 2. lett az országok között.
(Az elérhető maximális pontszám: 8×40=320 pont volt)

Mutassuk meg, hogy – bármilyen természetes számot jelentsen is ${\displaystyle n}$ – a következő tört nem egyszerűsíthető: ${\displaystyle {\frac {21n+4}{14n+3}}}$

Milyen ${\displaystyle x}$ valós számokra lesznek igazak az alábbi egyenletek:

${\displaystyle a)}$ ${\displaystyle {\sqrt {x+{\sqrt {2x-1}}}}+{\sqrt {x-{\sqrt {2x-1}}}}={\sqrt {2}}}$

${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle {\sqrt {x+{\sqrt {2x-1}}}}+{\sqrt {x-{\sqrt {2x-1}}}}=1}$

${\displaystyle c)}$ ${\displaystyle {\sqrt {x+{\sqrt {2x-1}}}}+{\sqrt {x-{\sqrt {2x-1}}}}=2}$

Tudjuk, hogy

${\displaystyle a\cos ^{2}(x)+b\cos(x)+c\;=\;0}$

Mutassunk másodfokú egyenletet ${\displaystyle \cos(2x)}$-re úgy, hogy együtthatói csak az ${\displaystyle a,b,c}$ számoktól függjenek, majd helyettesítsünk be ${\displaystyle a=4}$, ${\displaystyle b=2}$ és ${\displaystyle c=-1}$-et.

Szerkesszünk derékszögű háromszöget, ha adott az átfogója, és tudjuk, hogy a z átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza egyenlő a két befogó hosszának mértani közepével.

Az ${\displaystyle AB}$ szakaszon mozog az${\displaystyle M}$ pont. Az ${\displaystyle AM}$ és ${\displaystyle MB}$ szakaszok fölé az ${\displaystyle AB}$ egyenes ugyanazon oldalára az ${\displaystyle AMCD}$ és a ${\displaystyle BMEF}$ négyzetet emeljük, s megrajzoljuk ezek körülírt körét is. A két kör ${\displaystyle M}$-ben és ${\displaystyle N}$-ben metszi egymást.

Mutassuk meg, hogy az ${\displaystyle AE}$ és a ${\displaystyle BC}$ egyenes is átmegy az ${\displaystyle N}$ ponton. Mutassuk meg, hogy minden ${\displaystyle M}$-re az ${\displaystyle MN}$ egyenes átmegy egy állandó ponton. Milyen utat jár be a két négyzet középpontját összekötő szakasz felezőpontja?

A ${\displaystyle P}$ és ${\displaystyle Q}$ sík egymást a ${\displaystyle p}$ egyenesben metszi, és ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle P}$ síknak, ${\displaystyle C}$ a ${\displaystyle Q}$ síknak olyan pontja, amely nincs rajta ${\displaystyle p}$-n. Szerkesszük meg azt az ${\displaystyle ABCD}$ húrtrapézt (${\displaystyle AB\|CD}$), melynek ${\displaystyle B}$ csúcsa ${\displaystyle P}$-n, ${\displaystyle D}$ csúcsa a ${\displaystyle Q}$ síkban van, s amelybe kört írhatunk.

	Ország	Pont				D[1]
1.	Románia	249	1	2	2	1
2.	Magyarország	233	1	1	2	1
3.	Csehszlovákia	192	1	0	0	4
4.	Bulgária	131	0	0	0	1
5.	Lengyelország	122	0	0	0	1
6.	Szovjetunió[2]	111	0	0	1	2
7.	NDK	40	0	0	0	0

Összesen hét országból indultak versenyzők.

A magyar csapat tagjai voltak:

Név	Évfolyam	Iskola	Város	Díj
Csanak György	IV. o.	Fazekas Mihály Gimnázium	Debrecen
Halász Gábor	IV. o.	II. Rákóczi Ferenc Gimnázium	Budapest
Bollobás Béla	II. o.	Apáczai Csere János Gyakorlógimnázium	Budapest
Muszély György	III. o.	Vörösmarty Mihály Gimnázium	Budapest
Szász Domokos	IV. o.	Eötvös József Gimnázium	Budapest	dicséret
Katona Gyula	IV. o.	Kandó Kálmán Híradás- és Műszeripari Technikum	Budapest
Mezei Ferenc	III. o.	II. Rákóczi Ferenc Gimnázium	Budapest
Tihanyi Ambrus	III. o.	Apáczai Csere János Gyakorlógimnázium	Budapest

A csapat vezetője Hódi Endre volt.

• Reiman István – Dobos Sándor: Nemzetközi matematikai diákolimpiák 1959–2003. Budapest: Typotex. 2003. ISBN 963-9548-04-9  

• Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
• Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák listája
• A Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák magyar versenyzői

• Az IMO hivatalos honlapja
• A magyar Wikikönyvekben további információk találhatók 1. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia témában.