נקודת שבת

במתמטיקה, נקודת שֶׁבֶת של פונקציה היא נקודה בתחום ההגדרה של הפונקציה אשר תמונתה היא הנקודה עצמה, כלומר אם ${\displaystyle f(x)}$ היא פונקציה אז הנקודה ${\displaystyle x_{0}}$ היא נקודת שבת אם מתקיים ${\displaystyle f(x_{0})=x_{0}}$.

• עבור הפונקציה ${\displaystyle f(x)=2x}$, הערך ${\displaystyle x=0}$, הוא נקודת שבת (היחידה), הואיל ו- ${\displaystyle f(0)=2\cdot 0=0}$ (וזהו הפתרון היחיד למשוואה ${\displaystyle 2x=x}$).
• נקודה שאינה משנה את מיקומה כתוצאה מטרנספורמציה מרחבית. לדוגמה: בסיבוב של כדור סביב צירו, הנקודות הנמצאות על הציר נותרות במקומן, והן נקודות שבת.
• נקודות שבת "מעניינות" של פונקציה הן כאלו שאם מפעילים את הפונקציה על ערך מסוים, אחר מפעילים אותה שוב על הערך שהתקבל וכן הלאה, הולכים ומתקרבים לנקודת השבת. בניסוח פורמלי: אם עבור בחירה של ${\displaystyle x}$ הקרוב מספיק לנקודת השבת ${\displaystyle x_{0}}$, מתקיים ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f^{n}(x)=x_{0}}$ (כאן ${\displaystyle f^{2}(x)=f(f(x))}$ וכדומה). נקודת שבת כזו נקראת נקודת שבת יציבה.

• אם ${\displaystyle f\colon [a,b]\to [a,b]}$ פונקציה רציפה אז יש לה נקודת שבת בקטע ${\displaystyle [a,b]}$.
• משפט ההעתקה המכווצת על הישר הממשי: תהי ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$. אם קיים קבוע ${\displaystyle K<1}$ כך ש-${\displaystyle |f(x)-f(y)|<K|x-y|}$ לכל ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$, אזי יש ל-${\displaystyle f}$ נקודת שבת אחת ויחידה.
• הרחבה של המשפט הקודם למרחב מטרי שלם כלשהו: משפט נקודת השבת של בנך נותן תנאי מספיק כדי שלפונקציה תהיה נקודת שבת אחת ויחידה, ומאפשר למצוא אותה על ידי הפעלה חוזרת של הפונקציה כמתואר לעיל.
• הרחבה של המשפט הקודם לקבוצה קומפקטית וקמורה ב-${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ הוא משפט נקודת השבת של בראואר, המוכיח קיום של נקודת שבת במצבים מסוימים, אך לא מראה דרך מעשית למצוא אותה.
• משפט נקודת השבת של קנסטר-טרסקי: לכל העתקה מונוטונית עולה מסריג שלם לעצמו יש נקודת שבת (משפט 1 במאמר משנת 1955 של טרסקי ^[1], שם, בעמוד השני למאמר, בהערת שוליים מספר 2, טרסקי מצטט מאמר של קנסטר ^[2] משנת 1928 בו הופיעה תוצאה מוקדמת יותר, שטרסקי טוען שהיא הושגה בשנת 1927 על ידו ועל ידי קנסטר).
• אם ${\displaystyle f}$ פונקציה חד-חד-ערכית ועל ו-${\displaystyle x_{0}}$ נקודת שבת של ${\displaystyle f}$, אז היא גם נקודת שבת של ${\displaystyle f^{-1}}$.
• אם ${\displaystyle x_{0}}$ נקודת שבת של ${\displaystyle f}$ ושל ${\displaystyle g}$, אז היא גם נקודת שבת של ${\displaystyle f\circ g}$.

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: נקודת שבת
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: נקודת שבת

• נקודת שבת, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.