משפט בל

בפיזיקה, משפט בל, ולחלופין אי שוויונות בל הוא שם כללי לאילוצים על תיאור של מכניקת הקוונטים בעזרת משתנים חבויים^[1]. אי-השוויונות מתארים את האילוצים על מערכות המקיימות את עקרון המקומיות: פעולה על מערכת פיזיקלית הנמצאת במקום אחד לא משפיעה באופן מיידי על מערכת מרוחקת, ההשפעה יכולה להגיע רק בעתיד – למשל אחרי פרק הזמן שייקח לאור להגיע מהנקודה הראשונה לשנייה. הנחה נוספת היא שתכונות פיזיקליות שהן ברות מדידה מוגדרות גם אם אינן ידועות^[2]. (זה המצב למשל במכניקה קלאסית: לחלקיק נקודתי יש מקום ותנע ברגע נתון גם אם אינם ידועים). המשפט גם מניח שלנסיונאי יש את חופש הבחירה לבחור אילו גדלים ימדוד.

ניתן לראות את משפט בל כמקרה פרטי של משפט בל-קוצן-ספקר (אנ').

המשפט ואי-השוויונות נקראים על שמו של ג'ון סטיוארט בל שהופיעו לראשונה במאמרו בשנת 1964^[3]. בשנת 2022 הוענק פרס נובל לפיזיקה לג'ון קלאוזר, אלן אספה, ואנטון זיילינגר על ניסויים בלתי תלויים שהוכיחו הפרה של אי-שוויונות בל במערכות קוונטיות עם פוטונים שזורים^[4].

במדעי המחשב, אי שוויונות בל משמשים לווידוא יכולות הצפנה^[5] ומחשוב קוונטים.

כותרת המאמר של ג'ון סטיוארט בל ב-1964 היא^[3]: "על הפרדוקס של איינשטיין פודולסקי ורוזן". ה"פרדוקס" הוצג במאמר ב-1935 שכותרתו מעלה את השאלה: "האם ניתן לקבל את תיאור המציאות במכניקת הקוונטים כתיאור שלם?"^[6] במאמר מוצג ניסוי מחשבתי מהפכני עם שני חלקיקים קוונטים שזורים (שמשמש היום כמשאב בסיסי של טכנולוגיות קוונטיות): כאשר שני חלקיקים נמצאים במצב שזירות ידוע, מדידת המקום של חלקיק A מאפשרת לדעת בדיוק את המקום של חלקיק B. המחברים הגדירו "אלמנט של מציאות פיזיקלית" תופעה שניתן לחזות אותה, מבלי שתהליך המדידה יתערב ויפריע לתופעה. מהגדרה זו נובע שמקום החלקיק השזור B הוא אלמנט של מציאות. באופן דומה, מדידת התנע של חלקיק A מאפשרת לדעת את התנע של חלקיק B, ולכן גם התנע הוא אלמנט של מציאות פיזקאלית, בניגוד (לכאורה) לעקרון אי הודאות של הייזנברג. ולכן, מכניקה קוונטית אינה נותנת תיאור מלא של המציאות.

איינשטיין האמין שקיים תיאור שלם של המציאות. תיאור שלם של מכניקה קוונטית באמצעות משתנים חבויים ניתן בשנת 1952 הוצע על ידי דוד בוהם^[7]. התורה של משתנים חבויים היא תורה דטרמיניסטית (חורצנית), והאופי ההסתברותי של מכניקה קוונטית בא לידי ביטוי כאשר מתייחסים למשתנים החבויים כמשתנים אקראיים קלאסיים. בתיאור של בוהם, המשתנה החבוי הוא פונקציית הגל של שרדינגר שאינה מקומית.

התרומה החשובה של בל לדיון הייתה התובנה שהשאלה המטה-פיזיקלית במאמר של איינשטיין פודולסקי ורוזן, אם תיאור המציאות במכניקת הקוונטים שלם כמו גם התיאור של מכניקת הקוונטים בעזרת משתנים חבויים, ניתנות להכרעה נסיונית. בל הראה שלתאוריה המקיימת את עקרון המקומיות והמציאות (local realism), יש מגבלות על פונקציות המתאם (קורלציות) של מדידות שנעשות במקומות שונים. מגבלות אלו מופרות במערכות קוונטיות עם חלקיקים שזורים.

בשנת 1972 הראו פרידמן וקלאוזר^[8], לראשונה באופן ניסויי, הפרה של אי שוויון בל הידוע כ-CHSH, במערכת של פוטונים שזורים. בשנת 1982 פרסם אלן אספה מאמר^[9] ששיפר משמעותית את התוצאות של פרידמן וקלאוזר. בפרט, הניסוי של אספה סגר את הפרצה של האפשרות לזליגת מידע בין מקור הפוטונים השזורים לגלאים^[א]. בנוסף, טכניקת המדידה שופרה גם היא כך שהמובהקות של ההפרה גדלה מאוד. בשנת 2022 קיבלו השניים, יחד עם אנטון זיילינגר, את פרס נובל בפיזיקה על "ניסויים בפוטונים שזורים וביסוס ההפרה של אי-שוויונות בל"^[4].

בפיזיקה קלאסית, במכניקה של ניוטון, בתורת הנוזלים, בתורה האלקטרומגנטית, ובתורת הכבידה של איינשטיין (הידועה גם כיחסות כללית), בכולן קיומן וערכיהן של תכונות פיזיקליות אינם מותנים במדידתם, התורות מקיימות את עקרון הממשיות. כמו כן, בכולן^[ב] אין פעולה ממרחק: פעולה המתבצעת בנקודה מסוימת יכולה להשפיע מיידית רק על אובייקטים הנמצאים באותה בנקודה. ההשפעה על אובייקט מרוחק תקרה רק עם חלוף הזמן^[ג]. התורות הקלאסיות לכן מכבדות את עקרון המקומיות. אי-שוויונות בל הם אילוץ על תאוריה שמקיימת את תנאי הממשיות והמקומיות. כיוון שמכניקה קוונטית מפרה את אי-שוויונות בל, נובע שהיא אינה תורה שהיא גם מקומית וגם ממשית. משפט בל מראה את השוני המהותי בין מכניקה קוונטית והפיזיקה הקלאסית, ומכאן חשיבותו.

פריצת הדרך של בל הייתה התובנה שהשאלות הפילוסופית לכאורה שהעלו איינשטיין פודולסקי ורוזן ניתנת להכרעה על ידי עימות בניסויים במעבדה. ואכן, הניסיונות של קלאוזר ואספה בהם נמדדה הפרה משמעותית של אי-שוויון בל במערכת של פוטונים שזורים הראו שמכניקה קוונטית לא מכבדת את עקרונות הממשיות והמקומיות.

אי שוויון בל חשוב הוא CHSH על שם מחבריו ג'ון קלאוזר, מיכאל הורן, אבנר שמעוני וריצ'רד הולט^[10]. ההפרה של אי שוויון זה זיכתה את קלאוזר ואספה בפרס נובל.

כדי לתאר את אי השוויון נדון קודם במדידת הקיטוב של פוטון יחיד. מדידה קיטוב נותנת תוצאה אקראית בינארית: הפוטון מקוטב אופקית או אנכית^[ד] (במישור המאונך למסלול). נסמן את (בחירת) הכיוון האופקי במישור באות ${\displaystyle A}$, ואת המשתנה האקראי הבינארי שמתאים למדידת הקיטוב המתאימה ב ${\displaystyle a}$. המשתנה האקראי מקבל את הערכים ${\displaystyle \pm 1}$ (עבור התוצאה אופקי ואנכי בהתאמה).

במדידת המתאם בקיטוב של שני פוטונים, נקרא לפוטון האחד הפוטון של אליס ולפוטון השני הפוטון של בוב. אליס מודדת את הפוטון שלה באחד משני הכוונים ${\displaystyle A}$ או ${\displaystyle A'}$. בדומה, בוב מודד את הפוטון שלו באחד משני הכוונים ${\displaystyle B}$ או ${\displaystyle B'}$. כיוון שארבעת המשתנים הבינארים ${\displaystyle a,a',b,b'}$ מקבלים את הערכים ${\displaystyle \pm 1}$ מתקיימת הזהות

${\displaystyle a(b+b')+a'(b-b')=\pm 2}$

את המשוואה הזו אי אפשר לעמת מול ניסוי כיוון שכל ניסוי מתייחס רק לאבר אחד מארבעת האיברים במשוואה. אבל, למשוואה הזו יש מובן בתאוריה ריאליסטית שמניחה שגם קיטובים שלא נמדדו יש להם ערך.

נסמן ב ${\displaystyle \lambda }$ את המשתנים החבויים וב ${\displaystyle P(\lambda )}$ את פונקציית הפילוג שלהם. לכל ${\displaystyle \lambda }$ מתקיים ${\displaystyle -2\leq a(\lambda )b(\lambda )+a(\lambda )b'(\lambda )+a'(\lambda )b(\lambda )-a'(\lambda )b'(\lambda )\leq 2}$ולכן

${\displaystyle -2\leq \int d\lambda P(\lambda ){\Big (}a(\lambda )b(\lambda )+a(\lambda )b'(\lambda )+a'(\lambda )b(\lambda )-a'(\lambda )b'(\lambda ){\Big )}\leq 2}$

בתורת המשתנים החבויים ערך התוחלת, ${\displaystyle E(ab)}$, של ${\displaystyle ab}$ בניסיון ${\displaystyle AB}$ נקבע בנוסחה ${\displaystyle E(ab)=\int d\lambda P(\lambda )a(\lambda )b(\lambda )}$. ערך זה הוא בר-מדידה בניסיון ${\displaystyle AB}$. נוסחאות דומות תקפות לשאר הניסיונות. את אי-השוויון דלעיל ניתן לכן לכתיבה כאי שוויון של תוחלות של ארבע ניסיונות שונים

${\displaystyle -2\leq E(ab)+E(ab')+E(a'b)-E(a'b')\leq 2}$

זה אי-השוויון של CHSH. אי-שוויון שניתן להוכיח או להפריך אותו בניסוי^[ה].

אי-השוויון מופר במכניקה קוונטית עבורה מתקיים חסם צירלסון

${\displaystyle -2{\sqrt {2}}\leq E(ab)+E(ab')+E(a'b)-E(a'b')\leq 2{\sqrt {2}}}$

את החסם ניתן לרוות על ידי בחירה מתאימה של הכיוונים ${\displaystyle A,A',B,B'}$^[11] ואז מתקבלת הפרה מקסימלית של אי-שוויון בל.

קלאוזר ופרידמן היו הראשונים שהראו בשנת 1972 הפרה של אי-שוויון CHSH. המקור לזוג הפוטונים השזורים היו אטומי סידן מעורערים באמצעות מנורת קשת של מימן שפלטו זוג פוטונים שזורים באורכי גל 5513 ו-4227 אנגסטרום. הקצב האיטי של יצירת פוטונים שזורים גרם לכך שאיסוף מספיק נתונים כדי להראות הפרה מובהקת של אי השוויון בשיעור של שש סטיות תקן, לקח כ-200 שעות. (להרחבה ראה^[4]).

בשנים 1981–1982 ערך אלן אספה ניסויים עם מקורות בהירים יותר של פוטונים שזורים שנוצרו באמצעות ערור ליזר של אטומי הסידן. ניסיונות אלה הראו הפרה של אי שוויון בל בעשרות סטיות תקן. חשוב מכך, סגרו את פרצת המקומיות: אי-שוויון בל מניח שאין העברת מידע על כיווני המדידה בין אליס לבוב^[ה]. הדרך להבטיח שאין מעבר מידע היא לבחור את הכיוונים של מדידות אליס ובוב באופן אקראי ובלתי תלוי במהירות מספיק גבוהה שלא תתאפשר העברת מידע בין אליס לבוב על הכוונים שנבחרו^[4]. (המחמירים מונים הנחות סמויות נוספות כמו חופש הבחירה של אליס ובוב ואי-תלות של מדידות בזוגות פוטונים עוקבים).

בתורת המחשוב הקוונטי משפט בל תוחם את היכולות של מחשוב עם עיבוד מידע קלאסי. הפרה של אי-שוויונות בל מהווה עדות ליכולות עיבוד מידע קוונטי. ניתן להציג את היתרונות של מחשוב קוונטי כמשחק. משחק כזה הוא המשחק של GHZ, שנקרא על שם ממציאיו דניאל גרינברגר, מיקל הורן ואנטון ציילינגר.

במשחק משתתפים שלושה שחקנים אליס, בוב וצ'רלי שאין ביניהם תקשורת בנהלך המשחק, אבל הם חולקים מצב שזור של שלושה קיוביטים: כל אחד מהשחקנים מחזיק בקיוביט אחד, ויש לו יכולת למדוד את הקיוביט שלו. שלושת השחקנים משחקים כקואליציה נגד שופט R עם תקשורת לכל אחד מחברי הקואליציה. R מציג שאלה לכל אחד משלושת חברי הקואליציה, והקואליציה זוכה אם התשובות מקיימות תנאים מתאימים. אליס אינה יודעת איזו שאלה נשאלו בוב וצ'רלי, וכו'.

חוקי המשחק: R שואל כל אחד מחברי הקואליציה אחת משני סוגי שאלות – שאלה ${\displaystyle X}$ או שאלה ${\displaystyle Y}$. תשובה חוקית לשאלה היא ${\displaystyle \pm 1}$ . השאלות נלקחות באופן אקראי ממאגר של ארבע שאלות: ${\displaystyle XXX}$, ${\displaystyle XYY,YXY,YYX}$ . כלומר, או שכל חברי הקואליציה נשאלים אותה שאלה ${\displaystyle X}$, או ששניים נשאלים את השאלה ${\displaystyle Y}$ ואחד נשאל את השאלה ${\displaystyle X}$. הקואליציה זוכה במשחקון אם מכפלת התשובות של A,B,C לשאלה מטיפוס ${\displaystyle XXX}$ היא ${\displaystyle +1}$ ולשלוש השאלות האחרות הקואליציה מנצחת אם המכפלה היא ${\displaystyle -1}$. כיוון שהמשתתפים לא יודעים איזו שאלה נשאלו חבריהם לקואליציה, הם צריכים לגבש מראש אסטרטגיה שאינה מותנית בארבעת השאלות.

אין אסטרטגיה קלאסית שמאפשרת לקואליציה לזכות בכל משחקון, כיוון שלא ניתן למלא את הטבלה בערכים ${\displaystyle \pm 1}$. ממכפלת השורות נובע שמכפלת כל אברי הטבלה היא ${\displaystyle -1}$. מאידך ממכפלת העמודות נובע שמכפלת הערכים בטבלה היא ${\displaystyle +1}$. ( בכל עמודה מופיע ${\displaystyle X}$ פעמיים ומופיע ${\displaystyle Y}$ פעמיים). קיבלנו סתירה שמראה שלא ניתן למלא את הטבלה כפוף לאילוצי המשחק, ולכן אין אסטרטגיה קלאסית שתנצח בכל משחקון. אסטרטגיה שמאפשרת לנצח בהסתברות של 3/4 היא למשל שכל המשתתפים ישיבו ${\displaystyle -1}$ לכל שאלה ${\displaystyle X}$ או ${\displaystyle Y}$. הקואליציה תפסיד בשאלה ${\displaystyle XXX}$ ותזכה בשלושת השאלות האחרות. זו אסטרטגיה מיטבית.

	אליס	בוב	צ'רלי
1	X	X	X
1 -	Y	Y	X
1 -	Y	X	Y
1 -	X	Y	Y
${\displaystyle \pm 1}$	1	1	1

אסטרטגיה קוונטית: מאידך, לשחקנים עם יכולות קוונטיות יש אסטרטגיה לזכות בכל משחקון (בהסתברות ${\displaystyle 1}$): התשובה, של כל אחד מהשחקנים, לשאלה ${\displaystyle X}$ היא התוצאה (הבינארית, אקראית) של מדידת מטריצת פאולי ${\displaystyle \sigma _{x}}$ על הקיוביט שלו, והתשובה לשאלה ${\displaystyle Y}$ היא התוצאה (הבינארית, אקראית) של מדידת מטריצת פאולי ${\displaystyle \sigma _{y}}$ על הקיוביט שלו. ארבעת השאלות מיוצגות על ידי ארבע אופרטורים מתחלפים: ${\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{x},~\sigma _{x}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{y},~\sigma _{y}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{y},~\sigma _{y}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{x},}$

המצב השזור

${\displaystyle |GHZ\rangle =|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\otimes |0\rangle _{C}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\otimes |1\rangle _{C}}$

הוא מצב עצמי עם ערכים עצמיים:

${\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}|GHZ\rangle =+|GHZ\rangle }$

${\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}|GHZ\rangle =\sigma _{y}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}|GHZ\rangle =\sigma _{y}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}|GHZ\rangle =-|GHZ\rangle }$

ולכן מובטח שהקואליציה תנצח בכל משחקון בוודאות. בכל משחקון הקואליציה משתמשת במצב GHZ אחד^[ו].

• מכניקת הקוונטים
• הפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן
• מצב בל
• שזירה קוונטית

מדיה וקבצים בנושא משפט בל בוויקישיתוף

• המאמר המקורי של ג'ון בל: On the Einstein Podolsky Rosen Paradox
• מאמר של אבנר שמעוני באנציקלופדיה לפילוסופיה של סטנפורד: Bell's Theorem
• הסבר על משפט בל: Spooky Action at a Distance
• עוד הסבר פשוט: Bell's Theorem