העתקת מביוס

באנליזה מרוכבת, טרנספורמציית מביוס או העתקת מביוס היא פונקציה מהצורה ${\displaystyle T(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ כאשר ${\displaystyle \ a,b,c,d}$ הם מקדמים מרוכבים כך ש ${\displaystyle \ ad-bc\neq 0}$.

טרנספורמציות מביוס קרויות על שם המתמטיקאי הגרמני אוגוסט פרדיננד מביוס.

כל טרנספורמציית מביוס היא העתקה רציפה, חד חד ערכית ועל מהמישור המרוכב המורחב לעצמו. הרחבת המישור המרוכב נעשית על ידי הוספת נקודה באינסוף (המישור המורחב נקרא ספירת רימן ומסומן ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$). טרנספומרציות מביוס הן העתקות מרומורפיות בכל ${\displaystyle \mathbb {C} }$, והולמורפיות בכל ספירת רימן. הרציפות והאנליטיות באינסוף מושגות על ידי הגדרת הפונקציה בצורה האינטואיטיבית ${\displaystyle T\left({\frac {-d}{c}}\right)=\infty ,T(\infty )={\frac {a}{c}}}$. במקרה שבו ${\displaystyle \ c=0}$ הפונקציה היא פשוט לינארית ומוגדרת על כל ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ כאשר ${\displaystyle \ T(\infty )=\infty }$.

• הרכבה של טרנספורמציות מביוס היא גם טרנספורמציית מביוס, ולכן טרנספורמציות מביוס מהוות חבורה, וחבורת טרנספורמציות מביוס מהוות את חבורת האוטומורפיזמים של ספירת רימן, ומסומנת לעתים${\displaystyle {\mbox{Aut}}({\widehat {\mathbb {C} }})}$. במינוח של גאומטריה דיפרנציאלית, נאמר כי טרנספורמציות מביוס הן כל הדיפאומורפיזמים של ספירת רימן לעצמה. ישנן תתי חבורות של טרנספורמציות מביוס המהוות את האוטומורפיזמים של משטחי רימן אחרים, כמו המישור המרוכב או המישור ההיפרבולי, ועל כן טרנספורמציות מביוס מהוות חלק חשוב בתאוריה של משטחי רימן.

• כל טרנספורמציות מביוס היא הולומורפית, ולכן קונפורמית, כלומר שומרת זוויות.

• טרנספורמציית מביוס מעתיקה מעגלים וישרים ב ${\displaystyle \mathbb {C} }$ למעגלים וישרים, אך לא בהכרח מעתיקה מעגל למעגל וישר לישר. ניתן לנסח תכונה זו בצורה פשוטה ואלגנטית יותר, אם מרחיבים את הדיון לספירת רימן כולה(${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$). נשים לב כי גם מעגלים וגם ישרים ב ${\displaystyle \mathbb {C} }$ מתאימים למעגלים ב ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$, כאשר ישרים ב ${\displaystyle \mathbb {C} }$ מתאימים למעגלים העוברים דרך הקוטב הצפוני. לכן, מעל ספירת רימן ניתן לומר בפשטות כי טרנספורמציית מביוס מעתיקה מעגלים למעגלים.

• טרנספורמציית מביוס שומרת על היחס הכפול. היחס הכפול של 4 נקודות (שונות) ב ${\displaystyle \mathbb {C} }$ מוגדר כך ${\displaystyle \ [z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}]={\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{1}-z_{4})(z_{2}-z_{3})}}}$, ולכל טרנספורמציית מביוס מתקיים ${\displaystyle \ [z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}]=[T(z_{1}),T(z_{2}),T(z_{3}),T(z_{4})]}$.

• לכל טרנספורמציית מביוס שאינה קבועה יש לפחות נקודת שבת אחת, ולכל היותר שתיים. משמע, אם טרנספורמציית מביוס מקבעת שלוש נקודות, אז היא טרנספורמציית הזהות.

אם נרכיב את הטרנספורמציה ${\displaystyle T_{1}(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ עם הטרנספורמציה ${\displaystyle T_{2}(z)={\frac {a'z+b'}{c'z+d'}}}$, תתקבל הטרנספורמציה ${\displaystyle T_{3}(z)=T_{1}\circ T_{2}={\frac {(a'a+bd')z+(b'a+d'b)}{(a'c+c'd)z+(b'c+d'd)}}}$. ניתן לזהות קשר הדוק עם כפל המטריצות ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a'a+c'b&b'a+d'b\\a'c+c'd&b'c+d'd\end{pmatrix}}}$.

נשים לב גם כי כפל בסקלר של כל המקדמים אינו משנה את הטרנסמפורמציה - ${\displaystyle {\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {\lambda az+\lambda b}{\lambda cz+\lambda d}}}$. בנוסף, הדרישה ${\displaystyle \ ad-bc\neq 0}$ היא בדיוק הדרישה שהמטריצה תהיה הפיכה. לכן, ניתן לזהות טרנספורמציות עם טרנספורמציות לינאריות מ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ל ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, עד כדי כפל במטריצה סקלרית. כלומר, ${\displaystyle \ {\mbox{Aut}}({\widehat {\mathbb {C} }})\cong \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$, (כאשר ${\displaystyle \ \operatorname {PGL_{2}} }$ היא חבורת המטריצות ההפיכות, מודולו המטריצות הסקלריות).