Pechamento

En matemáticas, un subconxunto dun conxunto dado está pechado baixo unha operación do conxunto maior se ao realizar esa operación sobre os membros do subconxunto sempre produce un membro dese subconxunto. Por exemplo, os números naturais están pechados mediante a suma, mais non mediante a resta: 1 − 2 non é un número natural, aínda que tanto 1 como 2 si que o son.

Do mesmo xeito, dise que un subconxunto está pechado baixo unha colección de operacións se está pechado baixo cada unha das operacións individualmente.

O pechamento (ou peche) dun subconxunto é o resultado dun operador de pechamento aplicado ao subconxunto. O peche dun subconxunto baixo algunhas operacións é o superconxunto máis pequeno que se pecha baixo estas operacións. A miúdo chámase conxunto xerado (span en inglés), por exemplo espazo vectorial xerado).

Sexa S un conxunto equipado con un ou varios métodos para producir elementos de S a partir doutros elementos de S. Dise que un subconxunto X de S está pechado baixo estes métodos, se, cando todos os elementos de entrada están en X, entón todos os resultados posíbeis están tamén en X. Ás veces, tamén se pode dicir que X ten a propiedade de pechamento.

A principal propiedade dos conxuntos pechados, que se deduce inmediatamente da definición, é que toda intersección de conxuntos pechados é un conxunto pechado. Daí dedúcese que para cada subconxunto Y de S, hai un subconxunto X pechado máis pequeno de S tal que ${\displaystyle Y\subseteq X}$ (é a intersección de todos os subconxuntos pechados que conteñen Y ). Segundo o contexto, X chámase peche de Y ou o conxunto xerado por Y .

Os conceptos de conxuntos pechados e peche adoitan estenderse a calquera propiedade de subconxuntos que sexan estábeis baixo a intersección; é dicir, toda intersección de subconxuntos que teñen a propiedade tamén ten a propiedade. Por exemplo, en ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$ un conxunto coa topoloxía de Zariski, tamén coñecido como conxunto alxébrico, é o conxunto dos ceros comúns dunha familia de polinomios, e o peche de Zariski dun conxunto V de puntos é o conxunto alxébrico máis pequeno que contén V.

Unha estrutura alxébrica é un conxunto equipado con operacións que satisfán algúns axiomas. Consulte Estrutura alxébrica para obter máis detalles. Un conxunto cunha soa operación binaria que está pechada chámase magma.

Neste contexto, dada unha estrutura alxébrica S, unha subestrutura de S é un subconxunto que está pechado en todas as operacións de S. Unha subestrutura é unha estrutura alxébrica do mesmo tipo que S. Dedúcese que, nun exemplo específico, cando se demostra o pechamento, non hai que comprobar os axiomas para demostrar que unha subestrutura é unha estrutura do mesmo tipo.

Dado un subconxunto X dunha estrutura alxébrica S, o peche de X é a subestrutura máis pequena de S que está pechada en todas as operacións de S. No contexto das estruturas alxébricas, este peche denomínase xeralmente a subestrutura xerada ou que abrangue X, e dise que X é un conxunto xerador da subestrutura.

Por exemplo, un grupo é un conxunto cunha operación asociativa, moitas veces chamada multiplicación, cun elemento de identidade, de xeito que cada elemento ten un elemento inverso. Así, un subconxunto non baleiro dun grupo que está pechado baixo multiplicación e inversión é un grupo que se chama subgrupo. O subgrupo xerado por un só elemento, é dicir, o peche deste elemento, chámase grupo cíclico.

En álxebra lineal, o peche dun subconxunto non baleiro dun espazo vectorial (en operacións de espazo vectorial, é dicir, suma e multiplicación escalar) é o espazo vectorial xerado deste subconxunto. É un espazo vectorial polo resultado xeral anterior, e pódese probar facilmente que é o conxunto de combinacións lineares de elementos do subconxunto.

Exemplos similares pódense dar para case todas as estruturas alxébricas, con, ás veces, algunha terminoloxía específica. Por exemplo, nun anel conmutativo, o peche dun só elemento baixo operacións ideais chámase ideal principal.

Unha relación binaria nun conxunto A pódese definir como un subconxunto R de ${\displaystyle A\times A,}$ o conxunto dos pares ordenados de elementos de A. A notación ${\displaystyle xRy}$ úsase habitualmente para ${\displaystyle (x,y)\in R.}$ Pódense usar moitas propiedades ou operacións sobre relacións para definir peches. Algunhas das máis comúns seguen:

Reflexividade

Unha relación R do conxunto A é reflexiva se ${\displaystyle (x,x)\in R}$ para cada ${\displaystyle x\in A.}$ Como toda intersección de relacións reflexivas é reflexiva, isto define un peche. O peche reflexivo dunha relación R é por tanto $${\displaystyle R\cup \{(x,x)\mid x\in A\}.}$$

Simetría

A simetría é a operación unaria ${\displaystyle A\times A}$ que mapea ${\displaystyle (x,y)}$ a ${\displaystyle (y,x).}$ Unha relación é simétrica se está pechada baixo esta operación, e o peche simétrico dunha relación R é o seu peche baixo esta relación.

Transitividade

A transitividade defínese pola operación binaria parcial en ${\displaystyle A\times A}$ que mapea ${\displaystyle (x,y)}$ e ${\displaystyle (y,z)}$ en ${\displaystyle (x,z).}$ Unha relación é transitiva se está pechada baixo esta operación, e o peche transitivo dunha relación é o seu peche baixo esta operación.

Unha preorde é unha relación que é reflexiva e transitiva. Dedúcese que o peche transitivo reflexivo dunha relación é a menor preorde que a contén. Do mesmo xeito, o peche simétrico transitivo reflexivo ou o peche de equivalencia dunha relación é a menor relación de equivalencia que a contén.

• O peche transitivo dun conxunto.^[1]
• O peche alxébrico dun corpo.^[2]
• O peche de integridade dun dominio integral nun corpo que o contén.
• O radical dun ideal nun anel conmutativo.
• En xeometría, a envoltoria convexa dun conxunto S de puntos é o conxunto convexo máis pequeno do cal S é un subconxunto.^[3]
• Nas linguaxes formais, o pechamento de Kleene dunha linguaxe pódese describir como o conxunto de cadeas que se poden facer concatenando cero ou máis cadeas desa linguaxe.
• Na teoría de grupos, o peche conxugado ou normal dun conxunto de elementos do grupo é o subgrupo normal máis pequeno que contén o conxunto.
• Na análise matemática e na teoría da probabilidade, o peche dunha colección de subconxuntos de X baixo numerabelmente moitas operacións de conxuntos numerábeis chámase σ-álxebra xerada pola colección.

Nas seccións anteriores considéranse peches para subconxuntos dun determinado conxunto. Os subconxuntos dun conxunto forman un conxunto parcialmente ordenado (poset) desde o punto de vista da inclusión. Os operadores de peche permiten xeneralizar o concepto de peche a calquera conxunto parcialmente ordenado.

Dado un poset S cuxa orde parcial se denota con ≤, un operador de peche en S é unha función ${\displaystyle C:S\to S}$ é dicir

• incremental ( ${\displaystyle x\leq C(x)}$ para todos ${\displaystyle x\in S}$ ),
• idempotente (${\displaystyle C(C(x))=C(x)}$), e
• monótono (${\displaystyle x\leq y\implies C(x)\leq C(y)}$).^[4]

De forma equivalente, unha función de S a S é un operador de peche se ${\displaystyle x\leq C(y)\iff C(x)\leq C(y)}$ para todos os${\displaystyle x,y\in S.}$

Un elemento de S está pechado se é o seu propio peche, é dicir, se ${\displaystyle x=C(x).}$ Por idempotencia, un elemento está pechado se e só se é o peche dalgún elemento de S.

Un exemplo é o operador de peche topolóxico; na caracterización de Kuratowski, os axiomas K2, K3, K4' corresponden ás propiedades definitorias anteriores. Un exemplo que non funciona en subconxuntos é a función teito, que asigna cada número real x ao enteiro máis pequeno que non sexa menor que x.

Un peche sobre os subconxuntos dun conxunto dado pode ser definido por un operador de peche ou por un conxunto de conxuntos pechados que é estábel baixo a intersección e inclúe o conxunto dado. Estas dúas definicións son equivalentes.

• Operador de peche.
• Estrutura alxébrica.

• Weisstein, Eric W. "Algebraic Closure". MathWorld.