Número alxébrico

Sistema numérico en matemáticas
Conxuntos numéricos ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
Naturais (${\displaystyle \mathbb {N} }$) Números de Fermat, de Sophie Germain e de Mersenne Enteiros (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Primos (${\displaystyle \mathbb {P} }$) / Compostos Pares / Impares Abundantes / Defectivos Números perfectos, amigos e sociábeis Racionais (${\displaystyle \mathbb {Q} }$) Fraccións Reais (${\displaystyle \mathbb {R} }$) Positivos (${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$) / Negativos (${\displaystyle \mathbb {R} _{<0}}$) Irracionais (${\displaystyle \mathbb {I} }$) Alxébricos / Transcendentes (${\displaystyle \mathrm {Tr} }$) Números complexos (${\displaystyle \mathbb {C} }$) Números imaxinarios
Números destacables
-1 0 1 Φ ≈ 1,6180339887... e ≈ 2,7182818284 π ≈ 3,1415926535 i = ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ Constantes matemáticas
Outras extensións dos números complexos
Bicomplexos Hipercomplexos Cuaternións (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$) Octonións (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }$) Sedenións (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }$) Superreais Hiperreais Surreais
Infinito
Infinito (∞) Números infinitos Números transfinitos Números alef {${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\cdots }$}
Especiais
Nominais Ordinais (1o,2o...) Cardinais
Outros importantes
Secuencias de enteiros Lista de números Números grandes
Sistemas de numeración
Numeración en base constante Sistema binario (2) Sistema octal (8) Sistema decimal (10) Sistema hexadecimal (16) Numeración arábiga Numeración babilónica Numeración chinesa Numeración xaponesa Numeración maia Numeración romana
v c e

Un número alxébrico é calquera número real ou complexo que é solución dunha ecuación polinómica da forma:

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x¹ + a₀ = 0

onde n > 0 , cada a_i é enteiro e a_n é distinto de cero.

Tódolos números racionais son alxébricos porque tódalas fraccións da forma a / b son solución de bx - a = 0. Algúns números irracionais como 2^1/2 (a raíz cadrada de 2) e 3^1/3/2 (a metade da raíz cúbica de 3) tamén son alxébricas porque son solucións de x² - 2 = 0 e 8x³ - 3 = 0, respectivamente. Pero non tódolos números reais son alxébricos. Os exemplos máis coñecidos son π e e. Se un número complexo non é alxébrico, dise que é un número transcendente.

Se un número alxébrico é solución dunha ecuación polinómica de grao n, pero non pode selo dunha ecuación polinómica de grao menor, entón dise que é un número alxébrico de grao n.

A suma, diferenza, produto ou cocente de dous números alxébricos volve a ser alxébrico, e polo tanto os números alxébricos constitúen un campo. Pode demostrarse que se os coeficientes a_i son números alxébricos calquera, a solución da ecuación volverá a ser un número alxébrico. Noutras palabras, o campo dos números alxébricos é alxebricamente cerrado. De feito, é o campo alxebricamente cerrado máis pequeno que conten os racionais.

Tódolos números que poden escribirse a partir dos racionais empregando soamente as operacións aritméticas +, -, *, /, potencias e raíces son alxébricos. Con todo, existen números alxébricos que non poden escribirse deste xeito, e son todos de grao >5. Esta é unha consecuencia da teoría de Galois.

Un número alxébrico que satisfai unha ecuación polinómica de grao n con a_n = 1 denomínase enteiro alxébrico. Algúns exemplos de enteiros alxébricos son 3×2^1/2 + 5 y 6i - 2. A suma, diferenza e produto de enteiros alxébricos volve a ser un enteiro alxébrico, o que significa que os enteiros alxébricos forman un anel. O nome de enteiro alxébrico provén do feito de que os únicos números racionais que son enteiros alxébricos son os propios enteiros.

Tanto a noción de número alxébrico como a de enteiro alxébrico poden ser xeneralizadas noutros campos, amais do campo dos complexos, véxase extensión alxébrica.